💡 11. Sınıf Fizik: Kütle Ve Ağırlık Merkezi Çözümlü Örnekler

• 👉 Öncelikle, koordinat sistemi belirleyelim. \( m_1 \) kütlesini başlangıç noktası \( (x_1 = 0) \) olarak kabul edelim.
• 👉 Bu durumda \( m_2 \) kütlesinin konumu \( x_2 = 100 \) cm olacaktır.
• 👉 Kütle merkezinin konumu \( (x_{KM}) \) aşağıdaki formülle bulunur: \[ x_{KM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} \]
• ✅ Değerleri yerine koyalım: \[ x_{KM} = \frac{(2 \text{ kg}) \times (0 \text{ cm}) + (3 \text{ kg}) \times (100 \text{ cm})}{2 \text{ kg} + 3 \text{ kg}} \] \[ x_{KM} = \frac{0 + 300 \text{ kg} \cdot \text{cm}}{5 \text{ kg}} \] \[ x_{KM} = \frac{300}{5} \text{ cm} \] \[ x_{KM} = 60 \text{ cm} \]

Sonuç olarak, kütle merkezi \( m_1 \) kütlesinden 60 cm uzaklıktadır. Bu, ağır olan kütleye daha yakın olduğunu gösterir. 💡

• 👉 x koordinatı için: \[ x_{KM} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C}{m_A + m_B + m_C} \] \[ x_{KM} = \frac{(4 \text{ kg}) \times (0) + (6 \text{ kg}) \times (3) + (2 \text{ kg}) \times (6)}{4 \text{ kg} + 6 \text{ kg} + 2 \text{ kg}} \] \[ x_{KM} = \frac{0 + 18 + 12}{12} \] \[ x_{KM} = \frac{30}{12} \] \[ x_{KM} = 2.5 \]
• 👉 y koordinatı için: \[ y_{KM} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C}{m_A + m_B + m_C} \] \[ y_{KM} = \frac{(4 \text{ kg}) \times (4) + (6 \text{ kg}) \times (0) + (2 \text{ kg}) \times (4)}{4 \text{ kg} + 6 \text{ kg} + 2 \text{ kg}} \] \[ y_{KM} = \frac{16 + 0 + 8}{12} \] \[ y_{KM} = \frac{24}{12} \] \[ y_{KM} = 2 \]

Bu sistemin kütle merkezi \( (x_{KM}, y_{KM}) \) koordinatları \( (2.5, 2) \) olarak bulunur. ✅

• 👉 Bir dikdörtgenin geometrik merkezi, köşegenlerinin kesim noktasıdır.
• 👉 Kenar uzunlukları 60 cm ve 40 cm olan bir dikdörtgenin, orijinden başlayan köşesiyle diğer köşeleri düşünüldüğünde:
  • x ekseni boyunca uzunluk 60 cm'dir.
  • y ekseni boyunca uzunluk 40 cm'dir.
• 👉 Kütle merkezinin x koordinatı, x eksenindeki uzunluğun yarısıdır: \[ x_{KM} = \frac{60 \text{ cm}}{2} = 30 \text{ cm} \]
• 👉 Kütle merkezinin y koordinatı, y eksenindeki uzunluğun yarısıdır: \[ y_{KM} = \frac{40 \text{ cm}}{2} = 20 \text{ cm} \]

Bu dikdörtgen levhanın kütle merkezi, orijine göre \( (30 \text{ cm}, 20 \text{ cm}) \) noktasındadır. 💡

• 👉 Başlangıçta, tüm çubuğun kütle merkezi tam ortasındadır: \( x_{ilk} = L/2 \). Kütlesi \( M \) olsun.
• 👉 Kesilen parçanın uzunluğu \( L/4 \), kütlesi ise \( M/4 \) olur (çubuk türdeş olduğu için kütle uzunlukla orantılıdır).
• 👉 Kesilen parçanın kütle merkezi, kesilmeyen uçtan \( (L/4)/2 = L/8 \) uzaklıktadır. Yani \( x_{kesilen} = L/8 \).
• 👉 Kalan parçanın kütlesi \( M_{kalan} = M - M/4 = 3M/4 \) olur.
• 👉 Kütle merkezi formülünü, kesilen parçayı negatif kütle gibi düşünerek uygulayabiliriz: \[ x_{KM} = \frac{M_{toplam} x_{toplam} - M_{çıkarılan} x_{çıkarılan}}{M_{toplam} - M_{çıkarılan}} \]
• ✅ Değerleri yerine koyalım (kesilmeyen ucu orijin olarak alalım):
  • Toplam çubuğun kütlesi \( M \), kütle merkezi \( L/2 \).
  • Çıkarılan parçanın kütlesi \( M/4 \), kütle merkezi \( L/8 \).
  \[ x_{KM} = \frac{M \times \frac{L}{2} - \frac{M}{4} \times \frac{L}{8}}{M - \frac{M}{4}} \] \[ x_{KM} = \frac{\frac{ML}{2} - \frac{ML}{32}}{\frac{3M}{4}} \]
• 👉 Pay kısmını düzenleyelim: \[ \frac{16ML - ML}{32} = \frac{15ML}{32} \]
• 👉 Şimdi formülü tamamlayalım: \[ x_{KM} = \frac{\frac{15ML}{32}}{\frac{3M}{4}} \] \[ x_{KM} = \frac{15ML}{32} \times \frac{4}{3M} \] \[ x_{KM} = \frac{15 \times 4}{32 \times 3} L \] \[ x_{KM} = \frac{60}{96} L \]
• 👉 Sadeleştirme yapalım: \[ x_{KM} = \frac{5}{8} L \]

Kalan parçanın kütle merkezi, çubuğun kesilmeyen ucundan \( \frac{5}{8} L \) kadar uzaktadır. 🎯

• 👉 Büyük Karenin Özellikleri:
  • Kenar uzunluğu \( a \).
  • Alan \( A_{büyük} = a^2 \).
  • Ağırlık merkezi \( O = (0,0) \).
• 👉 Çıkarılan Küçük Karenin Özellikleri:
  • Kenar uzunluğu \( a/2 \).
  • Alan \( A_{küçük} = (a/2)^2 = a^2/4 \).
  • Bu küçük kare, büyük karenin tam ortasından çıkarıldığı için, onun da ağırlık merkezi büyük karenin ağırlık merkeziyle aynıdır: \( O' = (0,0) \).
• 👉 Kütle Merkezinin Değişimi:

  Kütle merkezi formülünü kullanarak yeni ağırlık merkezini bulalım. Alanlar kütlelerle orantılı olduğu için kütle yerine alanları kullanabiliriz:

  \[ x_{KM} = \frac{A_{büyük} x_{büyük} - A_{küçük} x_{küçük}}{A_{büyük} - A_{küçük}} \] \[ y_{KM} = \frac{A_{büyük} y_{büyük} - A_{küçük} y_{küçük}}{A_{büyük} - A_{küçük}} \]
• ✅ Değerleri yerine koyalım:
  • \( x_{büyük} = 0 \), \( y_{büyük} = 0 \)
  • \( x_{küçük} = 0 \), \( y_{küçük} = 0 \)
  \[ x_{KM} = \frac{(a^2) \times (0) - (a^2/4) \times (0)}{a^2 - a^2/4} = \frac{0}{3a^2/4} = 0 \] \[ y_{KM} = \frac{(a^2) \times (0) - (a^2/4) \times (0)}{a^2 - a^2/4} = \frac{0}{3a^2/4} = 0 \]

Bu durumda, çıkarılan parça tam merkezden olduğu için, levhanın yeni ağırlık merkezi hala orijinal ağırlık merkezinin olduğu yerdedir yani \( (0,0) \) noktasıdır. Parça çıkarılması kütleyi azaltır ama simetri bozulmadığı için ağırlık merkezi hareket etmez. 🧐

• 👉 Büyük Karenin Özellikleri:
  • Kenar uzunluğu \( 3a \).
  • Alan \( A_{büyük} = (3a)^2 = 9a^2 \).
  • Ağırlık merkezi \( O = (0,0) \).
• 👉 Çıkarılan Küçük Karenin Özellikleri:
  • Kenar uzunluğu \( a \).
  • Alan \( A_{küçük} = a^2 \).
  • Büyük karenin merkezi \( (0,0) \) ise, büyük karenin köşeleri \( (\pm 3a/2, \pm 3a/2) \) olur.
  • Sağ üst köşeden çıkarılan \( a \) kenarlı karenin merkezi: Büyük karenin sağ üst köşesi \( (3a/2, 3a/2) \). Çıkarılan karenin merkezi bu köşeden \( a/2 \) birim içeri doğru olacaktır. Yani \( x_{küçük} = 3a/2 - a/2 = a \). Ve \( y_{küçük} = 3a/2 - a/2 = a \). Dolayısıyla çıkarılan parçanın merkezi \( (a, a) \) noktasıdır.
• 👉 Kalan Kısım Kütle Merkezi:

  Alanları kütle gibi kullanarak formülü uygulayalım:

  \[ x_{KM} = \frac{A_{büyük} x_{büyük} - A_{küçük} x_{küçük}}{A_{büyük} - A_{küçük}} \] \[ y_{KM} = \frac{A_{büyük} y_{büyük} - A_{küçük} y_{küçük}}{A_{büyük} - A_{küçük}} \]
• ✅ Değerleri yerine koyalım:
  • Payda: \( A_{büyük} - A_{küçük} = 9a^2 - a^2 = 8a^2 \).
  \[ x_{KM} = \frac{(9a^2) \times (0) - (a^2) \times (a)}{8a^2} = \frac{-a^3}{8a^2} = -\frac{a}{8} \] \[ y_{KM} = \frac{(9a^2) \times (0) - (a^2) \times (a)}{8a^2} = \frac{-a^3}{8a^2} = -\frac{a}{8} \]

Kalan kısmın yeni kütle merkezi \( (-\frac{a}{8}, -\frac{a}{8}) \) koordinatlarına sahiptir. Yani, orijine göre sol aşağı kaymıştır. 🎯

• 👉 Kalasın Özellikleri:
  • Uzunluk: 4 metre.
  • Düzgün ve türdeş (yani her yerinde aynı yoğunlukta).
• 👉 Ağırlık Merkezi Prensibi:

  Bir cismi dengede tutmak için, cismin ağırlık merkezinden desteklemek gerekir. Düzgün ve türdeş cisimler için ağırlık merkezi, cismin geometrik merkezindedir.

• 👉 Hesaplama:

  4 metre uzunluğundaki düzgün bir kalasın geometrik merkezi, tam ortasıdır.

  \[ \text{Ağırlık Merkezi Uzaklığı} = \frac{\text{Kalas Uzunluğu}}{2} \] \[ \text{Ağırlık Merkezi Uzaklığı} = \frac{4 \text{ metre}}{2} = 2 \text{ metre} \]

İşçi, kalası herhangi bir ucundan 2 metre uzaklıktaki noktasından desteklemelidir. Bu noktadan desteklediğinde kalas dengede kalır ve rahatça taşınabilir. ✅

• 👉 Ağırlık Merkezinin Yüksekliği:

  Kamyonun üzerine yüksek bir yük konulduğunda, kamyon + yük sisteminin birleşik ağırlık merkezi yükselir. Yani, yere olan mesafesi artar.

• 👉 Devrilme Riski:

  Bir cismin devrilme riski, ağırlık merkezinin yere olan yüksekliği ve destek tabanının (tekerleklerin arasındaki alan) büyüklüğü ile ilişkilidir. Ağırlık merkezi ne kadar yüksek olursa, devrilme riski o kadar artar. Virajlarda kamyon savrulduğunda veya yanlara doğru eğildiğinde, ağırlık merkezi destek tabanının dışına çıkmaya meyillidir.

  Ağırlık merkezi destek tabanının dışına çıktığı anda, kamyon devrilmeye başlar. Yüksek ağırlık merkezi, bu "dışarı çıkma" eşiğine daha kolay ulaşılmasına neden olur.

• 👉 Ne Yapılmalı?
  • Hızı Azaltmak: Virajlarda hızı düşürmek, savrulmayı ve dolayısıyla kamyonun yanlara doğru eğilmesini azaltır. Bu, ağırlık merkezinin destek tabanının dışına çıkma ihtimalini düşürür.
  • Yükü Doğru Yerleştirmek: Mümkünse, yükü kamyonun tabanına yakın ve merkeze doğru yerleştirmek, sistemin ağırlık merkezini alçaltır. Bu, kamyonun daha kararlı olmasını sağlar.

Kısacası, kamyonun ağırlık merkezini mümkün olduğunca alçak tutmak ve virajlarda ani hareketlerden kaçınmak, devrilme riskini önemli ölçüde azaltır. ⚠️