💡 11. Sınıf Matematik: 2. dereceden 1 bilinmeyenli eşitsizlik sistemleri Çözümlü Örnekler

Bu tür eşitsizlik sistemlerini çözmek için her bir eşitsizliği ayrı ayrı inceleyip, bulduğumuz çözüm kümelerinin kesişimini almalıyız. 💡 1. Eşitsizliğin Çözümü: \( x^2 - 4 \ge 0 \)
Bu eşitsizliği \( (x-2)(x+2) \ge 0 \) şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.
Kökler: \( x = 2 \) ve \( x = -2 \).
İnterval tablosu veya işaret incelemesi ile bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \) olur. 2. Eşitsizliğin Çözümü: \( x^2 - 9 < 0 \)
Bu eşitsizliği \( (x-3)(x+3) < 0 \) şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.
Kökler: \( x = 3 \) ve \( x = -3 \).
İnterval tablosu veya işaret incelemesi ile bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-3, 3) \) olur. 3. Kesişim Kümesinin Bulunması
Şimdi iki çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterip kesişimlerini bulalım:

• \( (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \)
• \( (-3, 3) \)

Bu iki kümenin kesişimi \( (-3, -2] \cup [2, 3) \) aralığıdır. ✅

Bu soruyu adım adım çözelim: 1. Parabolün x Eksenini Kestiği Noktalar
Parabolün x eksenini kestiği noktaları bulmak için \( y = 0 \) yaparız:
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
Bu denklemi çarpanlarına ayırırsak: \( (x-2)(x-3) = 0 \)
Kökler \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) olur. Bu, parabolün x eksenini 2 ve 3 noktalarında kestiği anlamına gelir. 2. \( x^2 - 1 \le 0 \) Eşitsizliğinin Çözümü
Bu eşitsizliği \( (x-1)(x+1) \le 0 \) şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.
Kökler \( x = 1 \) ve \( x = -1 \) olur.
İşaret incelemesi ile bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( [-1, 1] \) olur. 3. Ortak Koşulları Sağlayan Tam Sayılar
Soruda, parabolün x eksenini kestiği noktalar arasındaki bölgede bulunan ve \( x^2 - 1 \le 0 \) eşitsizliğini sağlayan x tam sayıları soruluyor.
Parabolün x eksenini kestiği noktalar arasındaki bölge, \( x \in (2, 3) \) aralığıdır.
Ancak, \( x^2 - 1 \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi \( [-1, 1] \) aralığıdır.
Bu iki aralığın kesişimi boş kümedir. 🧐
Soruda bir hata olabilir veya "parabolün x eksenini kestiği noktalar arasındaki bölge" ifadesi, bu noktaların kendisini kapsamayacak şekilde yorumlanmalıdır. Eğer parabolün x eksenini kestiği noktalar arasındaki bölge \( [2, 3] \) olarak alınırsa, bu aralık ile \( [-1, 1] \) aralığının kesişimi yine boş küme olacaktır.
Eğer soru "parabolün x eksenini kestiği noktaların dışında kalan bölgede bulunan ve \( x^2 - 1 \le 0 \) eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı" şeklinde olsaydı, o zaman farklı bir çözüm elde edilirdi.
Mevcut haliyle, bu iki koşulu aynı anda sağlayan x tam sayısı yoktur. Toplamları 0'dır. ✅

Çiftçinin zarar etmemesi demek, gelirinin maliyetinden büyük veya eşit olması demektir. 💰 1. Eşitsizlik Sistemini Kurma
Gelir \( G(x) \), Maliyet \( M(x) \) olduğunda zarar edilmez.
\( G(x) \ge M(x) \)
\( -x^2 + 14x - 10 \ge x^2 - 10x + 30 \) 2. Eşitsizliği Düzenleme
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak standart bir 2. dereceden eşitsizlik elde edelim:
\( 0 \ge x^2 - 10x + 30 - (-x^2 + 14x - 10) \)
\( 0 \ge x^2 - 10x + 30 + x^2 - 14x + 10 \)
\( 0 \ge 2x^2 - 24x + 40 \)
Her iki tarafı -1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir:
\( 2x^2 - 24x + 40 \le 0 \)
Daha basit hale getirmek için her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( x^2 - 12x + 20 \le 0 \) 3. Eşitsizliği Çözme
Şimdi \( x^2 - 12x + 20 \le 0 \) eşitsizliğini çözelim.
Çarpanlarına ayıralım: \( (x-2)(x-10) \le 0 \)
Kökler \( x = 2 \) ve \( x = 10 \) olur.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, kökler arasındaki kapalı aralıktır: \( [2, 10] \). Sonuç
Çiftçinin zarar etmemesi için dikmesi gereken fide sayısı (x), 2 ile 10 arasında (2 ve 10 dahil) olmalıdır. Yani, çiftçi en az 2, en fazla 10 fide dikmelidir. 👨‍🌾✅

İnşaat firmasının kar edebilmesi için satış fiyatının maliyetinden yüksek olması gerekir. 🏗️ 1. Eşitsizlik Sistemini Kurma
Kar etmek demek: \( S(x) > M(x) \)
\( -x^2 + 10x + 5 > x^2 - 6x + 15 \) 2. Eşitsizliği Düzenleme
Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
\( 0 > x^2 - 6x + 15 - (-x^2 + 10x + 5) \)
\( 0 > x^2 - 6x + 15 + x^2 - 10x - 5 \)
\( 0 > 2x^2 - 16x + 10 \)
Eşitsizliği \( 2x^2 - 16x + 10 < 0 \) şeklinde yazabiliriz.
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( x^2 - 8x + 5 < 0 \) 3. Eşitsizliği Çözme
Şimdi \( x^2 - 8x + 5 < 0 \) eşitsizliğini çözelim.
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak kolay değil. Bu yüzden kökleri bulmak için diskriminant yöntemini kullanalım: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Burada \( a=1, b=-8, c=5 \).
Diskriminant \( \Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(5) = 64 - 20 = 44 \)
Kökler:

• \( x_1 = \frac{8 - \sqrt{44}}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{11}}{2} = 4 - \sqrt{11} \)
• \( x_2 = \frac{8 + \sqrt{44}}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{11}}{2} = 4 + \sqrt{11} \)

\( \sqrt{11} \) yaklaşık olarak 3.31'dir.

• \( x_1 \approx 4 - 3.31 = 0.69 \)
• \( x_2 \approx 4 + 3.31 = 7.31 \)

Parabolün kolları yukarı doğru olduğu için \( x^2 - 8x + 5 < 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi, kökler arasındaki açık aralıktır: \( (4 - \sqrt{11}, 4 + \sqrt{11}) \). Sonuç
Firmanın kar edebilmesi için kullanması gereken beton miktarı (x), yaklaşık olarak \( (0.69, 7.31) \) ton aralığında olmalıdır. 🏢✅

Bu tür kesirli eşitsizlikleri çözerken pay ve paydayı ayrı ayrı ele alıp işaret tablosu kullanmak en etkili yöntemdir. 🧐 1. Payın Kökleri
Payı sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım:
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
Çarpanlarına ayıralım: \( (x-2)(x-3) = 0 \)
Payın kökleri: \( x = 2 \) ve \( x = 3 \). 2. Paydanın Kökü
Paydayı sıfıra eşitleyerek kökü bulalım:
\( x - 1 = 0 \)
Paydanın kökü: \( x = 1 \).
Önemli Not: Payda asla sıfır olamaz, bu yüzden \( x=1 \) çözüm kümesine dahil edilmez. 👉 3. İşaret Tablosu Oluşturma
Kökleri küçükten büyüğe doğru sıralayalım: 1, 2, 3.
Şimdi bu kökleri kullanarak bir işaret tablosu oluşturalım: | Interval | \( x-1 \) | \( x-2 \) | \( x-3 \) | \( \frac{(x-2)(x-3)}{x-1} \) | |-----------------|-----------|-----------|-----------|-------------------------------| | \( (-\infty, 1) \) | - | - | - | - | | \( (1, 2) \) | + | - | - | + | | \( (2, 3) \) | + | + | - | - | | \( (3, \infty) \) | + | + | + | + |
Tabloda, her bir çarpanın işaretini belirledikten sonra, kesrin tamamının işaretini bulmak için işaretleri çarpıyoruz.

• \( (-\infty, 1) \) aralığında: \( \frac{(-)(-)}{(-)} = \frac{(+)}{(-)} = - \)
• \( (1, 2) \) aralığında: \( \frac{(-)(-)}{(+)} = \frac{(+)}{(+)} = + \)
• \( (2, 3) \) aralığında: \( \frac{(+)(-)}{(+)} = \frac{(-)}{(+)} = - \)
• \( (3, \infty) \) aralığında: \( \frac{(+)(+)}{(+)} = \frac{(+)}{(+)} = + \)

4. Çözüm Kümesini Belirleme
Eşitsizliğimiz \( \ge 0 \) olduğu için, işaret tablosunda sonucun pozitif (+) veya sıfır (0) olduğu aralıkları almalıyız.
Sonucun pozitif olduğu aralıklar: \( (1, 2) \) ve \( (3, \infty) \).
Eşitsizlikte \( \ge 0 \) olduğu için payın kökleri (2 ve 3) çözüm kümesine dahildir. Ancak paydanın kökü (1) asla dahil edilemez.
Bu nedenle çözüm kümesi: \( (1, 2] \cup [3, \infty) \) olur. ✅

Bu eşitsizlik sistemini çözmek için her bir eşitsizliği ayrı ayrı inceleyip, bulduğumuz çözüm kümelerinin kesişimini alacağız. 💡 1. Eşitsizliğin Çözümü: \( x^2 - 3x + 2 \le 0 \)
Bu ikinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayıralım:
\( (x-1)(x-2) \le 0 \)
Kökler \( x=1 \) ve \( x=2 \) olur.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, kökler arasındaki kapalı aralıktır: \( [1, 2] \). 2. Eşitsizliğin Çözümü: \( x - 4 > 0 \)
Bu basit lineer eşitsizliği çözelim:
\( x > 4 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (4, \infty) \) aralığıdır. 3. Kesişim Kümesinin Bulunması
Şimdi bulduğumuz iki çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterip kesişimlerini bulalım:

• \( [1, 2] \)
• \( (4, \infty) \)

Bu iki kümenin kesişimi boş kümedir. 🚫 Çünkü \( [1, 2] \) aralığında hiçbir sayı 4'ten büyük değildir.
Dolayısıyla, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi \( \emptyset \) (boş küme) dir. ✅

Üreticinin kar edebilmesi için satış fiyatının maliyetinden yüksek olması gerekir. 👟 1. Eşitsizlik Sistemini Kurma
Kar etmek demek: \( S(x) > M(x) \)
\( -x^2 + 80x + 50 > 2x^2 - 40x + 200 \) 2. Eşitsizliği Düzenleme
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak standart bir 2. dereceden eşitsizlik elde edelim:
\( 0 > 2x^2 - 40x + 200 - (-x^2 + 80x + 50) \)
\( 0 > 2x^2 - 40x + 200 + x^2 - 80x - 50 \)
\( 0 > 3x^2 - 120x + 150 \)
Eşitsizliği \( 3x^2 - 120x + 150 < 0 \) şeklinde yazabiliriz.
Her iki tarafı 3'e bölelim:
\( x^2 - 40x + 50 < 0 \) 3. Eşitsizliği Çözme
Şimdi \( x^2 - 40x + 50 < 0 \) eşitsizliğini çözelim.
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak kolay değil, bu yüzden kökleri bulmak için diskriminant yöntemini kullanalım: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Burada \( a=1, b=-40, c=50 \).
Diskriminant \( \Delta = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(50) = 1600 - 200 = 1400 \)
Kökler:

• \( x_1 = \frac{40 - \sqrt{1400}}{2} = \frac{40 - 10\sqrt{14}}{2} = 20 - 5\sqrt{14} \)
• \( x_2 = \frac{40 + \sqrt{1400}}{2} = \frac{40 + 10\sqrt{14}}{2} = 20 + 5\sqrt{14} \)

\( \sqrt{14} \) yaklaşık olarak 3.74'tür.

• \( x_1 \approx 20 - 5(3.74) = 20 - 18.7 = 1.3 \)
• \( x_2 \approx 20 + 5(3.74) = 20 + 18.7 = 38.7 \)

Parabolün kolları yukarı doğru olduğu için \( x^2 - 40x + 50 < 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi, kökler arasındaki açık aralıktır: \( (20 - 5\sqrt{14}, 20 + 5\sqrt{14}) \). Sonuç
Üreticinin kar edebilmesi için bir günde üretmesi gereken ayakkabı sayısı (x), yaklaşık olarak \( (1.3, 38.7) \) aralığında olmalıdır. Ayakkabı sayısı tam sayı olacağından, üretici bir günde 2 ile 38 adet arasında ayakkabı üretmelidir. 🏃‍♂️✅

Bu kesirli eşitsizliği çözmek için pay ve paydayı ayrı ayrı çarpanlarına ayırıp işaret tablosu kullanacağız. 🧐 1. Payın Kökleri
Payı \( x^2 - 4 \) şeklinde yazabiliriz. Bu iki kare farkıdır:
\( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \)
Payın kökleri: \( x = 2 \) ve \( x = -2 \). 2. Paydanın Kökleri
Paydayı \( x^2 - 5x + 6 \) şeklinde yazabiliriz. Çarpanlarına ayıralım:
\( x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \)
Paydanın kökleri: \( x = 2 \) ve \( x = 3 \).
Önemli Not: Payda asla sıfır olamaz, bu yüzden \( x=2 \) ve \( x=3 \) çözüm kümesine dahil edilmez. 👉 3. Sadeleştirme ve İşaret Tablosu Oluşturma
Eşitsizliği sadeleştirelim:
\( \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} \le 0 \)
\( x \ne 2 \) koşuluyla \( (x-2) \) terimleri sadeleşir:
\( \frac{x+2}{x-3} \le 0 \) (Burada \( x \ne 2 \) olduğunu unutmayalım!)
Şimdi bu sadeleşmiş eşitsizlik için işaret tablosu oluşturalım. Kökler \( x = -2 \) (pay) ve \( x = 3 \) (payda). | Interval | \( x+2 \) | \( x-3 \) | \( \frac{x+2}{x-3} \) | |-----------------|-----------|-----------|-----------------------| | \( (-\infty, -2) \) | - | - | + | | \( (-2, 3) \) | + | - | - | | \( (3, \infty) \) | + | + | + |
Tabloda, her bir ifadenin işaretini belirledikten sonra, kesrin tamamının işaretini bulmak için işaretleri bölüyoruz.

• \( (-\infty, -2) \) aralığında: \( \frac{(-)}{(-)} = + \)
• \( (-2, 3) \) aralığında: \( \frac{(+)}{(-)} = - \)
• \( (3, \infty) \) aralığında: \( \frac{(+)}{(+)} = + \)

4. Çözüm Kümesini Belirleme
Eşitsizliğimiz \( \le 0 \) olduğu için, işaret tablosunda sonucun negatif (-) veya sıfır (0) olduğu aralıkları almalıyız.
Sonucun negatif olduğu aralık: \( (-2, 3) \).
Payın kökü \( x = -2 \) eşitsizlikte \( \le 0 \) olduğu için çözüm kümesine dahildir.
Paydanın kökü \( x = 3 \) asla dahil edilemez.
Ayrıca, başlangıçta sadeleştirme yaparken \( x \ne 2 \) koşulunu belirtmiştik. Bu nedenle \( x=2 \) de çözüm kümesine dahil edilmez.
Bu durumda, çözüm kümesi \( [-2, 3) \) aralığından \( x=2 \) noktasının çıkarılmasıyla elde edilir.
Dolayısıyla çözüm kümesi: \( [-2, 2) \cup (2, 3) \) olur. ✅

Bilim insanının iki ana koşulu var: bozunma hızının pozitif olması ve \( t^2 - 16 \le 0 \) eşitsizliğinin sağlanması. 🧪 1. Bozunma Hızının Pozitif Olduğu Zaman Aralığı
Hızın pozitif olması demek \( H(t) > 0 \) olması demektir:
\( -t^2 + 10t - 9 > 0 \)
Eşitsizliği \( t^2 - 10t + 9 < 0 \) şeklinde yazalım (her iki tarafı -1 ile çarptık).
Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım: \( (t-1)(t-9) < 0 \)
Kökler \( t=1 \) ve \( t=9 \) olur.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, kökler arasındaki açık aralıktır: \( (1, 9) \). 2. \( t^2 - 16 \le 0 \) Koşulunun Sağlandığı Zaman Aralığı
Bu eşitsizliği çarpanlarına ayıralım:
\( (t-4)(t+4) \le 0 \)
Kökler \( t=4 \) ve \( t=-4 \) olur.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, kökler arasındaki kapalı aralıktır: \( [-4, 4] \). 3. Kesişim Kümesinin Bulunması
Şimdi bulduğumuz iki çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterip kesişimlerini bulalım:

• \( (1, 9) \)
• \( [-4, 4] \)

Bu iki kümenin kesişimi \( (1, 4] \) aralığıdır. ⏳✅

E-ticaret sitesinin kar edebilmesi için satış fiyatının maliyetinden yüksek olması gerekir. 🛒 1. Eşitsizlik Sistemini Kurma
Kar etmek demek: \( S(x) > M(x) \)
\( -x^2 + 20x + 10 > x^2 - 12x + 40 \) 2. Eşitsizliği Düzenleme
Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
\( 0 > x^2 - 12x + 40 - (-x^2 + 20x + 10) \)
\( 0 > x^2 - 12x + 40 + x^2 - 20x - 10 \)
\( 0 > 2x^2 - 32x + 30 \)
Eşitsizliği \( 2x^2 - 32x + 30 < 0 \) şeklinde yazabiliriz.
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( x^2 - 16x + 15 < 0 \) 3. Eşitsizliği Çözme
Şimdi \( x^2 - 16x + 15 < 0 \) eşitsizliğini çözelim.
Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım: \( (x-1)(x-15) < 0 \)
Kökler \( x=1 \) ve \( x=15 \) olur.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, kökler arasındaki açık aralıktır: \( (1, 15) \). Sonuç
Sitenin kar edebilmesi için stok miktarının (x) 1'den büyük ve 15'ten küçük olması gerekir. Yani, stok miktarı 2 ile 14 adet arasında olmalıdır. 📦✅