📄 11. Sınıf Fizik: Balistik Sarkaç Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle kütleleri ve yüksekliği SI birimlerine çevirelim:

\(m = 10\) g \(= 0.01\) kg

\(M = 990\) g \(= 0.99\) kg

\(h = 20\) cm \(= 0.2\) m



1. Aşama: Enerji Korunumu (Çarpışma sonrası salınım)

Ortak kütle (mermi + sarkaç) çarpışma sonrası kazandığı kinetik enerji ile yükselir ve bu kinetik enerji maksimum yükseklikte potansiyel enerjiye dönüşür. Sürtünme ihmal edildiğinde mekanik enerji korunur:

\(\frac{1}{2} (m+M) V_{ortak}^2 = (m+M) g h\)

Ortak kütleler sadeleşir:

\(\frac{1}{2} V_{ortak}^2 = g h\)

\(V_{ortak}^2 = 2 g h\)

\(V_{ortak} = \sqrt{2 g h}\)

Değerleri yerine yazalım:

\(V_{ortak} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.2}\)

\(V_{ortak} = \sqrt{4}\)

\(V_{ortak} = 2\) m/s



2. Aşama: Momentum Korunumu (Çarpışma anı)

Merminin sarkaca saplandığı an, esnek olmayan bir çarpışma gerçekleşir ve sistemin toplam momentumu korunur. Başlangıçta sarkaç durduğu için ilk hızı sıfırdır.

\(m v_{mermi} + M v_{sarkac} = (m+M) V_{ortak}\)

\(v_{sarkac} = 0\) olduğu için:

\(m v_{mermi} = (m+M) V_{ortak}\)

Değerleri ve \(V_{ortak}\) hızını yerine yazalım:

\(0.01 \cdot v_{mermi} = (0.01 + 0.99) \cdot 2\)

\(0.01 \cdot v_{mermi} = (1) \cdot 2\)

\(0.01 \cdot v_{mermi} = 2\)

\(v_{mermi} = \frac{2}{0.01}\)

\(v_{mermi} = 200\) m/s



Merminin çarpışmadan önceki hızı \(200\) m/s'dir.

💡 Çözüm Adımları:

1. Aşama: Momentum Korunumu (Çarpışma anı)

Merminin çarpışma öncesi momentumu: \(P_{mermi} = m v\)

Sarkaçın çarpışma öncesi momentumu: \(P_{sarkac} = 0\) (Durgun)

Sistemin toplam ilk momentumu: \(P_{ilk} = m v\)



Çarpışma sonrası ortak kütlenin hızı \(V_{ortak}\) olsun.

Sistemin toplam son momentumu: \(P_{son} = (m+M) V_{ortak}\)



Momentumun korunumu ilkesine göre \(P_{ilk} = P_{son}\):

\(m v = (m+M) V_{ortak}\)

Ortak kütlenin hızını çekelim:

\(V_{ortak} = \frac{m v}{m+M}\)



2. Aşama: Kinetik Enerjiler

Merminin çarpışma öncesindeki kinetik enerjisi:

\(E_{k,mermi} = \frac{1}{2} m v^2\)



Ortak kütlenin çarpışma sonrası sahip olduğu kinetik enerji:

\(E_{k,ortak} = \frac{1}{2} (m+M) V_{ortak}^2\)

\(V_{ortak}\) ifadesini yerine yazalım:

\(E_{k,ortak} = \frac{1}{2} (m+M) \left( \frac{m v}{m+M} \right)^2\)

\(E_{k,ortak} = \frac{1}{2} (m+M) \frac{m^2 v^2}{(m+M)^2}\)

\(E_{k,ortak} = \frac{1}{2} \frac{m^2 v^2}{m+M}\)



3. Aşama: Oran

İstenen oran: \(\frac{E_{k,ortak}}{E_{k,mermi}}\) dir.

\(\frac{E_{k,ortak}}{E_{k,mermi}} = \frac{\frac{1}{2} \frac{m^2 v^2}{m+M}}{\frac{1}{2} m v^2}\)

Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirelim (\(\frac{1}{2}\) ve \(v^2\)):

\(\frac{E_{k,ortak}}{E_{k,mermi}} = \frac{m^2}{(m+M) m}\)

\(\frac{E_{k,ortak}}{E_{k,mermi}} = \frac{m}{m+M}\)



Bu oran \(\frac{m}{m+M}\) olarak bulunur. Bu oran daima 1'den küçüktür, çünkü esnek olmayan çarpışmada kinetik enerji kaybı yaşanır.

💡 Çözüm Adımları:

Mermi sarkaca saplandığında, sistem (mermi + sarkaç) esnek olmayan bir çarpışma sonucu belirli bir ortak hız kazanır. Bu hız, sistemin çarpışma sonrası sahip olduğu kinetik enerjinin bir göstergesidir.



Çarpışma sonrası ortak kütle bu kinetik enerjiyle yukarı doğru hareket etmeye başlar. Bu yükselme sırasında, sistemin kinetik enerjisi, yer çekimi potansiyel enerjisine dönüşür. Sistem yukarı çıktıkça hızı azalır ve potansiyel enerjisi artar. Bu dönüşüm, sürtünme ve hava direnci ihmal edildiğinde, sistemin mekanik enerjisinin (kinetik + potansiyel) korunumu prensibiyle açıklanır.



Sarkaç, kinetik enerjisinin tamamı potansiyel enerjiye dönüştüğünde, yani hızı sıfır olduğunda, maksimum yüksekliğe ulaşır. Bu noktada anlık olarak durur. Daha sonra yer çekimi kuvvetinin etkisiyle aşağı doğru hızlanmaya başlar ve potansiyel enerjisi tekrar kinetik enerjiye dönüşerek sarkaçın geri salınımını sağlar.



Özetle, bu durum iki temel fiziksel prensiple açıklanır:

1. Momentumun Korunumu: Çarpışma anında, dış kuvvetler ihmal edildiğinde, merminin momentumu ortak kütlenin momentumuna dönüşür, yani sistemin toplam momentumu korunur.

2. Enerjinin Korunumu (Mekanik Enerji): Çarpışma sonrası sistemin kazandığı kinetik enerji, sarkaç yükselirken yer çekimi potansiyel enerjisine dönüşür. Sürtünme ihmal edildiğinde, bu yükselme ve alçalma hareketinde mekanik enerji korunur. Maksimum yükseklikte tüm kinetik enerji potansiyel enerjiye dönüşmüş olur ve sarkaç anlık olarak durur.