Aralarında Asal Sayıların Çarpımı ile Oluşan Sayıya Bölünebilme Ders Notu

11. Sınıf Matematik: Aralarında Asal Sayıların Çarpımı ile Oluşan Sayıya Bölünebilme

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu dersimizde, 11. sınıf matematik müfredatımızda yer alan önemli bir konuya odaklanacağız: Aralarında asal sayıların çarpımı ile oluşan bir sayıya bölünebilme kuralları. Bu kurallar, büyük sayıların bölünebilme durumlarını daha kolay analiz etmemizi sağlar.

Aralarında Asal Sayılar Nedir?

İki veya daha fazla pozitif tam sayının 1'den başka ortak pozitif tam böleni yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin:

• 2 ve 3 aralarında asaldır. (Ortak bölenleri sadece 1'dir.)
• 4 ve 9 aralarında asaldır. (4'ün bölenleri: 1, 2, 4; 9'un bölenleri: 1, 3, 9. Ortak bölenleri sadece 1'dir.)
• 6 ve 9 aralarında asal değildir. (Ortak bölenleri 1 ve 3'tür.)

Aralarında Asal Çarpanlara Ayırma Kuralı

Bir sayının, aralarında asal olan iki sayının çarpımına bölünüp bölünmediğini anlamak için şu kuralı kullanırız:

Bir A doğal sayısı, aralarında asal olan b ve c sayılarının çarpımına (yani \( b \times c \)'ye) tam bölünebiliyorsa, A sayısı hem b'ye hem de c'ye tam bölünür. Tersine, eğer A sayısı hem b'ye hem de c'ye tam bölünüyorsa ve b ile c aralarında asalsa, A sayısı \( b \times c \)'ye de tam bölünür.

Örnek 1: 360 sayısının 8 ve 9'a bölünebilirliği

Soru: 360 sayısı 72'ye tam bölünür mü? 72 sayısını 8 ve 9 olarak düşünebiliriz.

Çözüm:

1. Öncelikle 8 ve 9'un aralarında asal olup olmadığını kontrol edelim. 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8. 9'un bölenleri: 1, 3, 9. 8 ve 9'un 1'den başka ortak böleni yoktur, yani aralarında asaldırlar.
2. Şimdi 360'ın 8'e bölünüp bölünmediğini kontrol edelim. Bir sayının 8'e bölünebilmesi için son üç basamağının 8'e bölünmesi gerekir. 360 sayısı 8'e tam bölünür çünkü \( 360 \div 8 = 45 \).
3. Şimdi 360'ın 9'a bölünüp bölünmediğini kontrol edelim. Bir sayının 9'a bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir. 360'ın rakamları toplamı \( 3 + 6 + 0 = 9 \). 9 sayısı 9'un katı olduğu için 360 sayısı 9'a tam bölünür. \( 360 \div 9 = 40 \).
4. Hem 8'e hem de 9'a tam bölündüğü ve 8 ile 9 aralarında asal olduğu için, 360 sayısı \( 8 \times 9 = 72 \)'ye de tam bölünür.

Sonuç: 360 sayısı 72'ye tam bölünür. \( 360 \div 72 = 5 \).

Örnek 2: 1260 sayısının 12'ye bölünebilirliği

Soru: 1260 sayısı 12'ye tam bölünür mü? 12 sayısını aralarında asal çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

1. 12 sayısını aralarında asal çarpanlarına ayırabiliriz. Örneğin, 3 ve 4. 3 ve 4 aralarında asaldır.
2. Şimdi 1260'ın 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol edelim. Rakamları toplamı: \( 1 + 2 + 6 + 0 = 9 \). 9, 3'ün katı olduğu için 1260 sayısı 3'e tam bölünür. \( 1260 \div 3 = 420 \).
3. Şimdi 1260'ın 4'e bölünüp bölünmediğini kontrol edelim. Bir sayının 4'e bölünebilmesi için son iki basamağının 4'e bölünmesi gerekir. 1260'ın son iki basamağı 60'tır. \( 60 \div 4 = 15 \). Dolayısıyla 1260 sayısı 4'e tam bölünür. \( 1260 \div 4 = 315 \).
4. Hem 3'e hem de 4'e tam bölündüğü ve 3 ile 4 aralarında asal olduğu için, 1260 sayısı \( 3 \times 4 = 12 \)'ye de tam bölünür.

Sonuç: 1260 sayısı 12'ye tam bölünür. \( 1260 \div 12 = 105 \).

Daha Fazla Çarpan İçin Uygulama

Eğer bir sayı, aralarında asal olan üç veya daha fazla sayının çarpımına bölünüyor mu diye bakmak istersek, bu kuralı genişletebiliriz. Örneğin, bir A sayısı \( a \times b \times c \) sayısına tam bölünüyorsa ve \( a, b, c \) aralarında asalsa, A sayısı hem \( a \)'ye, hem \( b \)'ye hem de \( c \)'ye tam bölünür.

Örnek 3: 2520 sayısının 30'a bölünebilirliği

Soru: 2520 sayısı 30'a tam bölünür mü? 30 sayısını aralarında asal çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

1. 30 sayısını aralarında asal çarpanlarına ayırabiliriz. Örneğin, 3, 5 ve 2. Bu sayılar 3, 5 ve 2 aralarında asaldır.
2. 2520 sayısı 2'ye tam bölünür mü? Son basamağı çift olduğu için evet. \( 2520 \div 2 = 1260 \).
3. 2520 sayısı 3'e tam bölünür mü? Rakamları toplamı \( 2 + 5 + 2 + 0 = 9 \). 9, 3'ün katı olduğu için evet. \( 2520 \div 3 = 840 \).
4. 2520 sayısı 5'e tam bölünür mü? Son basamağı 0 veya 5 olduğu için evet. \( 2520 \div 5 = 504 \).
5. 2520 sayısı hem 2'ye, hem 3'e hem de 5'e tam bölündüğü ve bu sayılar aralarında asal olduğu için, 2520 sayısı \( 2 \times 3 \times 5 = 30 \)'a da tam bölünür.

Sonuç: 2520 sayısı 30'a tam bölünür. \( 2520 \div 30 = 84 \).

Bu kurallar, özellikle büyük sayılarla uğraşırken bölünebilme problemlerini çözmede bize büyük kolaylık sağlar. Önemli olan, sayıyı aralarında asal çarpanlarına doğru bir şekilde ayırabilmektir.