🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: 1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: 1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
👉 Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz ve çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde gösteriniz:
\[ 3x - 5 < 10 \]
\[ 3x - 5 < 10 \]
Çözüm:
✅ Bu eşitsizliği çözmek için adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, eşitsizliğin sol tarafındaki sabit terimi eşitsizliğin sağına atalım. Unutmayın, bir terim eşitsizliğin diğer tarafına geçerken işareti değişir.
- \( 3x - 5 < 10 \)
- \( 3x < 10 + 5 \)
- \( 3x < 15 \)
- Şimdi, x'in katsayısı olan 3'e bölelim. Eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez.
- \( \frac{3x}{3} < \frac{15}{3} \)
- \( x < 5 \)
- 💡 Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, 5'ten küçük tüm gerçek sayılardır. Çözüm kümesini aralık olarak \( (-\infty, 5) \) şeklinde ifade edebiliriz.
- 📌 Sayı doğrusu üzerinde gösterimi: 5 noktasını boş bir daire ile işaretleriz (çünkü 5 dahil değil) ve 5'in solundaki tüm bölgeyi kalın çizgiyle belirterek çözüm kümesini gösteririz.
Örnek 2:
📌 Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz ve çözüm kümesini bulunuz:
\[ \frac{x+2}{3} \ge \frac{x-1}{2} \]
\[ \frac{x+2}{3} \ge \frac{x-1}{2} \]
Çözüm:
✅ Bu tür kesirli eşitsizliklerde öncelikle paydaları eşitlemek işimizi kolaylaştırır.
- Paydalar 3 ve 2 olduğu için, ortak katları olan 6'da eşitleyelim.
- \( \frac{2(x+2)}{6} \ge \frac{3(x-1)}{6} \)
- Şimdi her iki tarafın paydası aynı olduğu için paydaları yok sayabiliriz. Ancak unutmayın, eşitsizliğin yönü, paydaların pozitif olması durumunda korunur. Burada paydalar 6 ve 6, yani pozitif.
- \( 2(x+2) \ge 3(x-1) \)
- Dağılma özelliğini kullanarak parantezleri açalım:
- \( 2x + 4 \ge 3x - 3 \)
- x'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. Genellikle x'in pozitif kalmasını sağlayacak şekilde taşımak daha az hata yapmamızı sağlar.
- \( 4 + 3 \ge 3x - 2x \)
- \( 7 \ge x \)
- Bu ifadeyi daha yaygın yazım şekliyle \( x \le 7 \) olarak da yazabiliriz.
- 💡 Çözüm kümesi: 7'ye eşit veya 7'den küçük tüm gerçek sayılar. Aralık olarak \( (-\infty, 7] \) şeklinde gösterilir.
Örnek 3:
Bir sayının 3 katının 7 fazlası, aynı sayının 2 katının 10 eksiğinden küçüktür. Bu sayının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? 🧐
Çözüm:
✅ Problemi matematiksel bir eşitsizliğe dönüştürelim.
- Bilinmeyen sayımıza \( x \) diyelim.
- "Bir sayının 3 katının 7 fazlası": \( 3x + 7 \)
- "Aynı sayının 2 katının 10 eksiği": \( 2x - 10 \)
- "3 katının 7 fazlası, 2 katının 10 eksiğinden küçüktür": \( 3x + 7 < 2x - 10 \)
- Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
- \( 3x - 2x < -10 - 7 \)
- \( x < -17 \)
- 💡 Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, -17'den küçük tüm gerçek sayılardır.
- Bize sorulan, bu sayının alabileceği en büyük tam sayı değeri. -17'den küçük en büyük tam sayı -18'dir.
Örnek 4:
Aşağıdaki mutlak değerli eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
\[ |2x - 4| \le 6 \]
\[ |2x - 4| \le 6 \]
Çözüm:
✅ Mutlak değerli eşitsizlikleri çözerken iki durumu göz önünde bulundururuz.
- Durum 1: Mutlak değerin içindeki ifade pozitif veya sıfırdır.
- \( 2x - 4 \le 6 \)
- \( 2x \le 10 \)
- \( x \le 5 \)
- Durum 2: Mutlak değerin içindeki ifade negatiftir. Bu durumda, mutlak değer dışına çıkarken ifadenin işaretini değiştiririz ve eşitsizliğin yönünü ters çeviririz.
- \( -(2x - 4) \le 6 \) veya daha pratik olarak:
- \( 2x - 4 \ge -6 \) (Eşitsizlik yön değiştirir ve sağ tarafın işareti değişir.)
- \( 2x \ge -6 + 4 \)
- \( 2x \ge -2 \)
- \( x \ge -1 \)
- 💡 Şimdi her iki durumu birleştirelim. \( x \le 5 \) ve \( x \ge -1 \) koşullarının her ikisini de sağlayan sayılar çözüm kümesini oluşturur.
- Bu da \( -1 \le x \le 5 \) aralığıdır.
- Çözüm kümesi: \( [-1, 5] \)
Örnek 5:
Bir kargo şirketi, gönderilen her paketin ağırlığı için sabit 5 TL ücret ve her kilogram için 2 TL ek ücret almaktadır. Eğer bir paketin gönderim ücreti 25 TL'yi geçmemesi gerekiyorsa, bu paketin ağırlığı en fazla kaç kilogram olabilir? 📦
Çözüm:
✅ Problemi adım adım matematiksel bir ifadeye dönüştürelim.
- Paketin ağırlığına \( x \) kilogram diyelim.
- Sabit ücret: 5 TL
- Her kilogram için ek ücret: \( 2x \) TL
- Toplam gönderim ücreti: \( 5 + 2x \) TL
- Gönderim ücreti 25 TL'yi geçmemesi gerektiği için, ücret 25 TL'den küçük veya eşit olmalıdır.
- \( 5 + 2x \le 25 \)
- Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
- \( 2x \le 25 - 5 \)
- \( 2x \le 20 \)
- \( x \le 10 \)
- 💡 Bu eşitsizlik, paketin ağırlığının 10 kilogram veya daha az olması gerektiğini gösterir. Dolayısıyla, paketin ağırlığı en fazla 10 kilogram olabilir.
Örnek 6:
Bir telefon operatörü, aylık baz ücret olarak 30 TL almakta ve her konuşma dakikası için 0.50 TL ücretlendirmektedir. Bir müşteri, aylık telefon faturasının 70 TL'den fazla olmamasını istiyor. Bu müşteri bir ayda en fazla kaç dakika konuşma yapabilir? 📞
Çözüm:
✅ Müşterinin konuşma süresini ve faturasını matematiksel olarak ifade edelim.
- Müşterinin bir ayda yaptığı konuşma süresine \( x \) dakika diyelim.
- Aylık baz ücret: 30 TL
- Konuşma dakikası başına ücret: \( 0.50x \) TL
- Toplam aylık fatura: \( 30 + 0.50x \) TL
- Müşteri faturasının 70 TL'den fazla olmamasını istiyor, yani fatura 70 TL'den küçük veya eşit olmalı.
- \( 30 + 0.50x \le 70 \)
- Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
- \( 0.50x \le 70 - 30 \)
- \( 0.50x \le 40 \)
- Her iki tarafı 0.50'ye bölelim:
- \( x \le \frac{40}{0.50} \)
- \( x \le 80 \)
- 💡 Bu eşitsizlik, müşterinin bir ayda en fazla 80 dakika konuşma yapabileceğini gösterir.
Örnek 7:
Bir öğrenci, cebindeki 50 TL ile tanesi 3 TL olan kalemlerden ve tanesi 5 TL olan silgilerden almak istiyor. Eğer öğrenci en az 6 tane kalem alırsa, alabileceği silgi sayısı en fazla kaç olabilir? 🛍️
Çözüm:
✅ Bu problemi eşitsizlik kullanarak çözelim.
- Kalem sayısına \( k \), silgi sayısına \( s \) diyelim.
- Öğrencinin cebindeki toplam para 50 TL'dir, bu yüzden harcayacağı miktar 50 TL'den fazla olamaz.
- Kalemler için harcanan para: \( 3k \) TL
- Silgiler için harcanan para: \( 5s \) TL
- Toplam harcama: \( 3k + 5s \le 50 \)
- Öğrenci en az 6 tane kalem alacağı için \( k \ge 6 \) koşulu vardır.
- En az 6 kalem aldığına göre, \( k=6 \) değerini eşitsizliğe yerleştirelim (silgi sayısını maksimize etmek için minimum kalem sayısını alırız).
- \( 3(6) + 5s \le 50 \)
- \( 18 + 5s \le 50 \)
- \( 5s \le 50 - 18 \)
- \( 5s \le 32 \)
- \( s \le \frac{32}{5} \)
- \( s \le 6.4 \)
- 💡 Silgi sayısı tam sayı olmak zorunda olduğundan, 6.4'ten küçük veya eşit en büyük tam sayı 6'dır. Dolayısıyla, öğrenci en fazla 6 tane silgi alabilir.
Örnek 8:
Bir otomobilin şehir içindeki yakıt tüketimi her 100 km'de 8 litre, şehir dışında ise her 100 km'de 6 litredir. Bu otomobil ile toplamda 400 km yol gidilmiş ve yakıt deposundaki yakıt miktarı en fazla 28 litre azalmıştır. Şehir içinde gidilen yol miktarının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç kilometredir? ⛽
Çözüm:
✅ Yakıt tüketimi ve yolculuk mesafesini eşitsizliklerle ifade edelim.
- Şehir içinde gidilen yol miktarına \( x \) km diyelim.
- Toplam yol 400 km olduğu için, şehir dışında gidilen yol miktarı \( (400 - x) \) km olur.
- Şehir içinde 100 km'de 8 litre yakıt tüketimi var. Bu durumda \( x \) km'de tüketilen yakıt: \( \frac{8}{100} \times x = 0.08x \) litre.
- Şehir dışında 100 km'de 6 litre yakıt tüketimi var. Bu durumda \( (400-x) \) km'de tüketilen yakıt: \( \frac{6}{100} \times (400-x) = 0.06(400-x) \) litre.
- Toplam yakıt tüketimi en fazla 28 litre olduğuna göre:
- \( 0.08x + 0.06(400-x) \le 28 \)
- Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
- \( 0.08x + 24 - 0.06x \le 28 \)
- \( 0.02x + 24 \le 28 \)
- \( 0.02x \le 28 - 24 \)
- \( 0.02x \le 4 \)
- Her iki tarafı 0.02'ye bölelim:
- \( x \le \frac{4}{0.02} \)
- \( x \le \frac{400}{2} \)
- \( x \le 200 \)
- 💡 Şehir içinde gidilen yol miktarı en fazla 200 km olabilir. Bu durumda, şehir içinde gidilen yol miktarının alabileceği en büyük tam sayı değeri 200 kilometredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-1-dereceden-bir-bilinmeyenli-esitsizlikler/sorular