📄 11. Sınıf Matematik: 50 Adet Eşitsizlik Sorusu Basit Ve Orta Düzey Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu eşitsizliği çözmek için öncelikle her çarpanın köklerini buluruz:
1. \(x-3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3\) (Tek katlı kök)
2. \((x+1)^2 = 0 \Rightarrow x_2 = -1\) (Çift katlı kök)
3. \(x-5 = 0 \Rightarrow x_3 = 5\) (Tek katlı kök)
Kökleri küçükten büyüğe doğru sıralayarak bir işaret tablosu oluştururuz: \(-1, 3, 5\).
Baş katsayıların çarpımının işareti \((+)(+)(+)\) olduğu için en sağdaki aralık \((5, \infty))\) artı (+) ile başlar.
* \(x=5\) tek katlı kök olduğu için işaret değişir: \((3, 5))\) aralığı eksi (-).
* \(x=3\) tek katlı kök olduğu için işaret değişir: \((-1, 3))\) aralığı artı (+).
* \(x=-1\) çift katlı kök olduğu için işaret değişmez: \((-\infty, -1))\) aralığı artı (+).
Eşitsizlik \(\le 0\) olduğu için negatif bölgeleri ve kökleri çözüm kümesine dahil ederiz.
İşaret tablosu şu şekilde olacaktır:
\[\begin{array}{|c|ccccccc|}

x & -\infty & & -1 & & 3 & & 5 & & +\infty \\

(x-3)(x+1)^2(x-5) & & + & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\

\end{array}\]
Çözüm kümesi, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralıkları içerir. Bu aralık \([3, 5]\) ve kök olan \(-1\) dir.
Dolayısıyla çözüm kümesi \([3, 5] \cup \{-1\}\) dir.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle pay ve paydanın köklerini bulalım:
Pay: \(x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0\). Kökler \(x_1 = 1\) ve \(x_2 = 3\).
Payda: \(x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) = 0\). Kökler \(x_3 = -3\) ve \(x_4 = 2\).
Tüm kökleri küçükten büyüğe sıralayalım: \(-3, 1, 2, 3\).
Bu kökleri bir işaret tablosunda yerleştirelim. Paydadaki kökler (\(-3\) ve \(2\)) çözüm kümesine dahil edilmez çünkü payda sıfır olamaz. Eşitsizlik \(>0\) olduğu için kökler dahil edilmez.
Baş katsayıların oranı \(\frac{1}{1} = 1\) pozitif olduğu için en sağdaki aralık \((3, \infty))\) artı (+) ile başlar. Her kökte işaret değişir (tümü tek katlı kökler).
İşaret tablosu şu şekilde olacaktır:
\[\begin{array}{|c|ccccccccc|}

x & -\infty & & -3 & & 1 & & 2 & & 3 & & +\infty \\

\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 + x - 6} & & + & \text{tanımsız} & - & 0 & + & \text{tanımsız} & - & 0 & + \\

\end{array}\]
Eşitsizlik \(>0\) olduğu için pozitif bölgeleri alırız.
Çözüm kümesi: \((-\infty, -3) \cup (1, 2) \cup (3, \infty))\).

💡 Çözüm Adımları:

Marketin kar edebilmesi için kar fonksiyonunun değerinin pozitif olması gerekir, yani \(K(x) > 0\) olmalıdır.
\(-x^2 + 10x - 21 > 0\)
Eşitsizliğin her iki tarafını \(-1\) ile çarpalım. Bu durumda eşitsizliğin yönü değişir:
\(x^2 - 10x + 21 < 0\)
Şimdi bu ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulalım:
\(x^2 - 10x + 21 = 0\)
Çarpanlara ayırarak kökleri bulabiliriz: \((x-3)(x-7) = 0\)
Kökler \(x_1 = 3\) ve \(x_2 = 7\).
Bu kökleri kullanarak bir işaret tablosu oluşturalım. \(x^2\) teriminin katsayısı pozitif olduğu için en sağdaki aralık artı (+) ile başlar.
\[\begin{array}{|c|ccccccc|}

x & -\infty & & 3 & & 7 & & +\infty \\

x^2 - 10x + 21 & & + & 0 & - & 0 & + \\

\end{array}\]
Eşitsizliğimiz \(x^2 - 10x + 21 < 0\) olduğu için ifadenin negatif olduğu aralığı seçeriz.
Bu aralık \((3, 7))\) dir.
Bu durumda marketin kar edebilmesi için günlük 3 adetten fazla ve 7 adetten az ürün satması gerekir. Yani ürün adedi 4, 5 veya 6 olmalıdır.