🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Analitik Geometri İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Analitik Geometri İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda denklemleri verilen doğruların birbirine göre durumlarını inceleyiniz. 👉
\( d_1: y = 2x + 3 \)
\( d_2: y = 2x - 1 \)
\( d_1: y = 2x + 3 \)
\( d_2: y = 2x - 1 \)
Çözüm:
Bu örnekte, doğruların denklemleri eğim-kesişim noktası formunda (\( y = mx + n \)) verilmiştir. 💡
Doğrular birbirine paraleldir.
- Öncelikle her iki doğrunun da eğimlerini bulalım.
- \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 = 2 \) dir.
- \( d_2 \) doğrusunun eğimi \( m_2 = 2 \) dir.
- Eğimler birbirine eşittir (\( m_1 = m_2 \)). Bu durum, doğruların paralel veya çakışık olabileceğini gösterir.
- Şimdi y-eksenini kestikleri noktalara (sabit terimlere) bakalım.
- \( d_1 \) doğrusunun y-eksenini kestiği nokta \( n_1 = 3 \) tür.
- \( d_2 \) doğrusunun y-eksenini kestiği nokta \( n_2 = -1 \) dir.
- Sabit terimler (y-kesişimleri) farklıdır (\( n_1 \neq n_2 \)).
- Sonuç olarak, eğimleri eşit ve y-kesişimleri farklı olan doğrular birbirine paraleldir. ✅
Doğrular birbirine paraleldir.
Örnek 2:
Denklemleri \( d_1: 3x - 4y + 7 = 0 \) ve \( d_2: 6x - 8y + 14 = 0 \) olan doğruların birbirine göre durumunu belirleyiniz. 📌
Çözüm:
Bu örnekte, doğruların denklemleri genel formda (\( Ax + By + C = 0 \)) verilmiştir. 💡
Doğrular çakışıktır.
- Doğruların genel denklem formunda birbirine göre durumlarını belirlemek için katsayılar oranına bakarız.
- \( d_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0 \Rightarrow A_1 = 3, B_1 = -4, C_1 = 7 \)
- \( d_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0 \Rightarrow A_2 = 6, B_2 = -8, C_2 = 14 \)
- Katsayılar oranlarını hesaplayalım:
- \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
- \( \frac{B_1}{B_2} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2} \)
- \( \frac{C_1}{C_2} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
- Görüldüğü üzere, tüm katsayılar oranları birbirine eşittir: \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \).
- Bu durum, doğruların çakışık olduğunu gösterir. Yani, bu iki doğru aslında aynı doğrudur. ✅
Doğrular çakışıktır.
Örnek 3:
\( d_1: 2x + (m+1)y - 5 = 0 \) doğrusu ile \( d_2: 4x - 6y + 1 = 0 \) doğrusu paralel olduğuna göre, \( m \) değerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
İki doğru paralel ise, genel denklem formundaki katsayılar oranları \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \) olmalıdır. 💡
Buna göre, \( m = -4 \) olmalıdır.
- Verilen doğruların katsayılarını belirleyelim:
- \( d_1: A_1 = 2, B_1 = m+1, C_1 = -5 \)
- \( d_2: A_2 = 4, B_2 = -6, C_2 = 1 \)
- Paralellik koşulunu uygulayalım: \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \)
- \( \frac{2}{4} = \frac{m+1}{-6} \)
- Denklemi basitleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{m+1}{-6} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 1 \times (-6) = 2 \times (m+1) \)
- \( -6 = 2m + 2 \)
- \( -6 - 2 = 2m \)
- \( -8 = 2m \)
- \( m = \frac{-8}{2} \)
- \( m = -4 \)
- Son olarak, \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \) koşulunu kontrol edelim: \( \frac{2}{4} = \frac{-4+1}{-6} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} \). Ayrıca \( \frac{C_1}{C_2} = \frac{-5}{1} = -5 \). Görüldüğü gibi \( \frac{1}{2} \neq -5 \), yani paralellik koşulu sağlanır. ✅
Buna göre, \( m = -4 \) olmalıdır.
Örnek 4:
\( d_1: y = (k+1)x + 7 \) doğrusu ile \( d_2: y = -3x - 2 \) doğrusu birbirine dik olduğuna göre, \( k \) değerini bulunuz. 📐
Çözüm:
İki doğru birbirine dik ise, eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olmalıdır (\( m_1 \times m_2 = -1 \)). 💡
Buna göre, \( k = -\frac{2}{3} \) olmalıdır.
- Verilen doğruların eğimlerini belirleyelim:
- \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 = k+1 \) dir.
- \( d_2 \) doğrusunun eğimi \( m_2 = -3 \) tür.
- Diklik koşulunu uygulayalım: \( m_1 \times m_2 = -1 \)
- \( (k+1) \times (-3) = -1 \)
- Denklemi çözelim: \( -3k - 3 = -1 \)
- \( -3k = -1 + 3 \)
- \( -3k = 2 \)
- \( k = -\frac{2}{3} \) ✅
Buna göre, \( k = -\frac{2}{3} \) olmalıdır.
Örnek 5:
Denklemleri \( d_1: x + 2y = 7 \) ve \( d_2: 3x - y = 0 \) olan doğruların kesişim noktasının koordinatlarını bulunuz. 📍
Çözüm:
İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için, bu iki doğrunun denklemlerinden oluşan bir denklem sistemini çözmemiz gerekir. 💡
Kesişim noktası \( (1, 3) \) dir.
- Denklem sistemi şu şekildedir:
- \( x + 2y = 7 \) (Denklem 1)
- \( 3x - y = 0 \) (Denklem 2)
- Denklem 2'den \( y \) değerini \( x \) cinsinden ifade edelim: \( y = 3x \).
- Bu \( y \) değerini Denklem 1'de yerine yazalım:
- \( x + 2(3x) = 7 \)
- \( x + 6x = 7 \)
- \( 7x = 7 \)
- \( x = 1 \)
- Şimdi bulduğumuz \( x = 1 \) değerini Denklem 2'de (veya Denklem 1'de) yerine yazarak \( y \) değerini bulalım:
- \( y = 3x \Rightarrow y = 3(1) \)
- \( y = 3 \)
- Buna göre, doğruların kesişim noktasının koordinatları \( (x, y) = (1, 3) \) tür. ✅
Kesişim noktası \( (1, 3) \) dir.
Örnek 6:
\( d_1: (a+1)x - 2y + 4 = 0 \) ve \( d_2: 3x - by + 6 = 0 \) doğruları çakışık olduğuna göre, \( a+b \) toplamının değerini bulunuz. 🤝
Çözüm:
İki doğru çakışık ise, genel denklem formundaki tüm katsayılar oranları birbirine eşit olmalıdır: \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \). 💡
Buna göre, \( a+b = 4 \) tür.
- Verilen doğruların katsayılarını belirleyelim:
- \( d_1: A_1 = a+1, B_1 = -2, C_1 = 4 \)
- \( d_2: A_2 = 3, B_2 = -b, C_2 = 6 \)
- Çakışıklık koşulunu uygulayalım: \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \)
- Öncelikle bilinen sabit terimlerin oranını kullanarak diğer bilinmeyenleri bulalım:
- \( \frac{C_1}{C_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- Şimdi \( a \) değerini bulmak için \( \frac{A_1}{A_2} \) oranını bu değere eşitleyelim:
- \( \frac{a+1}{3} = \frac{2}{3} \)
- Paydalar eşit olduğu için paylar da eşit olmalıdır: \( a+1 = 2 \)
- \( a = 2 - 1 \)
- \( a = 1 \)
- Şimdi \( b \) değerini bulmak için \( \frac{B_1}{B_2} \) oranını aynı değere eşitleyelim:
- \( \frac{-2}{-b} = \frac{2}{3} \)
- \( \frac{2}{b} = \frac{2}{3} \)
- Yine paylar eşit olduğu için paydalar da eşit olmalıdır: \( b = 3 \)
- Son olarak, \( a+b \) toplamını hesaplayalım:
- \( a+b = 1 + 3 = 4 \) ✅
Buna göre, \( a+b = 4 \) tür.
Örnek 7:
Bir şehir planlamacısı, iki farklı metro hattının güzergahlarını koordinat düzleminde modellemiştir. Birinci metro hattı \( d_1: y = 2x - 5 \) denklemiyle, ikinci metro hattı ise \( d_2: 4x - 2y + 10 = 0 \) denklemiyle temsil edilmektedir. Bu iki metro hattının birbirine göre durumu nedir? Eğer kesişiyorlarsa, kesişim noktası neresidir? 🚇
Çözüm:
Bu yeni nesil soruda, iki metro hattının güzergahlarının analitik düzlemdeki denklemleri verilmiş ve birbirine göre durumları istenmektedir. 💡
Metro hatları birbirine paraleldir ve kesişim noktaları yoktur.
- Öncelikle her iki denklemi de aynı forma (örneğin \( y = mx + n \) formuna) dönüştürelim veya genel formdaki katsayılar oranını kullanalım.
- Birinci hat \( d_1: y = 2x - 5 \) zaten eğim-kesişim formunda verilmiştir. Buradan \( m_1 = 2 \) ve \( n_1 = -5 \) dir.
- İkinci hat \( d_2: 4x - 2y + 10 = 0 \) denklemini \( y = mx + n \) formuna çevirelim:
- \( -2y = -4x - 10 \)
- Her tarafı \( -2 \) ye bölelim: \( y = \frac{-4x}{-2} + \frac{-10}{-2} \)
- \( y = 2x + 5 \)
- Şimdi \( d_2 \) doğrusunun eğimi \( m_2 = 2 \) ve y-kesişimi \( n_2 = 5 \) dir.
- Eğimleri karşılaştıralım: \( m_1 = 2 \) ve \( m_2 = 2 \). Eğimler eşittir (\( m_1 = m_2 \)).
- Y-kesişimlerini karşılaştıralım: \( n_1 = -5 \) ve \( n_2 = 5 \). Y-kesişimleri farklıdır (\( n_1 \neq n_2 \)).
- Eğimleri eşit ancak y-kesişimleri farklı olan doğrular birbirine paraleldir.
- Paralel doğrular hiçbir zaman kesişmezler. Bu nedenle, metro hatları birbirini kesmeyecektir. ✅
Metro hatları birbirine paraleldir ve kesişim noktaları yoktur.
Örnek 8:
Bir mimar, bir binanın zemin kat planını çizerken iki ana duvarın konumunu belirlemiştir. Bu duvarlardan biri \( d_1: 3x - 2y + 6 = 0 \) doğrusu üzerinde, diğeri ise \( d_2: 2x + 3y - 12 = 0 \) doğrusu üzerinde yer almaktadır. Mimar, bu iki duvarın konumunu dikkate alarak odaların köşegenlerini tasarlayacaktır. Bu iki duvar birbirine göre hangi konumdadır (paralel, dik kesişen, başka bir açıyla kesişen)? 🏠
Çözüm:
Bu günlük hayat örneğinde, mimari bir tasarımda duvarların konumları analitik geometri ile ifade edilmiştir. Duvarların birbirine göre konumunu belirlemek için eğimlerini incelememiz gerekiyor. 💡
Bu iki duvar birbirine dik kesişmektedir. Mimar, bu durumu odaların dik köşelerini tasarlarken kullanabilir.
- Her iki doğrunun da eğimini bulmak için denklemleri \( y = mx + n \) formuna çevirelim.
- Birinci duvar \( d_1: 3x - 2y + 6 = 0 \):
- \( -2y = -3x - 6 \)
- \( y = \frac{-3x}{-2} + \frac{-6}{-2} \)
- \( y = \frac{3}{2}x + 3 \)
- Buna göre, \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 = \frac{3}{2} \) dir.
- İkinci duvar \( d_2: 2x + 3y - 12 = 0 \):
- \( 3y = -2x + 12 \)
- \( y = \frac{-2}{3}x + \frac{12}{3} \)
- \( y = -\frac{2}{3}x + 4 \)
- Buna göre, \( d_2 \) doğrusunun eğimi \( m_2 = -\frac{2}{3} \) tür.
- Şimdi eğimleri karşılaştıralım: \( m_1 = \frac{3}{2} \) ve \( m_2 = -\frac{2}{3} \).
- Eğimler eşit değildir (\( m_1 \neq m_2 \)), bu yüzden doğrular paralel veya çakışık değildir; kesişmektedirler.
- Eğimlerin çarpımına bakalım: \( m_1 \times m_2 = \left(\frac{3}{2}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) \)
- \( m_1 \times m_2 = -1 \)
- Eğimlerin çarpımı \( -1 \) olduğu için, bu iki duvar birbirine dik kesişmektedir. ✅
Bu iki duvar birbirine dik kesişmektedir. Mimar, bu durumu odaların dik köşelerini tasarlarken kullanabilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-analitik-geometri-iki-dogrunun-birbirine-gore-durumu/sorular