🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Üçgenler Ve Trigonometri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Üçgenler Ve Trigonometri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, B açısı \( 90^\circ \)dir. Eğer AB kenarının uzunluğu 3 birim ve BC kenarının uzunluğu 4 birim ise, C açısının sinüs değerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 📌 Öncelikle, bir dik üçgende trigonometrik oranları hatırlayalım. Sinüs değeri, karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
- 👉 Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüs uzunluğunu bulmalıyız. Hipotenüs (AC) uzunluğu \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülüyle bulunur.
- ✅ \( AB = 3 \) birim ve \( BC = 4 \) birim olduğuna göre, \( AC^2 = 3^2 + 4^2 \) olacaktır.
- 💡 \( AC^2 = 9 + 16 \) yani \( AC^2 = 25 \) olur. Buradan hipotenüs \( AC = 5 \) birim olarak bulunur.
- 🔍 Şimdi C açısının sinüs değerini hesaplayabiliriz. C açısının karşısındaki dik kenar AB'dir (uzunluğu 3 birim). Hipotenüs ise AC'dir (uzunluğu 5 birim).
- Sonuç olarak, \( \sin C = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{AB}{AC} \)
- C açısının sinüs değeri: \( \sin C = \frac{3}{5} \) bulunur.
Örnek 2:
Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:
\( \sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ \) 🧐
\( \sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ \) 🧐
Çözüm:
Bu tür ifadeleri çözmek için özel açıların trigonometrik değerlerini bilmemiz gerekir:
- 📌 Öncelikle, her bir trigonometrik değerin karşılığını yazalım:
- 👉 \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
- 👉 \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
- 👉 \( \tan 45^\circ = 1 \)
- 💡 Şimdi bu değerleri verilen ifadede yerine koyalım:
- \( \sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 \)
- ✅ İşlemi tamamlayalım:
- \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)
- \( 1 - 1 = 0 \)
- Sonuç olarak, ifadenin değeri \( 0 \)dır.
Örnek 3:
Aşağıdaki trigonometrik ifadeyi en sade haline getiriniz:
\( \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x} \) 📝
\( \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x} \) 📝
Çözüm:
Bu ifadeyi sadeleştirmek için temel trigonometrik özdeşlikleri kullanmalıyız:
- 📌 En temel özdeşliklerden biri \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)dir.
- 👉 Bu özdeşliği kullanarak \( 1 - \cos^2 x \) ifadesini yeniden yazabiliriz.
- 💡 Eğer \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) ise, \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) olur.
- ✅ Şimdi bu eşitliği verilen ifadede yerine koyalım:
- \( \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x}{\sin x} \)
- 🔍 Pay kısmındaki \( \sin^2 x \) ifadesini \( \sin x \cdot \sin x \) olarak düşünebiliriz.
- \( \frac{\sin x \cdot \sin x}{\sin x} \)
- Pay ve paydadaki \( \sin x \) terimlerini sadeleştirdiğimizde ( \( \sin x \neq 0 \) varsayımıyla), geriye sadece \( \sin x \) kalır.
- Sonuç olarak, ifadenin en sade hali \( \sin x \)tir.
Örnek 4:
Eğer bir açısının \( x \) ikinci bölgede ve \( \sin x = \frac{3}{5} \) ise, \( \cos x \) değerini bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemi çözerken hem trigonometrik özdeşlikleri hem de birim çemberdeki işaretleri kullanacağız:
- 📌 Temel trigonometrik özdeşliklerden \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) ifadesini kullanabiliriz.
- 👉 Verilen \( \sin x = \frac{3}{5} \) değerini bu özdeşlikte yerine koyalım:
- \( \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \)
- \( \frac{9}{25} + \cos^2 x = 1 \)
- 💡 Şimdi \( \cos^2 x \) değerini bulmak için \( \frac{9}{25} \)i eşitliğin diğer tarafına atalım:
- \( \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} \)
- Paydaları eşitleyelim: \( \cos^2 x = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \)
- ✅ \( \cos x \) değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( \cos x = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \)
- 🔍 Şimdi açının hangi bölgede olduğuna dikkat etmeliyiz. Soruda \( x \) açısının ikinci bölgede olduğu belirtilmiştir.
- 📌 İkinci bölgede sinüs pozitif, ancak kosinüs negatiftir.
- Bu nedenle, \( \cos x \) değeri \( -\frac{4}{5} \) olmalıdır.
Örnek 5:
Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:
\( \sin 150^\circ + \cos 120^\circ \) 🧭
\( \sin 150^\circ + \cos 120^\circ \) 🧭
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için birim çemberdeki açıları ve indirgeme kurallarını kullanacağız:
- 📌 Öncelikle \( \sin 150^\circ \) değerini bulalım. \( 150^\circ \) açısı ikinci bölgededir.
- 👉 İkinci bölgedeki bir açının sinüsü için \( \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \) kuralını kullanabiliriz.
- 💡 \( \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ \)
- ✅ Biz \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz. Demek ki \( \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \)dir.
- 📌 Şimdi \( \cos 120^\circ \) değerini bulalım. \( 120^\circ \) açısı da ikinci bölgededir.
- 👉 İkinci bölgedeki bir açının kosinüsü için \( \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \) kuralını kullanabiliriz.
- 💡 \( \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ \)
- ✅ Biz \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz. Demek ki \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \)dir.
- Son olarak, bu iki değeri toplayalım:
- \( \sin 150^\circ + \cos 120^\circ = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \)
- İfadenin değeri \( 0 \)dır.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, A açısı \( 45^\circ \), B açısı \( 60^\circ \) ve AC kenarının uzunluğu \( 4\sqrt{2} \) birimdir. Buna göre, BC kenarının uzunluğu kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanmalıyız:
- 📌 Sinüs Teoremi, bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki oranı ifade eder: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
- 👉 Bize verilenler: \( A = 45^\circ \), \( B = 60^\circ \), \( b = AC = 4\sqrt{2} \) birim. Aranan ise \( a = BC \) kenarının uzunluğudur.
- 💡 Sinüs Teoremi'ni uygulayalım: \( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \)
- ✅ Değerleri yerine yazalım: \( \frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 60^\circ} \)
- 🔍 Özel açıların sinüs değerlerini hatırlayalım: \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) ve \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- \( \frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
- Her iki tarafı da \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) ile çarpalım:
- \( BC = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
- \( BC = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \)
- Paydayı rasyonel yapalım: \( BC = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) birim.
- Sonuç olarak, BC kenarının uzunluğu \( \frac{8\sqrt{3}}{3} \) birimdir.
Örnek 7:
Bir KLM üçgeninde, KL kenarının uzunluğu 6 birim, LM kenarının uzunluğu 8 birim ve L açısı \( 60^\circ \)dir. Buna göre, KM kenarının uzunluğu kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanmalıyız:
- 📌 Kosinüs Teoremi, bir üçgende iki kenar ve bu iki kenar arasındaki açının bilinmesi durumunda üçüncü kenarı bulmak için kullanılır: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)
- 👉 Bize verilenler: \( KL = m = 6 \) birim, \( LM = k = 8 \) birim ve \( L = 60^\circ \). Aranan ise \( KM = l \) kenarının uzunluğudur.
- 💡 Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım: \( KM^2 = KL^2 + LM^2 - 2 \cdot KL \cdot LM \cdot \cos L \)
- ✅ Değerleri yerine yazalım: \( KM^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ \)
- 🔍 Özel açının kosinüs değerini hatırlayalım: \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).
- \( KM^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \)
- \( KM^2 = 100 - (2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}) \)
- \( KM^2 = 100 - (6 \cdot 8) \)
- \( KM^2 = 100 - 48 \)
- \( KM^2 = 52 \)
- Son olarak, KM kenarının uzunluğunu bulmak için karekök alalım:
- \( KM = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \) birim.
- Sonuç olarak, KM kenarının uzunluğu \( 2\sqrt{13} \) birimdir.
Örnek 8:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek istiyor. Binadan 50 metre uzaklıkta durduğunda, binanın tepesine baktığında gördüğü açı (yükseklik açısı) \( 37^\circ \) olarak ölçülüyor. Mühendisin göz seviyesi yerden 1.5 metre yükseklikte olduğuna göre, binanın yüksekliği yaklaşık olarak kaç metredir? (Verilen: \( \tan 37^\circ \approx 0.75 \)) 🏗️
Çözüm:
Bu günlük hayat problemini çözmek için tanjant trigonometrik oranını kullanacağız:
- 📌 Öncelikle, mühendisin göz hizasından binanın tepesine olan yüksekliği bulmalıyız.
- 👉 Mühendis ile bina arasındaki yatay uzaklık 50 metredir. Bu, dik üçgenimizin bir dik kenarıdır.
- 💡 Mühendisin göz seviyesinden binanın tepesine olan yükseklik ise diğer dik kenardır. Bu yüksekliğe \( h \) diyelim.
- ✅ Tanjant formülü: \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \)
- Buna göre, \( \tan 37^\circ = \frac{h}{50} \) olur.
- 🔍 Soruda \( \tan 37^\circ \approx 0.75 \) olarak verilmiştir.
- \( 0.75 = \frac{h}{50} \)
- \( h = 0.75 \cdot 50 \)
- \( h = 37.5 \) metre.
- 📌 Bu \( h \) değeri, mühendisin göz seviyesinden binanın tepesine kadar olan yüksekliktir.
- Binanın toplam yüksekliğini bulmak için mühendisin göz seviyesini de eklemeliyiz.
- Binanın toplam yüksekliği = \( h \) + mühendisin göz seviyesi
- Binanın toplam yüksekliği = \( 37.5 + 1.5 = 39 \) metre.
- Sonuç olarak, binanın yüksekliği yaklaşık olarak 39 metredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ucgenler-ve-trigonometri/sorular