💡 10. Sınıf Matematik: Üslü ve köklü gösterimlerle yapılan işlemler Çözümlü Örnekler

Çözüm:

Bu soruyu değişken değiştirme yöntemini kullanarak ikinci dereceden bir denkleme dönüştürebiliriz. 💡

• İlk olarak \( 4^x \) ifadesini \( (2^x)^2 \) şeklinde yazalım:
\[ (2^x)^2 - 6 \times 2^x + 8 = 0 \]
• Şimdi \( 2^x = t \) dönüşümü yapalım. Bu durumda denklemimiz şu şekle gelir:
\[ t^2 - 6t + 8 = 0 \]
• Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
\[ (t - 4)(t - 2) = 0 \]
• Buradan \( t \) değerleri bulunur:
\[ t = 4 \quad \text{veya} \quad t = 2 \]
• Şimdi \( t \) yerine tekrar \( 2^x \) yazarak \( x \) değerlerini bulalım:
• \( 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2 \)
• \( 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1 \)

✅ Çözüm Kümesi: \( \{1, 2\} \)

Çözüm:

Köklü ifadeleri içeren bu denklemi çözmek için değişken değiştirme yöntemi uygulayabiliriz. 📌

• \( \sqrt{x} = t \) olsun (burada \( t \ge 0 \) olmalıdır). Bu durumda \( x = t^2 \) olur.
• Yeni değişkenimize göre denklemi yazalım:
\[ t^2 - 3t + 2 = 0 \]
• Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:
\[ (t - 2)(t - 1) = 0 \]
• Buradan elde edilen \( t \) değerleri:
\[ t = 2 \quad \text{veya} \quad t = 1 \]
• Şimdi \( \sqrt{x} = t \) eşitliğine geri dönelim:
• \( \sqrt{x} = 2 \implies x = 4 \)
• \( \sqrt{x} = 1 \implies x = 1 \)
• Bulduğumuz değerleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol ettiğimizde her iki değerin de denklemi sağladığını görürüz.

✅ Çözüm Kümesi: \( \{1, 4\} \)

Çözüm:

Fonksiyon kurallarını uygulayarak köklü ifadelerin değerlerini adım adım bulalım: 🔍

• İlk olarak \( f(8) \) değerini hesaplamak için \( x \) yerine \( 8 \) yazalım:
\[ f(8) = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]
• İkinci olarak \( f(3) \) değerini hesaplamak için \( x \) yerine \( 3 \) yazalım:
\[ f(3) = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]
• Bizden istenen bu iki değerin toplamıdır:
\[ f(8) + f(3) = 3 + 2 = 5 \]

✅ Doğru Cevap: \( 5 \)

Çözüm:

Pay ve paydadaki ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yapabiliriz. 🔑

• Pay kısmındaki ifadeyi düzenleyelim:
\[ 3^{x+2} - 3^x = 3^x \times 3^2 - 3^x = 3^x \times (9 - 1) = 3^x \times 8 \]
• Payda kısmındaki ifadeyi düzenleyelim:
\[ 3^{x+1} + 3^x = 3^x \times 3^1 + 3^x = 3^x \times (3 + 1) = 3^x \times 4 \]
• Şimdi bu ifadeleri kesirde yerlerine yazalım:
\[ \frac{3^x \times 8}{3^x \times 4} \]
• Pay ve paydadaki ortak olan \( 3^x \) terimlerini sadeleştirelim:
\[ \frac{8}{4} = 2 \]

✅ En sade hali: \( 2 \)

Çözüm:

Bu problemde üslü fonksiyonların günlük hayattaki büyüme modellemesini kullanıyoruz. 🦠

• Bakteri sayısını veren model: \( P(t) = 100 \times 2^t \)
• Bizden \( 5 \) saat sonraki bakteri sayısı istendiği için \( t = 5 \) değerini fonksiyonda yerine yazmalıyız:
\[ P(5) = 100 \times 2^5 \]
• Öncelikle üslü ifadenin değerini hesaplayalım:
\[ 2^5 = 32 \]
• Şimdi çarpma işlemini gerçekleştirelim:
\[ P(5) = 100 \times 32 = 3200 \]

✅ 5. saatin sonunda ortamda \( 3200 \) adet bakteri bulunur.

Çözüm:

Otomobilin değer kaybını hesaplamak için verilen üslü modeli kullanalım: 🚗

• Modelimiz: \( V(t) = 80000 \times (0.5)^t \)
• Ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirelim: \( 0.5 = \frac{1}{2} \)
• \( t = 3 \) için değeri hesaplayalım:
\[ V(3) = 80000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
• Üslü ifadeyi açalım:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]
• Sonucu bulmak için çarpma işlemini yapalım:
\[ V(3) = 80000 \times \frac{1}{8} = 10000 \]

✅ Otomobilin 3 yıl sonraki değeri 10000 TL olacaktır.

Çözüm:

Köklü bir denklemde kökten kurtulmak için her iki tarafın karesini almalıyız. 🎯

• Verilen denklem:
\[ \sqrt{2x + 5} = 5 \]
• Her iki tarafın karesini alalım:
\[ (\sqrt{2x + 5})^2 = 5^2 \] \[ 2x + 5 = 25 \]
• Bilinmeyeni yalnız bırakmak için \( 5 \) sayısını karşı tarafa gönderelim:
\[ 2x = 25 - 5 \] \[ 2x = 20 \]
• Her iki tarafı da \( 2 \) ile bölelim:
\[ x = 10 \]
• Bulduğumuz değeri kök içi negatif yapıp yapmadığını kontrol etmek için yerine koyalım: \( 2(10) + 5 = 25 \ge 0 \). Koşul sağlanmaktadır.

✅ Doğru Cevap: \( x = 10 \)

Çözüm:

Bu soruda tam kare ifadeler ile köklü ifadelerin mutlak değer ilişkisini kullanacağız. ⚠️

• Kökün içerisindeki ifadeyi inceleyelim:
\[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \]
• Bu ifadeyi kök içinde yazalım:
\[ \sqrt{(x - 2)^2} \]
• Çift dereceli kök dışına çıkarken ifadenin mutlak değer içinde çıkması gerekir:
\[ |x - 2| \]
• Bize soruda \( x < 2 \) bilgisi verilmiştir. Bu durumda \( x - 2 \) ifadesi negatif bir değer alır:
\[ x < 2 \implies x - 2 < 0 \]
• Mutlak değerin içi negatif olduğundan, ifade dışarıya önüne eksi alarak çıkar:
\[ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 \]

✅ Doğru Cevap: \( 2 - x \)