💡 11. Sınıf Edebiyat: Fonksiyonlarda dönüşüm Çözümlü Örnekler

Fonksiyonlarda dönüşüm, bir fonksiyonun grafiğinin ötelendiği, yansıtıldığı veya ölçeklendiği durumları inceler. Y eksenine göre simetri, fonksiyonun x yerine -x konularak elde edilir.

• Adım 1: Orijinal fonksiyonu belirleyelim: \( f(x) = x^2 + 3 \)
• Adım 2: Fonksiyonun grafiğini y eksenine göre simetriğini almak için x yerine -x koyalım. Yeni fonksiyon g(x) olsun.
• Adım 3: \( g(x) = f(-x) = (-x)^2 + 3 \)
• Adım 4: İfadeyi sadeleştirelim: \( (-x)^2 = x^2 \) olduğundan, \( g(x) = x^2 + 3 \)

Sonuç olarak, f(x) = x² + 3 fonksiyonu y eksenine göre simetriğinde yine kendisi olur. Bu, fonksiyonun çift fonksiyon olmasından kaynaklanır. ✅

Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetriği, hem x hem de y koordinatlerinin işaretlerinin değiştirilmesiyle elde edilir. Bu, y = f(x) denkleminde -y = f(-x) ilişkisine karşılık gelir. Yani, g(x) = -f(-x) olur.

• Adım 1: Orijinal fonksiyon: \( f(x) = 2x + 1 \)
• Adım 2: Önce f(-x)'i bulalım: \( f(-x) = 2(-x) + 1 = -2x + 1 \)
• Adım 3: Şimdi g(x) = -f(-x)'i hesaplayalım: \( g(x) = -(-2x + 1) \)
• Adım 4: Parantezi açarak sadeleştirelim: \( g(x) = 2x - 1 \)

Demek ki, f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun orijine göre simetriği olan g(x) fonksiyonu 2x - 1'dir. 👉

Bir fonksiyonun grafiğinin x eksenine göre simetriği alındığında, y değerlerinin işareti değişir. Yani, y = f(x) denklemindeki y yerine -y yazılır. Bu da yeni fonksiyonun h(x) = -f(x) olmasını sağlar.

• Adım 1: Orijinal fonksiyon: \( f(x) = x^3 - 2x \)
• Adım 2: Fonksiyonun x eksenine göre simetriğini almak için başına eksi işareti koyalım: \( h(x) = -f(x) \)
• Adım 3: \( h(x) = -(x^3 - 2x) \)
• Adım 4: Parantezi dağıtalım: \( h(x) = -x^3 + 2x \)

Böylece, f(x) = x³ - 2x fonksiyonunun x eksenine göre simetriği olan h(x) fonksiyonunu -x³ + 2x olarak bulmuş olduk. 💡

Bir fonksiyonun grafiğini sağa doğru 'a' birim ötelemek demek, fonksiyonun x değişkeni yerine (x - a) yazmak demektir. Bu durumda a = 2'dir.

• Adım 1: Orijinal fonksiyon: \( f(x) = x^2 \)
• Adım 2: Fonksiyonu sağa doğru 2 birim ötelemek için x yerine (x - 2) yazalım. Yeni fonksiyon k(x) olsun.
• Adım 3: \( k(x) = f(x - 2) = (x - 2)^2 \)
• Adım 4: İfadeyi açabiliriz (isteğe bağlı): \( k(x) = x^2 - 4x + 4 \)

Dolayısıyla, f(x) = x² fonksiyonunun grafiğinin sağa doğru 2 birim ötelenmesiyle elde edilen yeni fonksiyon k(x) = (x - 2)² veya k(x) = x² - 4x + 4'tür. 📌

Bu soruda iki farklı dönüşüm ardışık olarak uygulanmıştır. Adım adım ilerleyelim.

• Adım 1: Orijinal fonksiyon: \( f(x) = |x| \)
• Adım 2: Fonksiyonu yukarı doğru 3 birim öteleyelim. Bu, fonksiyona 3 eklemek demektir. Yeni fonksiyon g(x) olsun: \( g(x) = f(x) + 3 = |x| + 3 \)
• Adım 3: Şimdi g(x) fonksiyonunun grafiğini y eksenine göre simetriğini alalım. Bunun için x yerine -x koyarız. Son fonksiyon h(x) olsun: \( h(x) = g(-x) = |-x| + 3 \)
• Adım 4: Mutlak değerin özelliğinden |-x| = |x| olduğunu biliyoruz. Bu nedenle: \( h(x) = |x| + 3 \)

Şaşırtıcı bir şekilde, bu iki dönüşüm ardışık uygulandığında son fonksiyon yine h(x) = |x| + 3 olmuştur. Bu, mutlak değer fonksiyonunun y eksenine göre simetrik olmasından kaynaklanmaktadır. 🎉

Burada iki dönüşüm bulunmaktadır: hızın tersine çevrilmesi (x eksenine göre simetri gibi düşünülebilir) ve zamanın ötelenmesi.

• Adım 1: Orijinal fonksiyon: \( r(t) = -t^2 + 10t \)
• Adım 2: Hızı tersine çevirelim. Bu, fonksiyonun değerinin işaretini değiştirmek demektir: \( r_{ters}(t) = -r(t) = -(-t^2 + 10t) = t^2 - 10t \)
• Adım 3: Şimdi bu yeni fonksiyonu zaman ekseninde 2 saat geriye öteleyelim. Zaman ekseninde geriye öteleme, değişkenin yerine (t + öteleme miktarı) yazmakla yapılır. Yani t yerine (t + 2) yazacağız: \( s(t) = r_{ters}(t + 2) \)
• Adım 4: Yerine koyarak hesaplayalım: \( s(t) = (t + 2)^2 - 10(t + 2) \)
• Adım 5: İfadeyi açıp sadeleştirelim: \( s(t) = (t^2 + 4t + 4) - (10t + 20) \)
• Adım 6: \( s(t) = t^2 + 4t + 4 - 10t - 20 \)
• Adım 7: Sonuç: \( s(t) = t^2 - 6t - 16 \)

Yeni modelleme fonksiyonu s(t) = t² - 6t - 16 olarak bulunur. 🔬

Bu senaryoda, evin metrekaresi x ile temsil edildiği için, metrekaresi arttıkça değer artıyor. Y eksenine göre simetri alma işlemi, fonksiyonun x değişkeninin işaretini değiştirerek yapılır.

• Adım 1: Orijinal değer fonksiyonu: \( V(x) = 100.000 + 5.000x \)
• Adım 2: Y eksenine göre simetriğini almak için x yerine -x koyalım. Yeni fonksiyon S(x) olsun: \( S(x) = V(-x) \)
• Adım 3: Yerine koyarak hesaplayalım: \( S(x) = 100.000 + 5.000(-x) \)
• Adım 4: İfadeyi sadeleştirelim: \( S(x) = 100.000 - 5.000x \)

Bu durumda, indirim uygulandıktan sonraki son satış fiyatı fonksiyonu S(x) = 100.000 - 5.000x TL olur. Bu, metrekare arttıkça fiyatın düşeceği anlamına gelir ki bu gerçekçi bir piyasa senaryosu değildir, ancak dönüşüm prensibini göstermek için iyi bir örnektir. 🏡

Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetriği alındığında, hem bağımsız değişkenin (burada t) hem de fonksiyonun değerinin (burada h(t)) işareti değişir. Yani y = h(t) denkleminde -y = h(-t) geçerlidir.

• Adım 1: Orijinal hız fonksiyonu: \( h(t) = -t^2 + 8t \)
• Adım 2: Önce h(-t)'yi bulalım: \( h(-t) = -(-t)^2 + 8(-t) \)
• Adım 3: Sadeleştirelim: \( h(-t) = -(t^2) - 8t = -t^2 - 8t \)
• Adım 4: Şimdi orijine göre simetriği olan y(t) fonksiyonunu bulmak için bu ifadenin negatifini alalım: \( y(t) = -h(-t) \)
• Adım 5: \( y(t) = -(-t^2 - 8t) \)
• Adım 6: Parantezi açarak sonuca ulaşalım: \( y(t) = t^2 + 8t \)

Sporcunun yeni hız fonksiyonu y(t) = t² + 8t (metre/saniye) olur. Bu fonksiyon, zaman ilerledikçe hızın artacağını gösterir. 🏃‍♂️