🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Üçgenler: Eşlik ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Üçgenler: Eşlik ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 60^\circ \) ise \( \hat{C} \) kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir.
- Verilen açılar \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 60^\circ \)dir.
- \( \hat{C} \) açısını bulmak için toplamdan verilen açıları çıkarırız: \( \hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B}) \)
- \( \hat{C} = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) \)
- \( \hat{C} = 180^\circ - 110^\circ \)
- \( \hat{C} = 70^\circ \) ✅
Örnek 2:
İki üçgenin kenar uzunlukları ve açıları verilmiştir. Bu üçgenler eş midir, benzer midir yoksa ne eş ne de benzer midir?
Üçgen 1: Kenarlar 3 cm, 4 cm, 5 cm. Açılar \( 90^\circ, 53.13^\circ, 36.87^\circ \).
Üçgen 2: Kenarlar 6 cm, 8 cm, 10 cm. Açılar \( 90^\circ, 53.13^\circ, 36.87^\circ \). 📐
Çözüm:
- İki üçgenin de açıları aynıdır. Bu, benzerlik için güçlü bir işarettir.
- Üçgen 2'nin kenar uzunlukları, Üçgen 1'in kenar uzunluklarının 2 katıdır (6/3 = 2, 8/4 = 2, 10/5 = 2).
- Aynı açılara sahip ve kenar uzunlukları orantılı olan üçgenler benzerdir.
- Eşlik için hem açıların hem de kenar uzunluklarının birebir aynı olması gerekir. Bu durumda kenarlar farklı olduğu için eş değillerdir.
Örnek 3:
ABC üçgeninde \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm, \( AC = 10 \) cm'dir. DEF üçgeninde \( DE = 3 \) cm, \( EF = 4 \) cm, \( DF = 5 \) cm'dir. Bu iki üçgen arasındaki ilişki nedir? 📏
Çözüm:
- ABC üçgeninin kenar uzunlukları: 6, 8, 10.
- DEF üçgeninin kenar uzunlukları: 3, 4, 5.
- Kenar uzunlukları arasındaki orana bakalım: \( \frac{AB}{DE} = \frac{6}{3} = 2 \), \( \frac{BC}{EF} = \frac{8}{4} = 2 \), \( \frac{AC}{DF} = \frac{10}{5} = 2 \).
- Tüm kenar uzunlukları aynı oranda (2) arttığı için bu iki üçgen benzerdir.
- Eşlik için kenar uzunluklarının eşit olması gerekirdi, bu durumda eş değillerdir.
Örnek 4:
Birbirine paralel iki doğru parçasını kesen üç farklı doğrunun oluşturduğu üçgenlerde eşlik veya benzerlik durumları nasıl incelenir? 🛤️
Çözüm:
- Paralel doğrular, kesen doğrularla iç ters açılar ve yöndeş açılar oluşturur.
- Bu açılar, kesişen doğruların oluşturduğu üçgenlerin iç açılarına eşit olabilir.
- Eğer iki üçgenin karşılıklı açıları eşitse (örneğin, AAA benzerlik durumu), bu üçgenler benzerdir.
- Eğer üçgenlerin açıları eşit ve aralarındaki kenar uzunlukları da eşitse (örneğin, ASA veya SAS eşlik durumu), bu üçgenler eşittir.
Örnek 5:
Bir mimar, bir binanın maketini tasarlarken, gerçek binanın ölçekli bir küçültülmüş modelini kullanır. Eğer gerçek binanın yüksekliği 30 metre ve taban genişliği 12 metre ise, 1:100 ölçekli bir maketin yüksekliği ve taban genişliği kaç metre olur? 🏠
Çözüm:
- Ölçek 1:100, yani maketteki her 1 birim, gerçekte 100 birime karşılık gelir.
- Gerçek bina yüksekliği: 30 metre.
- Maket yüksekliği = Gerçek yükseklik / Ölçek oranı
- Maket yüksekliği = 30 m / 100 = 0.3 metre.
- Gerçek bina taban genişliği: 12 metre.
- Maket taban genişliği = Gerçek taban genişliği / Ölçek oranı
- Maket taban genişliği = 12 m / 100 = 0.12 metre.
Örnek 6:
Bir fotoğrafçı, bir grup insanı fotoğraflamak istiyor. Fotoğrafın kadrajına sığdırmak için, grubun önündeki ve arkasındaki nesnelerin boyutlarını ayarlaması gerekiyor. Eğer fotoğrafçı, önündeki bir ağacın (gerçek boyu 5 metre) fotoğrafındaki boyunu 10 cm, arkasındaki bir binanın (gerçek boyu 20 metre) fotoğrafındaki boyunu ise 20 cm olarak ayarlarsa, bu durum benzerlik açısından ne ifade eder? 📸
Çözüm:
- Bu durumda, fotoğrafçının kullandığı lens ve kamera, nesnelerin gerçek boyutlarını belirli bir oranda küçülterek fotoğraf kağıdına aktarır.
- Ağacın gerçek boyu (5 m) ile fotoğrafındaki boyu (10 cm) arasındaki oran, binanın gerçek boyu (20 m) ile fotoğrafındaki boyu (20 cm) arasındaki orana eşit değildir.
- Ağaç için oran: \( \frac{500 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 50 \)
- Bina için oran: \( \frac{2000 \text{ cm}}{20 \text{ cm}} = 100 \)
- Bu oranların farklı olması, fotoğrafın çekildiği açının ve nesnelerin kameraya olan uzaklığının farklı olmasından kaynaklanır.
- Eğer oranlar aynı olsaydı, bu nesneler ve onların fotoğraftaki izdüşümleri benzer üçgenler oluştururdu. Ancak burada oranlar farklı olduğu için doğrudan bir benzerlik ilişkisi kurmak zordur, çünkü uzaklıklar farklıdır.
Örnek 7:
ABC üçgeninde \( \hat{A} = 45^\circ \), \( \hat{B} = 60^\circ \). DEF üçgeninde \( \hat{D} = 45^\circ \) ve \( \hat{E} = 75^\circ \). Bu iki üçgen arasında nasıl bir ilişki vardır? 🧐
Çözüm:
- ABC üçgeninin açılarının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
- \( \hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
- Yani ABC üçgeninin açıları: \( 45^\circ, 60^\circ, 75^\circ \).
- DEF üçgeninin açıları: \( 45^\circ, 75^\circ \).
- DEF üçgeninin \( \hat{F} \) açısını bulalım: \( \hat{F} = 180^\circ - (\hat{D} + \hat{E}) = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- DEF üçgeninin açıları: \( 45^\circ, 75^\circ, 60^\circ \).
- Her iki üçgenin de açıları aynıdır: \( 45^\circ, 60^\circ, 75^\circ \).
Örnek 8:
Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafenin 5 cm olduğunu görüyoruz. Haritanın ölçeği 1:2.000.000 olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
- Harita üzerindeki mesafe: 5 cm.
- Harita ölçeği: 1:2.000.000. Bu, haritadaki 1 cm'nin gerçekte 2.000.000 cm'ye karşılık geldiği anlamına gelir.
- Gerçek mesafeyi santimetre cinsinden hesaplayalım:
- Gerçek mesafe (cm) = Harita mesafesi (cm) \( \times \) Ölçekteki ikinci sayı
- Gerçek mesafe (cm) = 5 cm \( \times \) 2.000.000 = 10.000.000 cm.
- Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirelim. 1 kilometre = 100.000 cm'dir.
- Gerçek mesafe (km) = Gerçek mesafe (cm) / 100.000
- Gerçek mesafe (km) = 10.000.000 cm / 100.000 cm/km = 100 km. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ucgenler-eslik-ve-benzerlik/sorular