💡 11. Sınıf Matematik: 50 Adet Eşitsizlik Sorusu Basit Ve Orta Düzey Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: 50 Adet Eşitsizlik Sorusu Basit Ve Orta Düzey Çözümlü Örnekler
- Öncelikle sabit terimi eşitsizliğin diğer tarafına atalım: \[ 3x < 9 \]
- Şimdi her iki tarafı \(x\)'in katsayısı olan 3'e bölelim. Eşitsizlik yön değiştirmez çünkü böldüğümüz sayı pozitif (+3): \[ \frac{3x}{3} < \frac{9}{3} \] \[ x < 3 \]
- Bu durumda \(x\) değerleri 3'ten küçük tüm gerçek sayılardır. Çözüm kümesi, açık aralık olarak \( (-\infty, 3) \) şeklinde ifade edilir. ✅
- Önce denklemin köklerini bulalım: \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)
Çarpanlara ayırırsak: \( (x-2)(x-5) = 0 \)
Kökler: \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 5 \) - Şimdi bir işaret tablosu oluşturalım:
| \(x\) | \(-\infty\) | 2 | 5 | \(+\infty\) |
| \(x^2-7x+10\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
(İşaret, en büyük dereceli terimin katsayısı pozitif olduğu için sağdan (+) ile başlar, her kökte işaret değiştirir.) - Eşitsizliğimiz \( x^2 - 7x + 10 \leq 0 \) olduğundan, ifadenin sıfır veya negatif olduğu aralığı arıyoruz.
Tabloya göre, bu aralık \( [2, 5] \) kapalı aralığıdır. Köklere eşitlik (\(\leq\)) olduğu için kökler de çözüme dahildir. ✅
- Payın kökü: \( x-3 = 0 \implies x_1 = 3 \)
- Paydanın kökü: \( x+4 = 0 \implies x_2 = -4 \)
- Şimdi bir işaret tablosu oluşturalım:
| \(x\) | \(-\infty\) | -4 | 3 | \(+\infty\) |
| \(x-3\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) |
| \(x+4\) | \(-\) | 0 | \(+\) | \(+\) |
| \(\frac{x-3}{x+4}\) | \(+\) | Tanımsız | \(-\) | 0 | \(+\) |
(En büyük dereceli terimlerin katsayıları pozitif olduğu için bölümün işareti sağdan (+) ile başlar.) - Eşitsizliğimiz \( \frac{x-3}{x+4} > 0 \) olduğundan, ifadenin pozitif olduğu aralığı arıyoruz.
Tabloya göre, bu aralıklar \( (-\infty, -4) \) ve \( (3, \infty) \) aralıklarıdır. Paydanın kökü olan \(x=-4\) tanımsızlık yarattığı için her zaman açık aralık olarak yazılır. Payın kökünde (\(x=3\)) eşitlik olmadığı için o da açık aralıktır.
Çözüm kümesi: \( (-\infty, -4) \cup (3, \infty) \). ✅
- Kökleri bulalım:
- \( (x-1)^2 = 0 \implies x_1 = 1 \) (Bu bir çift katlı köktür. İşaret tablosunda iki çizgi ile gösterilebilir.)
- \( x+2 = 0 \implies x_2 = -2 \)
- Şimdi bir işaret tablosu oluşturalım:
| \(x\) | \(-\infty\) | -2 | 1 | \(+\infty\) |
| \(x+2\) | \(-\) | 0 | \(+\) | \(+\) |
| \((x-1)^2\) | \(+\) | \(+\) | 0 | \(+\) |
| \((x-1)^2(x+2)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(+\) |
(En büyük dereceli terimin katsayısı pozitif olduğu için sağdan (+) ile başlar. \(x=1\) çift katlı kök olduğu için işaret değişmez.) - Eşitsizliğimiz \( (x-1)^2 (x+2) \geq 0 \) olduğundan, ifadenin sıfır veya pozitif olduğu aralığı arıyoruz.
Tabloya göre, bu aralık \( [-2, \infty) \) 'dir. \(x=1\) noktasında da ifade sıfır olduğu için bu nokta da çözüm kümesine dahildir ve zaten \( [-2, \infty) \) aralığının içindedir.
Çözüm kümesi: \( [-2, \infty) \). ✅
- Birinci eşitsizlik: \( x - 5 > 0 \)
Bu eşitsizliği çözersek: \( x > 5 \)
Çözüm kümesi: \( K_1 = (5, \infty) \) - İkinci eşitsizlik: \( x^2 - 9 < 0 \)
Köklerini bulalım: \( x^2 - 9 = 0 \implies (x-3)(x+3) = 0 \)
Kökler: \( x_1 = -3 \) ve \( x_2 = 3 \)
İşaret tablosu (Baş katsayı pozitif):| \(x\) | \(-\infty\) | -3 | 3 | \(+\infty\) |
| \(x^2-9\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
Eşitsizlik \( < 0 \) olduğu için, çözüm kümesi: \( K_2 = (-3, 3) \) - Çözüm kümelerinin kesişimi:
Şimdi \( K_1 \) ve \( K_2 \) kümelerinin kesişimini bulmalıyız: \[ K_1 \cap K_2 = (5, \infty) \cap (-3, 3) \]
Bu iki aralığın ortak elemanı bulunmamaktadır. Çünkü \( (5, \infty) \) aralığındaki tüm sayılar 5'ten büyükken, \( (-3, 3) \) aralığındaki tüm sayılar 3'ten küçüktür.
Bu nedenle çözüm kümesi boş kümedir: \( \emptyset \). ✅
Hatırlatma: Kar = Satış Fiyatı - Maliyet Fiyatı
- Kar fonksiyonunu oluşturalım:
Kar = \( (2x + 10) - (x^2 - 6x + 5) \)
Kar = \( 2x + 10 - x^2 + 6x - 5 \)
Kar = \( -x^2 + 8x + 5 \) - Kar elde etmek için Kar \( > 0 \) olmalıdır: \[ -x^2 + 8x + 5 > 0 \]
- Eşitsizliği daha kolay çözmek için her tarafı \(-1\) ile çarpalım. Eşitsizlik yön değiştirir! \[ x^2 - 8x - 5 < 0 \]
- Şimdi bu ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulalım. Çarpanlara ayırma zor olduğu için delta (\( \Delta \)) yöntemini kullanalım:
\( a=1, b=-8, c=-5 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(-5) = 64 + 20 = 84 \)
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{84}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 21}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{21}}{2} = 4 \pm \sqrt{21} \)
Kökler: \( x_1 = 4 - \sqrt{21} \) ve \( x_2 = 4 + \sqrt{21} \)
(\( \sqrt{21} \) yaklaşık olarak 4.58'dir. Yani \( x_1 \approx 4 - 4.58 = -0.58 \) ve \( x_2 \approx 4 + 4.58 = 8.58 \)) - İşaret tablosu oluşturalım (\( x^2 - 8x - 5 \) ifadesi için baş katsayı pozitif):
| \(x\) | \(-\infty\) | \(4-\sqrt{21}\) | \(4+\sqrt{21}\) | \(+\infty\) |
| \(x^2-8x-5\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
- Eşitsizliğimiz \( x^2 - 8x - 5 < 0 \) olduğundan, ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz.
Bu aralık \( (4 - \sqrt{21}, 4 + \sqrt{21}) \) 'dir.
Kar elde etmek için \(x\) değişkeninin alabileceği değer aralığı \( (4 - \sqrt{21}, 4 + \sqrt{21}) \) olmalıdır. ✅
- Eşitsizliği düzenleyelim: \[ v^2 - 100v + 2600 - 200 \leq 0 \] \[ v^2 - 100v + 2400 \leq 0 \]
- Şimdi bu ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulalım. Çarpanlara ayırma yöntemiyle deneyelim:
\( v^2 - 100v + 2400 = 0 \)
Çarpımları 2400, toplamları -100 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar -40 ve -60'tır.
\( (v-40)(v-60) = 0 \)
Kökler: \( v_1 = 40 \) ve \( v_2 = 60 \) - İşaret tablosu oluşturalım (\( v^2 - 100v + 2400 \) ifadesi için baş katsayı pozitif):
| \(v\) | \(-\infty\) | 40 | 60 | \(+\infty\) |
| \(v^2-100v+2400\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
- Eşitsizliğimiz \( v^2 - 100v + 2400 \leq 0 \) olduğundan, ifadenin sıfır veya negatif olduğu aralığı arıyoruz.
Tabloya göre, bu aralık \( [40, 60] \) kapalı aralığıdır. - Hızın pozitif olması gerektiği bilgisiyle, bulduğumuz aralık \( [40, 60] \) zaten pozitif değerler içerdiğinden ek bir kısıtlama gerekmez.
Otobüsün hızının \( [40, 60] \) km/saat aralığında olması gerekir. ✅
- Eşitsizliği bu kurala göre açalım: \[ -6 < 2x - 4 < 6 \]
- Şimdi bu iki taraflı eşitsizliği çözelim. Öncelikle ortadaki \( -4 \) teriminden kurtulmak için her üç tarafa \( +4 \) ekleyelim: \[ -6 + 4 < 2x - 4 + 4 < 6 + 4 \] \[ -2 < 2x < 10 \]
- Şimdi ortadaki \( 2x \) teriminden \(x\)'i yalnız bırakmak için her üç tarafı \( +2 \) ile bölelim. (Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez): \[ \frac{-2}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{10}{2} \] \[ -1 < x < 5 \]
- Bu durumda \(x\) değerleri -1 ile 5 arasındaki tüm gerçek sayılardır. Çözüm kümesi, açık aralık olarak \( (-1, 5) \) şeklinde ifade edilir. ✅
- Önce ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
\( x^3 - 4x = x(x^2 - 4) \)
\( x^2 - 4 \) ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \)
Dolayısıyla eşitsizlik: \( x(x-2)(x+2) \leq 0 \) - Şimdi denklemin köklerini bulalım:
- \( x = 0 \implies x_1 = 0 \)
- \( x-2 = 0 \implies x_2 = 2 \)
- \( x+2 = 0 \implies x_3 = -2 \)
- Şimdi bir işaret tablosu oluşturalım:
| \(x\) | \(-\infty\) | -2 | 0 | 2 | \(+\infty\) |
| \(x+2\) | \(-\) | 0 | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) | \(+\) |
| \(x-2\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) |
| \(x(x-2)(x+2)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
(En büyük dereceli terimin katsayısı pozitif olduğu için sağdan (+) ile başlar, her kökte işaret değiştirir.) - Eşitsizliğimiz \( x(x-2)(x+2) \leq 0 \) olduğundan, ifadenin sıfır veya negatif olduğu aralığı arıyoruz.
Tabloya göre, bu aralıklar \( (-\infty, -2] \) ve \( [0, 2] \) kapalı aralıklarıdır. Eşitlik (\(\leq\)) olduğu için kökler de çözüme dahildir.
Çözüm kümesi: \( (-\infty, -2] \cup [0, 2] \). ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-50-adet-esitsizlik-sorusu-basit-ve-orta-duzey/sorular