💡 10. Sınıf Matematik: Üçgende Yardımcı Elemanlar Çözümlü Örnekler

• 👉 Verilen değerleri yerine yazalım:
  AB = 6 cm
  AC = 9 cm
  BC = 10 cm
• 👉 BD uzunluğuna \(x\) diyelim. O zaman DC uzunluğu \(10 - x\) olacaktır.
• 👉 Açıortay teoremini uygulayalım:
  \[ \frac{x}{10 - x} = \frac{6}{9} \]
• 👉 Oranı sadeleştirelim:
  \[ \frac{x}{10 - x} = \frac{2}{3} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım:
  \( 3x = 2(10 - x) \)
  \( 3x = 20 - 2x \)
• 👉 \( -2x \) terimini sol tarafa atalım:
  \( 3x + 2x = 20 \)
  \( 5x = 20 \)
• 👉 \(x\) değerini bulalım:
  \( x = \frac{20}{5} \)
  \( x = 4 \)

• 👉 Verilen değerleri yazalım:
  AB = 8 cm
  BC = 12 cm
  AE = 6 cm
• 👉 EC uzunluğuna \(y\) diyelim.
• 👉 Açıortay teoremini uygulayalım:
  \[ \frac{6}{y} = \frac{8}{12} \]
• 👉 Oranı sadeleştirelim:
  \[ \frac{6}{y} = \frac{2}{3} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım:
  \( 2y = 6 \times 3 \)
  \( 2y = 18 \)
• 👉 \(y\) değerini bulalım:
  \( y = \frac{18}{2} \)
  \( y = 9 \)
• 👉 EC uzunluğunu 9 cm bulduk. AC kenarının toplam uzunluğu AE + EC'dir:
  AC = \( 6 + 9 = 15 \) cm

• 👉 K'den çizilen kenarortay LM kenarını N noktasında kestiğine göre, N noktası LM kenarının orta noktasıdır.
• 👉 Bu durumda, LN uzunluğu ile NM uzunluğu birbirine eşittir.
  LN = NM
• 👉 Verilen bilgiye göre LN = 7 cm'dir.
  O zaman NM = 7 cm olur.
• 👉 LM kenarının toplam uzunluğu LN ile NM'nin toplamıdır:
  LM = LN + NM
  LM = \( 7 + 7 = 14 \) cm

• 👉 PS, P köşesinden çizilen kenarortayın bir parçasıdır. G noktası ağırlık merkezidir.
• 👉 Ağırlık merkezinin özelliğine göre, kenarortayın köşeye olan uzaklığı (PG) ile kenara olan uzaklığı (GS) arasında bir oran vardır.
  PG = \( 2 \times GS \)
• 👉 Verilen bilgiye göre GS = 4 cm'dir.
• 👉 PG uzunluğunu bulalım:
  PG = \( 2 \times 4 = 8 \) cm
• 👉 PS kenarortayının toplam uzunluğu PG ile GS'nin toplamıdır:
  PS = PG + GS
  PS = \( 8 + 4 = 12 \) cm

• 👉 Verilen değerleri yazalım:
  Taban Kenarı (XY) = 12 cm
  Yükseklik (ZT) = 8 cm
• 👉 Üçgenin alan formülünü uygulayalım:
  Alan = \( \frac{XY \times ZT}{2} \)
  Alan = \( \frac{12 \times 8}{2} \)
• 👉 Çarpma ve bölme işlemlerini yapalım:
  Alan = \( \frac{96}{2} \)
  Alan = \( 48 \)

• 👉 DE kenarının orta dikmesi, K noktasından geçmektedir ve DE'ye diktir.
• 👉 Orta dikme üzerindeki her nokta, D ve E noktalarına eşit uzaklıktadır.
• 👉 Soruda D köşesinin orta dikmeye olan uzaklığının 5 cm olduğu belirtilmiştir.
  Bu, D noktasından orta dikmeye çizilen en kısa mesafenin 5 cm olduğu anlamına gelir.
• 👉 Orta dikmenin özelliğine göre, E noktasının orta dikmeye olan uzaklığı da D noktasının uzaklığına eşit olmalıdır.

• Anıtın Konumu: Anıtın tüm köşelere (A, B, C) eşit uzaklıkta olması, Çevrel Çemberin Merkezi'ni işaret eder. Çevrel çemberin merkezi ise üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır.
• Yürüyüş Yolunun Konumu: B köşesinden başlayıp AC kenarına doğru ilerleyen ve AC kenarına eşit uzaklıkta olan bir yol, B köşesine ait açıortayı temsil eder. Bir açının açıortayı üzerindeki her nokta, açının kollarına (yani burada AB ve BC kenarlarına değil, AC kenarına eşit uzaklıkta denmiş, bu bir çeldirici olabilir. Eğer "B köşesinden başlayıp AC kenarına eşit uzaklıkta" deniyorsa, bu B köşesinden AC'ye inen yükseklik veya B köşesinden AC'nin orta noktasına giden bir yol olabilir. Ancak "AC kenarına eşit uzaklıkta bir yürüyüş yolu" ifadesi genellikle açıortayın tanımına uyar, açının kollarına eşit uzaklıkta olmasıdır. Soruda "AC kenarına eşit uzaklıkta" ifadesi, "B noktasından AC kenarına doğru ilerleyen ve AC kenarına eşit uzaklıkta olan bir nokta kümesi" olarak yorumlanırsa, bu B noktasından AC kenarına çizilen dikme (yükseklik) veya B köşesinden AC kenarına çizilen açıortay olabilir. Ancak "AC kenarına eşit uzaklıkta" demek, AC kenarına paralel bir doğru anlamına gelir. Eğer kastedilen "AC kenarından uzaklığı sabit olan" bir yol ise, bu bir açıortay değildir. Bir açının kollarına eşit uzaklıkta olan noktalar açıortay üzerindedir. Burada B köşesinden başlayıp AC kenarına doğru ilerleyen ve AC kenarından "eşit uzaklıkta" olan bir yol denmiş. Bu ifade biraz muğlak. "AC kenarına eşit uzaklıkta" ifadesi, genellikle AC kenarına paralel bir doğruyu akla getirir. Ancak "B köşesinden başlayıp" denmesi, B köşesinden çıkan bir doğru parçası olduğunu gösterir. Eğer kastedilen, B köşesinden çıkan ve AC kenarına olan uzaklığı sabit tutan bir yol ise, bu bir açıortay değildir. Açıortay, açının kollarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir. Burada sanırım "B köşesinden çıkan ve AC kenarına eşit uzaklıkta" olarak kast edilen, B köşesinden çıkan ve AC kenarını iki eşit parçaya bölen doğru parçası, yani kenarortay veya B köşesinden çıkan ve AC kenarını dik kesen yükseklik olabilir. Eğer "AC kenarına olan uzaklığı sabit" değil de, "AC kenarının iki ucuna olan uzaklığı eşit" gibi bir anlam kastediliyorsa, o zaman orta dikme tanımına yaklaşır. Ama "AC kenarına eşit uzaklıkta bir yürüyüş yolu planlamaktadır" ifadesi, B köşesinden çıkan ve AC kenarına eşit uzaklıkta olan bir doğru parçası olarak yorumlamak yerine, B köşesinden çıkan ve AC kenarını bölen bir doğru parçası olarak yorumlayacağım. Açıortay, açının kollarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir. Eğer "AC kenarına eşit uzaklıkta" ifadesi, "B köşesinden çıkan ve AC kenarını iki eşit parçaya bölen" anlamında kullanılıyorsa, bu kenarortaydır. Eğer "B köşesinden çıkan ve AC kenarına dik olan" anlamında kullanılıyorsa, bu yüksekliktir. Eğer "B köşesinden çıkan ve açıyı ikiye bölen" anlamında kullanılıyorsa, bu açıortaydır.
  Burada bir B köşesine ait açıortay olduğunu varsayalım. Çünkü açıortayın tanımı, açının kollarından eşit uzaklıkta olan noktaların kümesidir. "AC kenarına eşit uzaklıkta" ifadesi, B köşesinden çıkan bir çizginin AC kenarına olan uzaklığını sabit tuttuğu anlamına gelmez. Daha çok "B köşesinden çıkan ve AC kenarını bölen bir doğru parçası" olarak düşünmeliyiz. Eğer "AC kenarına eşit uzaklıkta" ifadesini "B noktasından AC kenarına indirilen dikmenin ayağına olan uzaklık" olarak düşünürsek, bu da tam olarak açıortayı tanımlamaz.
  Ancak, "B köşesinden başlayıp AC kenarına doğru ilerleyecek" ve "AC kenarına eşit uzaklıkta bir yürüyüş yolu" ifadesi, B köşesine ait açıortayı akla getirir. Çünkü açıortay üzerindeki her noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları eşittir. Burada AC kenarı bir kol olarak alınmıştır. Bu durumda, bu çizgi açıortaydır.

Anıtın Konumu: Parkın tüm köşelerine eşit uzaklıktaki nokta, Çevrel Çemberin Merkezi'dir. Bu nokta, üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır.

Yürüyüş Yolunun Konumu: B köşesinden başlayıp AC kenarına doğru ilerleyen ve AC kenarına eşit uzaklıkta olan (yani B açısını ikiye bölen) yol, B köşesine ait iç açıortaydır.

✅ Bu durumda, anıtın konumu kenar orta dikmelerin kesim noktasıdır. Yürüyüş yolunun geçtiği çizgi ise açıortaydır. Bu iki yardımcı eleman arasında genel bir doğrudan ilişki yoktur, farklı geometrik özelliklere hizmet ederler.

• Tüm kenarlara eşit uzaklıkta olması: Bir üçgende tüm kenarlara eşit uzaklıkta olan nokta, İç Teğet Çemberin Merkezi'dir. İç teğet çemberin merkezi ise üçgenin iç açıortaylarının kesim noktasıdır.
• Masanın ağırlık merkezinde olması: Bir cismin ağırlık merkezi, geometrik olarak o cismin kenarortaylarının kesim noktasıdır.

Marangozun hem "tüm kenarlara eşit uzaklıkta" hem de "ağırlık merkezinde" olması şartlarını aynı anda sağlaması isteniyor. Ancak, bir üçgende iç teğet çemberin merkezi (açıortayların kesim noktası) ile ağırlık merkezi (kenarortayların kesim noktası) genellikle aynı nokta değildir.
Bu iki nokta sadece eşkenar üçgenlerde çakışır (yani aynı noktadır). Diğer üçgen türlerinde bu iki nokta farklı yerlerde bulunur.

Bu durumda marangozun ya ağırlık merkezini ya da kenarlara eşit uzaklıkta olan noktayı seçmesi gerekir. Eğer masanın dengesi öncelikliyse, ağırlık merkezini seçmelidir. Eğer masanın kenarlarla olan ilişkisi (örneğin kenarlara eşit mesafede olmasını gerektiren bir tasarım) öncelikliyse, iç teğet çemberin merkezini seçmelidir.

✅ Dolayısıyla, marangozun masanın ayağını monte edeceği nokta, eğer eşkenar üçgen değilse, açıortayların kesim noktası (iç teğet çemberin merkezi) ile kenarortayların kesim noktası (ağırlık merkezi) arasında bir tercih yapmasını gerektirir.