💡 10. Sınıf Matematik: Üslü ifadeler Çözümlü Örnekler

Bu tür üslü ifadelerde taban, üs kadar kendisiyle çarpılır.

• Taban: 3
• Üs: 4

Yani, 3 sayısını kendisiyle 4 defa çarpacağız: \[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \] Şimdi çarpma işlemlerini yapalım:

• \( 3 \times 3 = 9 \)
• \( 9 \times 3 = 27 \)
• \( 27 \times 3 = 81 \)

Sonuç olarak, \( 3^4 = 81 \) bulunur. 💡

Üslü ifadelerde taban negatif olduğunda, üssün tek veya çift olması sonucun işaretini belirler.

• Taban: -2
• Üs: 5 (Tek sayı)

Üs tek olduğu için sonuç negatif olacaktır. Tabanı kendisiyle 5 defa çarpalım: \[ (-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \] Şimdi çarpma işlemlerini yapalım:

• \( (-2) \times (-2) = 4 \)
• \( 4 \times (-2) = -8 \)
• \( -8 \times (-2) = 16 \)
• \( 16 \times (-2) = -32 \)

Bu nedenle, \( (-2)^5 = -32 \) olur. ✅

Üslü ifadelerin üssü alındığında, üsler çarpılır. Bu kuralı \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) şeklinde ifade edebiliriz.

• Taban: 5
• İç Üs: 2
• Dış Üs: 3

Kuralı uygulayarak üslü biçimi bulalım: \[ (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 \] Şimdi \( 5^6 \) değerini hesaplayalım: \[ 5^6 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \]

• \( 5 \times 5 = 25 \)
• \( 25 \times 5 = 125 \)
• \( 125 \times 5 = 625 \)
• \( 625 \times 5 = 3125 \)
• \( 3125 \times 5 = 15625 \)

Dolayısıyla, \( (5^2)^3 = 5^6 = 15625 \) olarak bulunur. 🚀

Bölme işleminde tabanlar aynı ise, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. Kural: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

• Taban: 8
• Payın Üssü: 5
• Paydanın Üssü: 2

Kuralı uygulayarak üslü biçimi bulalım: \[ \frac{8^5}{8^2} = 8^{5-2} = 8^3 \] Şimdi \( 8^3 \) değerini hesaplayalım: \[ 8^3 = 8 \times 8 \times 8 \]

• \( 8 \times 8 = 64 \)
• \( 64 \times 8 = 512 \)

Sonuç olarak, \( \frac{8^5}{8^2} = 8^3 = 512 \) olarak bulunur. 👍

Bu tür denklemleri çözmek için, eşitliğin her iki tarafını da aynı tabanda yazmaya çalışırız.

• Eşitliğin Solu: \( 2^x \)
• Eşitliğin Sağı: 16

16 sayısını 2 tabanında yazalım:

• \( 2^1 = 2 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 2^3 = 8 \)
• \( 2^4 = 16 \)

Yani, \( 16 = 2^4 \) şeklinde yazılabilir. Şimdi denklemi yeniden yazalım: \[ 2^x = 2^4 \] Tabanlar eşit olduğunda, üsler de eşit olmalıdır. \[ x = 4 \] Bu nedenle, denklemde \( x \) değeri 4'tür. 🎯

Bu problem, üslü ifadelerin günlük hayattaki bir örneğidir. Çoğalma oranı üs olarak ifade edilebilir.

• Başlangıçtaki bakteri sayısı: 5
• Çoğalma oranı: Her saat 2 katına çıkıyor (yani \( 2^1 \))
• Geçen süre: 3 saat

Her saat bakteri sayısı 2 ile çarpıldığı için, 3 saat sonunda bakteri sayısı şöyle hesaplanır:

• 1. Saat Sonunda: \( 5 \times 2^1 = 10 \) bakteri
• 2. Saat Sonunda: \( 10 \times 2 = 5 \times 2 \times 2 = 5 \times 2^2 = 20 \) bakteri
• 3. Saat Sonunda: \( 20 \times 2 = 5 \times 2 \times 2 \times 2 = 5 \times 2^3 \) bakteri

Şimdi \( 5 \times 2^3 \) değerini hesaplayalım: \[ 5 \times 2^3 = 5 \times (2 \times 2 \times 2) = 5 \times 8 = 40 \] Yani, 3 saat sonra 40 bakteri olur. 🦠

Bu problem, büyük sayıları üslü ifadelerle ifade etmenin ve bölme işleminin pratik bir uygulamasıdır.

• Dosyanın Boyutu: \( 2^7 \) MB
• Bir USB Belleğin Kapasitesi: \( 2^4 \) MB

Gereken USB bellek sayısını bulmak için dosyanın toplam boyutunu bir USB belleğin kapasitesine bölmeliyiz: \[ \text{Gereken USB Sayısı} = \frac{\text{Dosyanın Boyutu}}{\text{Bir USB Belleğin Kapasitesi}} \] Şimdi üslü ifadeleri kullanarak hesaplayalım: \[ \text{Gereken USB Sayısı} = \frac{2^7}{2^4} \] Tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarırız: \[ \frac{2^7}{2^4} = 2^{7-4} = 2^3 \] Şimdi \( 2^3 \) değerini hesaplayalım: \[ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \] Bu nedenle, bu dosya için 8 tane USB bellek gereklidir. 💾

Bu soruda, üslü ifadelerin çarpma ve üssün üssü alma kurallarını bir arada kullanacağız.

• Kural 1 (Üssün Üssü): \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
• Kural 2 (Çarpma): \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

İlk olarak \( (x^{-2})^3 \) ifadesini sadeleştirelim: \[ (x^{-2})^3 = x^{-2 \times 3} = x^{-6} \] Şimdi bu sonucu \( x^5 \) ile çarpalım: \[ x^{-6} \times x^5 \] Çarpma kuralını uygulayarak üsleri toplarız: \[ x^{-6+5} = x^{-1} \] Son olarak, negatif üssü pozitif üsse çevirelim: \[ x^{-1} = \frac{1}{x^1} = \frac{1}{x} \] Dolayısıyla, işlemin sonucu \( x^{-1} \) veya \( \frac{1}{x} \) olarak bulunur. ✍️