🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Bileşik Orantı Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Bileşik Orantı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir işi 10 işçi 6 günde bitirebiliyorsa, aynı işi 5 işçi kaç günde bitirir? ⏳
Çözüm:
Bu bir ters orantı problemidir çünkü işçi sayısı azaldıkça işin bitme süresi artacaktır. 📉
- İşçi sayısı ile gün sayısı ters orantılıdır.
- Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz: İşçi Sayısı ₁ × Gün Sayısı ₁ = İşçi Sayısı ₂ × Gün Sayısı ₂
- Verilenler: İşçi Sayısı ₁ = 10, Gün Sayısı ₁ = 6, İşçi Sayısı ₂ = 5
- Bulunması gereken: Gün Sayısı ₂
- Denklem kuralım: \( 10 \times 6 = 5 \times x \)
- Hesaplama: \( 60 = 5x \)
- Her iki tarafı 5'e bölelim: \( x = \frac{60}{5} \)
- Sonuç: \( x = 12 \)
Örnek 2:
8 işçi günde 10 saat çalışarak 12 günde bir işi bitiriyor. Aynı işi 6 işçi günde 8 saat çalışarak kaç günde bitirir? ⏰
Çözüm:
Bu problemde işçi sayısı, çalışma saati ve gün sayısı arasındaki ilişkiyi incelemeliyiz. İşçi sayısı arttıkça gün sayısı azalır (ters orantı). Çalışma saati arttıkça gün sayısı azalır (ters orantı). 🧐
- İşçi sayısı ile gün sayısı ters orantılıdır.
- Günlük çalışma saati ile gün sayısı ters orantılıdır.
- Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz: \( \frac{İşçi Sayısı₁ \times Gün Sayısı₁}{Çalışma Saati₁} = \frac{İşçi Sayısı₂ \times Gün Sayısı₂}{Çalışma Saati₂} \)
- Verilenler: İşçi Sayısı ₁ = 8, Gün Sayısı ₁ = 12, Çalışma Saati ₁ = 10, İşçi Sayısı ₂ = 6, Çalışma Saati ₂ = 8
- Bulunması gereken: Gün Sayısı ₂
- Denklem kuralım: \( \frac{8 \times 12}{10} = \frac{6 \times x}{8} \)
- Hesaplama: \( \frac{96}{10} = \frac{6x}{8} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 96 \times 8 = 10 \times 6x \)
- \( 768 = 60x \)
- x'i bulmak için her iki tarafı 60'a bölelim: \( x = \frac{768}{60} \)
- Sadeleştirme yapalım: \( x = \frac{128}{10} = 12.8 \)
Örnek 3:
Bir fırıncı günde 12 saat çalışarak 3 günde 180 ekmek yapabiliyor. Aynı fırıncı günde 10 saat çalışarak 5 günde kaç ekmek yapabilir? 🍞
Çözüm:
Bu problem, işçi (fırıncı), zaman (gün, saat) ve üretilen iş (ekmek) arasındaki ilişkiyi gösterir. 👨🍳
- Ekmek sayısı ile işçi sayısı doğru orantılıdır.
- Ekmek sayısı ile gün sayısı doğru orantılıdır.
- Ekmek sayısı ile günlük çalışma saati doğru orantılıdır.
- Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz: \( \frac{Ekmek Sayısı₁}{İşçi Sayısı₁ \times Gün Sayısı₁ \times Çalışma Saati₁} = \frac{Ekmek Sayısı₂}{İşçi Sayısı₂ \times Gün Sayısı₂ \times Çalışma Saati₂} \)
- Bu örnekte işçi sayısı sabit (1 fırıncı). O halde denklemimiz şu şekilde basitleşir: \( \frac{Ekmek Sayısı₁}{Gün Sayısı₁ \times Çalışma Saati₁} = \frac{Ekmek Sayısı₂}{Gün Sayısı₂ \times Çalışma Saati₂} \)
- Verilenler: Ekmek Sayısı ₁ = 180, Gün Sayısı ₁ = 3, Çalışma Saati ₁ = 12, Gün Sayısı ₂ = 5, Çalışma Saati ₂ = 10
- Bulunması gereken: Ekmek Sayısı ₂
- Denklem kuralım: \( \frac{180}{3 \times 12} = \frac{x}{5 \times 10} \)
- Hesaplama: \( \frac{180}{36} = \frac{x}{50} \)
- Sadeleştirme: \( 5 = \frac{x}{50} \)
- x'i bulmak için her iki tarafı 50 ile çarpalım: \( x = 5 \times 50 \)
- Sonuç: \( x = 250 \)
Örnek 4:
Bir miktar yiyecek, 15 kediye 20 gün yetmektedir. Eğer bu yiyecek 5 kedi daha fazla olsaydı, yiyecek kaç gün yeterdi? 🐈
Çözüm:
Bu, ters orantı prensibine dayanan bir problemdir. Kedi sayısı arttıkça, yiyeceğin yeteceği gün sayısı azalacaktır. 🐾
- Kedi sayısı ile yiyeceğin yeteceği gün sayısı ters orantılıdır.
- Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz: Kedi Sayısı ₁ × Gün Sayısı ₁ = Kedi Sayısı ₂ × Gün Sayısı ₂
- Verilenler: Kedi Sayısı ₁ = 15, Gün Sayısı ₁ = 20
- Yeni kedi sayısı: Kedi Sayısı ₂ = 15 + 5 = 20
- Bulunması gereken: Gün Sayısı ₂
- Denklem kuralım: \( 15 \times 20 = 20 \times x \)
- Hesaplama: \( 300 = 20x \)
- x'i bulmak için her iki tarafı 20'ye bölelim: \( x = \frac{300}{20} \)
- Sonuç: \( x = 15 \)
Örnek 5:
12 işçi, günde 8 saat çalışarak bir işin 1/3'ünü 10 günde bitiriyor. Geriye kalan işi, aynı işin tamamlanması için işçi sayısını %50 artırarak ve günlük çalışma süresini 2 saat azaltarak kaç günde bitirebilirler? ⚙️
Çözüm:
Bu problem, işçi, zaman ve iş miktarı arasındaki karmaşık bir ilişkiyi içerir. Adım adım ilerleyelim. 🚶
- 1. Adım: İlk Durumdaki İş Miktarını ve İlişkileri Belirleme
- İşçi Sayısı ₁ = 12
- Gün Sayısı ₁ = 10
- Çalışma Saati ₁ = 8
- Bitirilen İş Miktarı ₁ = 1/3
- 2. Adım: İkinci Durumdaki İşçi Sayısını Hesaplama
- İşçi sayısı %50 artırılıyor: \( 12 \times (1 + \frac{50}{100}) = 12 \times 1.5 = 18 \)
- İşçi Sayısı ₂ = 18
- 3. Adım: İkinci Durumdaki Günlük Çalışma Süresini Hesaplama
- Günlük çalışma süresi 2 saat azaltılıyor: \( 8 - 2 = 6 \)
- Çalışma Saati ₂ = 6
- 4. Adım: Geriye Kalan İş Miktarını Belirleme
- Toplam işin 1/3'ü bittiğine göre, geriye kalan iş miktarı: \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
- Bitirilecek İş Miktarı ₂ = 2/3
- 5. Adım: Bileşik Orantı Formülünü Kullanma
- Formül: \( \frac{İş Miktarı}{İşçi Sayısı \times Gün Sayısı \times Çalışma Saati} \) sabittir.
- \( \frac{İş Miktarı₁}{İşçi Sayısı₁ \times Gün Sayısı₁ \times Çalışma Saati₁} = \frac{İş Miktarı₂}{İşçi Sayısı₂ \times Gün Sayısı₂ \times Çalışma Saati₂} \)
- \( \frac{1/3}{12 \times 10 \times 8} = \frac{2/3}{18 \times x \times 6} \)
- 6. Adım: Denklemi Çözme
- \( \frac{1/3}{960} = \frac{2/3}{108x} \)
- \( \frac{1}{3 \times 960} = \frac{2}{3 \times 108x} \)
- \( \frac{1}{2880} = \frac{2}{3240x} \)
- İçler dışlar çarpımı: \( 1 \times 3240x = 2 \times 2880 \)
- \( 3240x = 5760 \)
- \( x = \frac{5760}{3240} \)
- Sadeleştirme: \( x = \frac{576}{324} = \frac{144}{81} = \frac{16}{9} \)
Örnek 6:
Bir miktar parayı 4 kişi 10 günde harcarsa, aynı miktar parayı 8 kişi kaç günde harcar? 💰
Çözüm:
Bu problemde, kişi sayısı ile paranın harcanma süresi arasında ters orantı vardır. Kişi sayısı arttıkça, paranın harcanma süresi azalır. ⬇️
- Kişi sayısı ile gün sayısı ters orantılıdır.
- Formül: Kişi Sayısı ₁ × Gün Sayısı ₁ = Kişi Sayısı ₂ × Gün Sayısı ₂
- Verilenler: Kişi Sayısı ₁ = 4, Gün Sayısı ₁ = 10, Kişi Sayısı ₂ = 8
- Bulunması gereken: Gün Sayısı ₂
- Denklem kuralım: \( 4 \times 10 = 8 \times x \)
- Hesaplama: \( 40 = 8x \)
- x'i bulmak için her iki tarafı 8'e bölelim: \( x = \frac{40}{8} \)
- Sonuç: \( x = 5 \)
Örnek 7:
3 makine günde 6 saat çalışarak 12 günde 720 parça ürün üretebiliyor. Aynı kapasitedeki 5 makine günde 8 saat çalışarak 10 günde kaç parça ürün üretebilir? 🏭
Çözüm:
Bu problem, makine sayısı, çalışma süresi, gün sayısı ve üretilen ürün miktarı arasındaki doğru orantıyı kullanır. 📈
- Üretilen ürün sayısı ile makine sayısı doğru orantılıdır.
- Üretilen ürün sayısı ile günlük çalışma saati doğru orantılıdır.
- Üretilen ürün sayısı ile gün sayısı doğru orantılıdır.
- Formül: \( \frac{Ürün Sayısı}{Makine Sayısı \times Gün Sayısı \times Çalışma Saati} \) sabittir.
- \( \frac{Ürün Sayısı₁}{Makine Sayısı₁ \times Gün Sayısı₁ \times Çalışma Saati₁} = \frac{Ürün Sayısı₂}{Makine Sayısı₂ \times Gün Sayısı₂ \times Çalışma Saati₂} \)
- Verilenler: Ürün Sayısı ₁ = 720, Makine Sayısı ₁ = 3, Gün Sayısı ₁ = 12, Çalışma Saati ₁ = 6
- Bulunması gereken: Ürün Sayısı ₂
- İkinci durum bilgileri: Makine Sayısı ₂ = 5, Gün Sayısı ₂ = 10, Çalışma Saati ₂ = 8
- Denklem kuralım: \( \frac{720}{3 \times 12 \times 6} = \frac{x}{5 \times 10 \times 8} \)
- Hesaplama: \( \frac{720}{216} = \frac{x}{400} \)
- Sadeleştirme: \( \frac{10}{3} = \frac{x}{400} \)
- x'i bulmak için her iki tarafı 400 ile çarpalım: \( x = \frac{10}{3} \times 400 \)
- \( x = \frac{4000}{3} \)
Örnek 8:
Bir çiftçi, 10 dönüm tarlayı 5 günde sürebiliyorsa, 20 dönüm tarlayı aynı verimle kaç günde sürer? 🚜
Çözüm:
Bu problemde, çiftçinin tarlayı sürme süresi ile tarlanın büyüklüğü arasında doğru orantı vardır. Tarlanın büyüklüğü arttıkça, sürme süresi de artacaktır. ⬆️
- Dönüm sayısı ile gün sayısı doğru orantılıdır.
- Formül: \( \frac{Dönüm Sayısı₁}{Gün Sayısı₁} = \frac{Dönüm Sayısı₂}{Gün Sayısı₂} \)
- Verilenler: Dönüm Sayısı ₁ = 10, Gün Sayısı ₁ = 5, Dönüm Sayısı ₂ = 20
- Bulunması gereken: Gün Sayısı ₂
- Denklem kuralım: \( \frac{10}{5} = \frac{20}{x} \)
- Hesaplama: \( 2 = \frac{20}{x} \)
- x'i bulmak için her iki tarafı x ile çarpıp sonra 2'ye bölelim: \( 2x = 20 \Rightarrow x = \frac{20}{2} \)
- Sonuç: \( x = 10 \)
Örnek 9:
Bir depodaki yiyecek, 20 asker için 30 gün yetmektedir. Eğer depoya 10 asker daha katılırsa ve yiyeceğin 1/4'ü bu yeni askerlere ilk 10 gün boyunca dağıtılırsa, kalan yiyecek mevcut askerlere kaç gün daha yeter? 🥫
Çözüm:
Bu problem, asker sayısı, gün sayısı ve yiyecek miktarı arasındaki ters ve doğru orantıları bir arada kullanır. Dikkatli olalım! 🧐
- 1. Adım: Başlangıçtaki Toplam Yiyecek Miktarını Belirleme
- Toplam yiyecek miktarı, asker sayısı ile gün sayısının çarpımıdır.
- Toplam Yiyecek = 20 asker × 30 gün = 600 asker-gün
- 2. Adım: Yeni Asker Sayısını Hesaplama
- Yeni asker sayısı = 20 + 10 = 30 asker
- 3. Adım: İlk 10 Günlük Tüketimi Hesaplama
- İlk 10 gün boyunca toplam 30 asker (20 eski + 10 yeni) vardır.
- Bu 30 askerin ilk 10 günde tükettiği yiyecek miktarı: 30 asker × 10 gün = 300 asker-gün
- 4. Adım: Yeni Askerlere Dağıtılan Yiyecek Miktarını Hesaplama
- Toplam yiyeceğin 1/4'ü yeni askerlere dağıtılıyor.
- Dağıtılan Yiyecek = (1/4) × 600 asker-gün = 150 asker-gün
- Ancak bu yiyecek ilk 10 gün boyunca dağıtılıyor. Bu bilgi, ilk 10 günün toplam tüketimini etkiler.
- İlk 10 günün toplam tüketimi = (20 asker × 10 gün) + (10 yeni asker × 10 gün) = 200 + 100 = 300 asker-gün.
- Bu 300 asker-günlük tüketimin içinde, yeni askerlere özel dağıtılan 150 asker-günlük kısım da yer almaktadır.
- 5. Adım: İlk 10 Gün Sonrası Kalan Yiyecek Miktarını Hesaplama
- İlk 10 gün sonunda tüketilen yiyecek miktarı = 300 asker-gün
- Kalan yiyecek miktarı = Toplam Yiyecek - Tüketilen Yiyecek
- Kalan Yiyecek = 600 asker-gün - 300 asker-gün = 300 asker-gün
- 6. Adım: Kalan Yiyeceğin Mevcut Askerlere Yetme Süresini Hesaplama
- Artık depoda 30 asker var (20 eski + 10 yeni).
- Kalan yiyecek (300 asker-gün) bu 30 askere kaç gün yeter?
- Gün Sayısı = Kalan Yiyecek / Mevcut Asker Sayısı
- Gün Sayısı = 300 asker-gün / 30 asker
- Gün Sayısı = 10 gün
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-bilesik-oranti/sorular