💡 10. Sınıf Matematik: Üçgenler Ve Trigonometri Çözümlü Örnekler

Adım adım çözümümüzü gerçekleştirelim:

• 1. Adım: Öncelikle Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs uzunluğunu (\( |AC| \)) bulalım.
\[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ |AC| = 10 \text{ birim bulunur.} \]
• 2. Adım: A açısının sinüs değerini hesaplayalım. Sinüs, karşı dik kenar bölü hipotenüstür.
\[ \sin(A) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
• 3. Adım: C açısının kosinüs değerini hesaplayalım. Kosinüs, komşu dik kenar bölü hipotenüstür.
\[ \cos(C) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
• 4. Adım: Bizden istenen bu iki değerin toplamıdır.
\[ \frac{4}{5} + \frac{4}{5} = \frac{8}{5} \]

Özel dik üçgen kurallarını uygulayarak soruyu kolayca çözebiliriz:

• 1. Adım: Bu üçgen bir \( 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ \) özel üçgenidir.
• 2. Adım: \( 30^\circ \) karşısındaki dik kenarın uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.
\[ |AB| = \frac{|AC|}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ birim} \]
• 3. Adım: \( 60^\circ \) karşısındaki dik kenarın uzunluğu, \( 30^\circ \) karşısındaki kenarın \( \sqrt{3} \) katına eşittir.
\[ |BC| = 6\sqrt{3} \text{ birim} \]
• 4. Adım: Bizden bu iki uzunluğun toplamı istenmektedir.
\[ |AB| + |BC| = 6 + 6\sqrt{3} \text{ birim} \]

Trigonometrik oranları bulmak için bir dik üçgen çizerek adımları takip edelim:

• 1. Adım: Bir dik üçgende x açısının karşısına \( 3 \), hipotenüse \( 5 \) birim yazalım.
• 2. Adım: Pisagor teoreminden komşu dik kenarı bulalım. Bu üçgen ünlü \( 3-4-5 \) özel üçgenidir. Dolayısıyla komşu dik kenar \( 4 \) birim olur.
• 3. Adım: x açısının tanjant değerini bulalım (Karşı / Komşu):
\[ \tan(x) = \frac{3}{4} \]
• 4. Adım: x açısının kotanjant değerini bulalım (Komşu / Karşı):
\[ \cot(x) = \frac{4}{3} \]
• 5. Adım: Bu iki değeri toplayalım ve paydaları eşitleyelim:
\[ \tan(x) + \cot(x) = \frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{9}{12} + \frac{16}{12} = \frac{25}{12} \]

Öklid teoremi ve trigonometrik oranları bir arada kullanarak çözüme ulaşalım:

• 1. Adım: Dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (Öklid Teoremi).
\[ |BH|^2 = |AH| \times |HC| \] \[ |BH|^2 = 4 \times 9 = 36 \] \[ |BH| = 6 \text{ birim} \]
• 2. Adım: ABH dik üçgenine odaklanalım. Bu üçgende H açısı \( 90^\circ \) dir.
• 3. Adım: A açısının tanjantı, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
\[ \tan(A) = \frac{|BH|}{|AH|} \] \[ \tan(A) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

Günlük hayat problemini dik üçgen modellemesi ile çözelim:

• 1. Adım: Merdiven, zemin ve yükseklik bir dik üçgen oluşturur. Burada merdiven hipotenüs konumundadır ve uzunluğu \( 4 \) metredir.
• 2. Adım: Zeminle yapılan açı \( 60^\circ \) olduğuna göre, aradığımız yükseklik bu açının karşı dik kenarıdır.
• 3. Adım: Karşı dik kenar ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi sinüs oranı ile kurabiliriz:
\[ \sin(60^\circ) = \frac{\text{Yükseklik}}{\text{Hipotenüs}} \]
• 4. Adım: Bilinen değerleri yerine yazalım (\( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)):
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4} \] \[ h = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ metre} \]

Rampanın eğimini dik üçgendeki tanjant oranı ile modelleyelim:

• 1. Adım: Eğim, dikey yüksekliğin yatay uzunluğa oranıdır. Yani:
\[ \text{Eğim} = \tan(\alpha) = \frac{\text{Dikey Yükseklik}}{\text{Yatay Uzaklık}} \]
• 2. Adım: Verilen değerleri formülde yerine yazalım. Dikey yükseklik \( 0.5 \) metre, yatay uzaklık \( x \) olsun:
\[ \text{Eğim} = \frac{0.5}{x} \]
• 3. Adım: Eğimin en fazla \( \frac{1}{12} \) olması istendiğinden, yatay uzaklığın en az sınırını bulmak için eşitliği kuralım:
\[ \frac{0.5}{x} = \frac{1}{12} \]
• 4. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\[ x = 0.5 \times 12 = 6 \text{ metre} \]

Temel trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sadeleştirme yapalım:

• 1. Adım: En temel trigonometrik özdeşliğimizi hatırlayalım:
\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \]
• 2. Adım: Buradan \( \sin^2(x) \) ifadesini yalnız bırakalım:
\[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \]
• 3. Adım: İki kare farkı özdeşliğini kullanarak pay kısmını çarpanlarına ayıralım:
\[ 1 - \cos^2(x) = (1 - \cos(x))(1 + \cos(x)) \]
• 4. Adım: Bu ifadeyi orijinal kesrimizde yerine yazalım:
\[ \frac{(1 - \cos(x))(1 + \cos(x))}{1 - \cos(x)} \]
• 5. Adım: Pay ve paydadaki ortak olan \( (1 - \cos(x)) \) terimlerini sadeleştirelim:
\[ 1 + \cos(x) \]

Güneş ışınlarının aynı açıyla gelmesinden yararlanarak benzerlik ve trigonometri ilişkisini kuralım:

• 1. Adım: Güneş ışınlarının geliş açısı her iki nesne için de aynıdır (\( \alpha \)).
• 2. Adım: Her iki durum için de açının tanjant değeri (Boy / Gölge Boyu) birbirine eşit olmalıdır.
• 3. Adım: Öğrenci için tanjant değerini yazalım:
\[ \tan(\alpha) = \frac{1.8}{2.4} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \]
• 4. Adım: Bayrak direğinin boyuna \( h \) diyelim ve direk için tanjant değerini yazıp eşitleyelim:
\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{8} \] \[ \frac{3}{4} = \frac{h}{8} \]
• 5. Adım: İçler dışlar çarpımı ile \( h \) değerini hesaplayalım:
\[ 4 \times h = 24 \] \[ h = 6 \text{ metre} \]