🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Yeni müfredat sayma stratejileri ve olasılık Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Yeni müfredat sayma stratejileri ve olasılık Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sınıfta 12 kız ve 15 erkek öğrenci bulunmaktadır. Bu sınıftan rastgele seçilecek bir öğrencinin kız olma olasılığı kaçtır? 💡
Çözüm:
Bu problemi çözmek için olasılığın temel tanımını kullanacağız. Olasılık, istenen durum sayısının tüm olası durum sayısına oranıdır.
- Adım 1: Tüm Olası Durumları Belirleme
Sınıftaki toplam öğrenci sayısı, rastgele seçilebilecek tüm olası durumları temsil eder.
Toplam öğrenci sayısı = Kız öğrenci sayısı + Erkek öğrenci sayısı
Toplam öğrenci sayısı = \( 12 + 15 = 27 \) - Adım 2: İstenen Durumu Belirleme
Bizim istediğimiz durum, seçilen öğrencinin kız olmasıdır.
İstenen durum sayısı = Kız öğrenci sayısı = \( 12 \) - Adım 3: Olasılığı Hesaplama
Olasılık = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} \)
Kız öğrenci seçme olasılığı = \( \frac{12}{27} \) - Adım 4: Sadeleştirme
Kesri en sade hale getirelim. Hem pay hem de payda 3'e bölünebilir.
\( \frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9} \)
Örnek 2:
Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi ve 2 yeşil top bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olmama olasılığı kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu soruda, istenen durumun "mavi olmama" durumu olduğunu unutmamalıyız.
- Adım 1: Toplam Top Sayısını Bulma
Torbadaki toplam top sayısı tüm olası durumları verir.
Toplam top sayısı = \( 5 + 3 + 2 = 10 \) - Adım 2: Mavi Top Sayısını Belirleme
Torbadaki mavi top sayısı 3'tür. - Adım 3: Mavi Olmama Durumunu Hesaplama
Mavi olmayan toplar kırmızı ve yeşil toplardır.
Mavi olmayan top sayısı = Kırmızı top sayısı + Yeşil top sayısı
Mavi olmayan top sayısı = \( 5 + 2 = 7 \) - Adım 4: Olasılığı Hesaplama
Mavi olmama olasılığı = \( \frac{\text{Mavi Olmayan Top Sayısı}}{\text{Toplam Top Sayısı}} \)
Olasılık = \( \frac{7}{10} \)
Örnek 3:
Bir zar atıldığında, üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı nedir? 🎲
Çözüm:
Zar atıldığında gelebilecek tüm sonuçları ve asal sayıları belirleyelim.
- Adım 1: Tüm Olası Sonuçları Listeleme
Bir zar atıldığında gelebilecek sayılar 1, 2, 3, 4, 5 ve 6'dır.
Tüm olası durum sayısı = 6 - Adım 2: Asal Sayıları Belirleme
1'den 6'ya kadar olan sayılar içinde asal olanlar 2, 3 ve 5'tir. (Asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır.)
Asal sayıların kümesi = \( \{2, 3, 5\} \)
İstenen durum sayısı (asal sayı gelmesi) = 3 - Adım 3: Olasılığı Hesaplama
Asal sayı gelme olasılığı = \( \frac{\text{Asal Sayı Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} \)
Olasılık = \( \frac{3}{6} \) - Adım 4: Sadeleştirme
Kesri sadeleştirelim.
\( \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2} \)
Örnek 4:
3 farklı anahtar ve 3 farklı kilit bulunmaktadır. Her anahtar sadece bir kilidi açabilmektedir. Anahtarların rastgele kilitlere takılması durumunda, tüm anahtarların doğru kilidi bulma olasılığı kaçtır? 🔑
Çözüm:
Bu tür permütasyon problemlerinde, olası tüm dizilişleri ve istenen özel dizilişi hesaplarız.
- Adım 1: Tüm Olası Dizilişleri Hesaplama (Permütasyon)
3 anahtarı 3 kilide takmanın kaç farklı yolu olduğunu bulalım. Bu, 3 elemanın permütasyonudur.
Tüm olası durum sayısı = \( 3! \) (3 faktöriyel)
\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) - Adım 2: İstenen Durumu Belirleme
İstenen durum, her anahtarın kendi doğru kilidini bulmasıdır. Bu sadece 1 farklı şekilde gerçekleşebilir. - Adım 3: Olasılığı Hesaplama
Olasılık = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} \)
Olasılık = \( \frac{1}{6} \)
Örnek 5:
Bir kutuda 1'den 20'ye kadar numaralandırılmış 20 bilye bulunmaktadır. Bu kutudan rastgele çekilen bir bilyenin üzerindeki sayının 3'ün katı veya 5'in katı olma olasılığı nedir? 🔢
Çözüm:
Bu soruda, birleşim olasılığını kullanmamız gerekiyor. "veya" bağlacı kullanıldığı için, hem 3'ün katı hem de 5'in katı olan sayıları iki kez saymamak için dikkatli olmalıyız.
- Adım 1: Toplam Bilye Sayısını Belirleme
Kutudaki toplam bilye sayısı 20'dir. Bu, tüm olası durumları temsil eder. - Adım 2: 3'ün Katı Olan Bilyeleri Bulma
1'den 20'ye kadar 3'ün katları: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Toplam 6 tane. - Adım 3: 5'in Katı Olan Bilyeleri Bulma
1'den 20'ye kadar 5'in katları: 5, 10, 15, 20. Toplam 4 tane. - Adım 4: Hem 3'ün Hem de 5'in Katı Olan Bilyeleri Bulma (Ortak Katlar)
Hem 3'ün hem de 5'in katı olan sayılar, 15'in katlarıdır. 1'den 20'ye kadar sadece 15 vardır. Toplam 1 tane. - Adım 5: Birleşim Olasılığını Hesaplama
Olasılık (A veya B) = Olasılık (A) + Olasılık (B) - Olasılık (A ve B)
Veya daha basitçe, istenen durum sayısını hesaplayalım:
İstenen Durum Sayısı = (3'ün Katı Sayısı) + (5'in Katı Sayısı) - (Hem 3'ün Hem 5'in Katı Sayısı)
İstenen Durum Sayısı = \( 6 + 4 - 1 = 9 \) - Adım 6: Olasılığı Hesaplama
Olasılık = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Toplam Bilye Sayısı}} \)
Olasılık = \( \frac{9}{20} \)
Örnek 6:
Bir manavda 50 adet elma bulunmaktadır. Bu elmaların 10 tanesi çürük, 20 tanesi ise tatlıdır. Geriye kalan elmalar ise ne tatlı ne de çürüktür (normal). Manavdan rastgele bir elma seçildiğinde, bu elmanın çürük veya tatlı olma olasılığı nedir? 🍎
Çözüm:
Günlük hayattan bir örnekle olasılık kavramını pekiştirelim.
- Adım 1: Toplam Elma Sayısını Belirleme
Manavdaki toplam elma sayısı 50'dir. Bu, tüm olası seçimleri temsil eder. - Adım 2: İstenen Durumları Belirleme
İstenen durumlar: elmanın çürük olması VEYA tatlı olmasıdır. - Adım 3: Çürük Elma Sayısını Belirleme
Çürük elma sayısı = 10 - Adım 4: Tatlı Elma Sayısını Belirleme
Tatlı elma sayısı = 20 - Adım 5: Çürük ve Tatlı Olan Elma Sayısını Kontrol Etme
Soruda çürük ve tatlı elmaların ayrı kategorilerde olduğu belirtilmiş. Yani, bir elma hem çürük hem de tatlı olamaz (bu sorunun kurgusu gereği). Bu yüzden ortak kesişim yoktur. - Adım 6: İstenen Durum Sayısını Hesaplama
Çürük veya tatlı olma durumu = Çürük elma sayısı + Tatlı elma sayısı
İstenen Durum Sayısı = \( 10 + 20 = 30 \) - Adım 7: Olasılığı Hesaplama
Olasılık = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Toplam Elma Sayısı}} \)
Olasılık = \( \frac{30}{50} \) - Adım 8: Sadeleştirme
Kesri sadeleştirelim.
\( \frac{30 \div 10}{50 \div 10} = \frac{3}{5} \)
Örnek 7:
Bir torbada 4 mavi ve 6 kırmızı bilye vardır. Torbadan geri konulmadan art arda iki bilye çekiliyor. Çekilen ilk bilyenin mavi, ikinci bilyenin ise kırmızı olma olasılığı kaçtır? 🔵🔴
Çözüm:
Bu tür "geri konulmadan" yapılan çekilişlerde, ilk olayın sonucunun ikinci olayın olasılığını etkilediğini unutmamalıyız.
- Adım 1: İlk Bilyenin Mavi Olma Olasılığını Hesaplama
Başlangıçta torbada toplam \( 4 + 6 = 10 \) bilye vardır.
İlk bilyenin mavi olma olasılığı = \( \frac{\text{Mavi Bilye Sayısı}}{\text{Toplam Bilye Sayısı}} = \frac{4}{10} \) - Adım 2: İlk Bilye Mavi Çekildikten Sonra Kalan Durumu Belirleme
İlk bilye mavi çekilip geri konulmadığı için, torbada artık 3 mavi ve 6 kırmızı bilye kalır. Toplam bilye sayısı ise \( 10 - 1 = 9 \) olur. - Adım 3: İkinci Bilyenin Kırmızı Olma Olasılığını Hesaplama
Kalan 9 bilye içinden ikinci bilyenin kırmızı olma olasılığı:
İkinci bilyenin kırmızı olma olasılığı = \( \frac{\text{Kırmızı Bilye Sayısı}}{\text{Kalan Toplam Bilye Sayısı}} = \frac{6}{9} \) - Adım 4: İki Olayın Birlikte Gerçekleşme Olasılığını Hesaplama
Art arda gerçekleşen bu iki olayın birlikte olma olasılığı, ayrı ayrı olasılıklarının çarpımıdır.
P(İlk Mavi VE İkinci Kırmızı) = P(İlk Mavi) \( \times \) P(İkinci Kırmızı | İlk Mavi)
Olasılık = \( \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \) - Adım 5: Çarpma ve Sadeleştirme
Olasılık = \( \frac{24}{90} \)
Bu kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı da 6'ya bölebiliriz:
\( \frac{24 \div 6}{90 \div 6} = \frac{4}{15} \)
Örnek 8:
Bir zar ve bir madeni para aynı anda atılıyor. Gelen zarın tek sayı ve madeni paranın yazı gelme olasılığı kaçtır? 🪙
Çözüm:
Bu soruda iki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığını hesaplayacağız.
- Adım 1: Zarın Tek Sayı Gelme Olasılığını Hesaplama
Bir zar atıldığında gelebilecek sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (Toplam 6 durum).
Tek sayılar: 1, 3, 5 (3 durum).
Zarın tek sayı gelme olasılığı = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) - Adım 2: Madeni Paranın Yazı Gelme Olasılığını Hesaplama
Bir madeni para atıldığında gelebilecek sonuçlar: Yazı, Tura (Toplam 2 durum).
Yazı gelme olasılığı = \( \frac{1}{2} \) - Adım 3: İki Bağımsız Olayın Birlikte Gerçekleşme Olasılığını Hesaplama
Zarın tek sayı gelmesi ve paranın yazı gelmesi birbirinden bağımsız olaylardır. Bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir.
Olasılık = P(Zar Tek) \( \times \) P(Para Yazı)
Olasılık = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
Örnek 9:
Bir süpermarketteki çekiliş kampanyasında, her 100 TL'lik alışverişe bir kupon veriliyor. Bu kuponlar numaralandırılmış ve 1'den 500'e kadar sıralanmıştır. Çekilişte verilecek büyük ödülü kazanma olasılığı nedir? 🎁
Çözüm:
Günlük hayattan bir çekiliş örneği ile olasılığı inceleyelim.
- Adım 1: Toplam Kupon Sayısını Belirleme
Çekilişte kullanılacak toplam kupon sayısı, 1'den 500'e kadar numaralandırıldığı için 500'dür. Bu, tüm olası sonuçları temsil eder. - Adım 2: İstenen Durumu Belirleme
Büyük ödülü kazanmak için çekilecek kuponun belirli bir numaraya sahip olması gerekir. Genellikle çekilişlerde tek bir kazanan numara olur. Bu durumda, istenen durum sayısı 1'dir. - Adım 3: Olasılığı Hesaplama
Olasılık = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Toplam Kupon Sayısı}} \)
Büyük ödülü kazanma olasılığı = \( \frac{1}{500} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-yeni-mufredat-sayma-stratejileri-ve-olasilik/sorular