💡 10. Sınıf Matematik: Veriden Olasılığa Çözümlü Örnekler

• 👉 Örnek Uzay (Tüm Durumlar): Bir madeni para iki kez atıldığında gelebilecek tüm durumlar şunlardır:
  • \( (Yazı, Yazı) \)
  • \( (Yazı, Tura) \)
  • \( (Tura, Yazı) \)
  • \( (Tura, Tura) \)
  Yani, örnek uzayın eleman sayısı \( s(E) = 4 \)tür.
• 👉 İstenen Durum (En Az Bir Kez Tura Gelmesi): "En az bir kez tura gelmesi" demek, bir kez tura gelmesi veya iki kez tura gelmesi demektir. Bu durumlar şunlardır:
  • \( (Yazı, Tura) \)
  • \( (Tura, Yazı) \)
  • \( (Tura, Tura) \)
  Yani, istenen olayın eleman sayısı \( s(A) = 3 \)tür.
• ✅ Olasılık Hesaplaması: Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır. \[ P(A) = \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Tüm durumların sayısı}} = \frac{s(A)}{s(E)} \] \[ P(A) = \frac{3}{4} \]

Buna göre, en az bir kez tura gelme olasılığı \( \frac{3}{4} \)tür.

• 📌 Toplam Top Sayısı: Torbada \( 5 + 3 = 8 \) top vardır.
• 👉 Tüm Durumlar (İki Top Çekme): 8 toptan rastgele 2 top çekme durumu, kombinasyon formülü ile bulunur: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \] Yani, \( s(E) = 28 \) farklı şekilde 2 top çekilebilir.
• 👉 İstenen Durum 1 (İkisinin de Kırmızı Olması): 5 kırmızı toptan 2 kırmızı top çekme durumu: \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
• 👉 İstenen Durum 2 (İkisinin de Mavi Olması): 3 mavi toptan 2 mavi top çekme durumu: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \]
• 👉 Aynı Renkte Olma Durumları: İkisinin de kırmızı veya ikisinin de mavi olması durumları ayrık olaylardır. Bu yüzden bu durumların sayılarını toplarız: \[ s(A) = 10 + 3 = 13 \]
• ✅ Olasılık Hesaplaması: \[ P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{13}{28} \]

Buna göre, çekilen iki topun da aynı renkte olma olasılığı \( \frac{13}{28} \)tür.

• 📌 Toplam Öğrenci Sayısı: Sınıfta \( 15 + 10 = 25 \) öğrenci vardır.
• 👉 "Kız Öğrenci Olma" Olayı (K):
  • Kız öğrenci sayısı \( = 15 \)
  • \( P(K) = \frac{15}{25} \)
• 👉 "Gözlüklü Olma" Olayı (G):
  • Gözlüklü kız öğrenci sayısı \( = 6 \)
  • Gözlüklü erkek öğrenci sayısı \( = 4 \)
  • Toplam gözlüklü öğrenci sayısı \( = 6 + 4 = 10 \)
  • \( P(G) = \frac{10}{25} \)
• 👉 "Kız ve Gözlüklü Olma" Olayı (K ∩ G):
  • Kız ve gözlüklü öğrenci sayısı \( = 6 \)
  • \( P(K \cap G) = \frac{6}{25} \)
• ✅ "Kız veya Gözlüklü Olma" Olasılığı \( P(K \cup G) \): \[ P(K \cup G) = P(K) + P(G) - P(K \cap G) \] \[ P(K \cup G) = \frac{15}{25} + \frac{10}{25} - \frac{6}{25} \] \[ P(K \cup G) = \frac{15 + 10 - 6}{25} = \frac{19}{25} \]

Buna göre, seçilen bir öğrencinin kız veya gözlüklü olma olasılığı \( \frac{19}{25} \)tür.

• 📌 Toplam Daire Sayısı: Apartmanda \( 3 \text{ kat} \times 4 \text{ daire/kat} = 12 \) daire vardır. Daire numaralarını 1'den 12'ye kadar düşünebiliriz.
• 👉 2. Katta Oturma Olayı (K2):
  • Her katta 4 daire olduğuna göre, 2. katta da 4 daire vardır. (Örn: 5, 6, 7, 8 numaralı daireler)
  • \( P(K2) = \frac{4}{12} \)
• 👉 Daire Numarasının Tek Sayı Olma Olayı (T):
  • 1'den 12'ye kadar olan daire numaraları içinde tek sayılar: 1, 3, 5, 7, 9, 11.
  • Tek sayı olan daire sayısı \( = 6 \)
  • \( P(T) = \frac{6}{12} \)
• 👉 2. Katta Oturan ve Daire Numarası Tek Sayı Olma Olayı (K2 ∩ T):
  • 2. kattaki daireler 5, 6, 7, 8 olsun. Bu dairelerden tek sayı olanlar: 5, 7.
  • Bu durumda olan daire sayısı \( = 2 \)
  • \( P(K2 \cap T) = \frac{2}{12} \)
• ✅ "2. Katta Oturan veya Daire Numarası Tek Sayı Olma" Olasılığı \( P(K2 \cup T) \): \[ P(K2 \cup T) = P(K2) + P(T) - P(K2 \cap T) \] \[ P(K2 \cup T) = \frac{4}{12} + \frac{6}{12} - \frac{2}{12} \] \[ P(K2 \cup T) = \frac{4 + 6 - 2}{12} = \frac{8}{12} \] Sadeleştirirsek: \[ P(K2 \cup T) = \frac{2}{3} \]

Buna göre, çekilişi 2. katta oturan veya daire numarası tek sayı olan bir kişinin kazanma olasılığı \( \frac{2}{3} \)tür.

• 📌 Toplam Meyve Suyu Çeşidi: 10 farklı meyve suyu.
• 👉 Tüm Durumlar (İki Farklı Meyve Suyu Seçme): 10 farklı meyve suyundan 2 tanesini seçme durumu: \[ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] Yani, \( s(E) = 45 \) farklı şekilde 2 meyve suyu seçilebilir.
• 👉 İstenmeyen Durum (İkisinin de Şeftali Suyu Olması - A): 3 şeftali suyundan 2 şeftali suyu seçme durumu: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \] Bu olayın olasılığı \( P(A) = \frac{3}{45} = \frac{1}{15} \)tir.
• ✅ İstenen Durum (İkisinin de Şeftali Suyu Olmaması - A'): Bu durum, A olayının tümleyenidir. \[ P(A') = 1 - P(A) \] \[ P(A') = 1 - \frac{1}{15} = \frac{15 - 1}{15} = \frac{14}{15} \]

Buna göre, seçilen iki meyve suyunun da şeftali suyu olmama olasılığı \( \frac{14}{15} \)tür.

• 📌 Toplam Yolcu Sayısı: 20 yolcu.
• 👉 Kadın Olma Olayı (K):
  • Kadın yolcu sayısı \( = 12 \)
  • \( P(K) = \frac{12}{20} \)
• 👉 Çocuklu Olma Olayı (Ç):
  • Çocuklu anneler \( = 5 \)
  • Çocuklu babalar \( = 3 \)
  • Toplam çocuklu kişi sayısı \( = 5 + 3 = 8 \)
  • \( P(Ç) = \frac{8}{20} \)
• 👉 Kadın ve Çocuklu Olma Olayı (K ∩ Ç):
  • Çocuklu anneler, hem kadın hem de çocukludur.
  • Kadın ve çocuklu kişi sayısı \( = 5 \)
  • \( P(K \cap Ç) = \frac{5}{20} \)
• ✅ "Kadın veya Çocuklu Olma" Olasılığı \( P(K \cup Ç) \): \[ P(K \cup Ç) = P(K) + P(Ç) - P(K \cap Ç) \] \[ P(K \cup Ç) = \frac{12}{20} + \frac{8}{20} - \frac{5}{20} \] \[ P(K \cup Ç) = \frac{12 + 8 - 5}{20} = \frac{15}{20} \] Sadeleştirirsek: \[ P(K \cup Ç) = \frac{3}{4} \]

Buna göre, otobüse binen ilk yolcunun kadın veya çocuklu bir kişi olma olasılığı \( \frac{3}{4} \)tür.

• 📌 Toplam Bilye Sayısı: Torbada \( 4 + 6 + 5 = 15 \) bilye vardır.
• 👉 Birinci Bilyenin Kırmızı Olma Olasılığı (P(K1)):
  • Kırmızı bilye sayısı \( = 4 \)
  • Toplam bilye sayısı \( = 15 \)
  • \( P(K1) = \frac{4}{15} \)
• 👉 İkinci Bilyenin Mavi Olma Olasılığı (P(M2 | K1)):
  • İlk çekilen bilye kırmızı olduğu ve geri atılmadığı için torbada kalan bilye sayısı \( = 15 - 1 = 14 \) olur.
  • Mavi bilye sayısı değişmez, hala \( = 6 \)dır.
  • \( P(M2 \text{ | } K1) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \)
• ✅ Her İki Olayın Birlikte Gerçekleşme Olasılığı: \[ P(K1 \text{ ve } M2) = P(K1) \times P(M2 \text{ | } K1) \] \[ P(K1 \text{ ve } M2) = \frac{4}{15} \times \frac{6}{14} \] \[ P(K1 \text{ ve } M2) = \frac{4}{15} \times \frac{3}{7} \] \[ P(K1 \text{ ve } M2) = \frac{12}{105} \] Sadeleştirirsek (3 ile): \[ P(K1 \text{ ve } M2) = \frac{4}{35} \]

Buna göre, birinci bilyenin kırmızı, ikinci bilyenin mavi olma olasılığı \( \frac{4}{35} \)tür.

• 📌 Toplam Top Sayısı: Kutuda \( 4 + 3 = 7 \) top vardır.
• 👉 Senaryo 1: Birincinin Siyah (S1), İkincinin Beyaz (B2) Olması
  • P(S1): İlk topun siyah olma olasılığı \( = \frac{4}{7} \)
  • P(B2 | S1): İlk top siyah çekildikten sonra kalan top sayısı 6 olur. Beyaz top sayısı hala 3'tür. İkinci topun beyaz olma olasılığı \( = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
  • P(S1 ve B2): \( \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \)
• 👉 Senaryo 2: Birincinin Beyaz (B1), İkincinin Siyah (S2) Olması
  • P(B1): İlk topun beyaz olma olasılığı \( = \frac{3}{7} \)
  • P(S2 | B1): İlk top beyaz çekildikten sonra kalan top sayısı 6 olur. Siyah top sayısı hala 4'tür. İkinci topun siyah olma olasılığı \( = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
  • P(B1 ve S2): \( \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \)
• ✅ Toplam Olasılık: Bu iki senaryo ayrık olaylardır, yani aynı anda gerçekleşemezler. Bu yüzden olasılıkları toplarız. \[ P(\text{Toplam}) = P(\text{S1 ve B2}) + P(\text{B1 ve S2}) \] \[ P(\text{Toplam}) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \]

Buna göre, çekilen toplardan birincisinin siyah ikincisinin beyaz olma olasılığı ile birincisinin beyaz ikincisinin siyah olma olasılığının toplamı \( \frac{4}{7} \)tür.

• 📌 Örnek Uzay (Tüm Durumlar): İki zar atıldığında \( 6 \times 6 = 36 \) farklı durum oluşur. \( s(E) = 36 \).
• 👉 A Olayı: Sayılar Toplamının 7 Olması
  • Durumlar: \( (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \)
  • \( s(A) = 6 \)
  • \( P(A) = \frac{6}{36} \)
• 👉 B Olayı: Sayılar Çarpımının 12 Olması
  • Durumlar: \( (2,6), (3,4), (4,3), (6,2) \)
  • \( s(B) = 4 \)
  • \( P(B) = \frac{4}{36} \)
• 👉 A ∩ B Olayı: Sayılar Toplamının 7 ve Çarpımının 12 Olması
  • Her iki koşulu da sağlayan durumlar: \( (3,4) \) ve \( (4,3) \)
  • \( s(A \cap B) = 2 \)
  • \( P(A \cap B) = \frac{2}{36} \)
• ✅ "Toplamın 7 veya Çarpımın 12 Olma" Olasılığı \( P(A \cup B) \): \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cup B) = \frac{6}{36} + \frac{4}{36} - \frac{2}{36} \] \[ P(A \cup B) = \frac{6 + 4 - 2}{36} = \frac{8}{36} \] Sadeleştirirsek (4 ile): \[ P(A \cup B) = \frac{2}{9} \]

Buna göre, zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olma veya çarpımının 12 olma olasılığı \( \frac{2}{9} \)tür.