🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Üçgende Yardımcı Elemanlar Ve İlişkileri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Üçgende Yardımcı Elemanlar Ve İlişkileri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden BC kenarına çizilen kenarortayın uzunluğu \( v_a \) ile gösterilir. Eğer \( |BC| = 10 \) cm ve bu kenarın orta noktası D ise, \( |BD| \) kaç cm'dir?
Çözüm:
- Bir üçgende kenarortay, bir köşeden karşısındaki kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.
- Soruda BC kenarının orta noktası D olarak verilmiştir.
- Bu durumda, kenarortay AD doğru parçasıdır ve \( v_a = |AD| \) olur.
- BC kenarının uzunluğu \( |BC| = 10 \) cm'dir.
- D noktası BC kenarının orta noktası olduğundan, \( |BD| = |DC| = \frac{|BC|}{2} \) olur.
- Hesaplama: \( |BD| = \frac{10}{2} = 5 \) cm.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden BC kenarına indirilen dikmenin ayağı H'dir. \( |AH| \) uzunluğu bu kenara ait yüksekliği temsil eder. Eğer \( |AH| = 8 \) cm ve \( |BC| = 12 \) cm ise, bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Çözüm:
- Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
- Formül: Alan = \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \)
- Burada taban \( |BC| = 12 \) cm ve yüksekliğimiz \( |AH| = 8 \) cm'dir.
- Alanı hesaplayalım: Alan = \( \frac{1}{2} \times 12 \times 8 \)
- Alan = \( \frac{1}{2} \times 96 \)
- Alan = \( 48 \) cm².
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinin açıortayı AD'dir ve D noktası BC kenarı üzerindedir. Eğer \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm ve \( |BC| = 10 \) cm ise, \( |BD| \) kaç cm'dir?
Çözüm:
- Açıortay teoremi, bir üçgende bir köşeden çıkan açıortayın, karşı kenarı hangi oranda böldüğünü belirtir.
- Teoreme göre, \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \) olur.
- Verilen değerler: \( |AB| = 6 \), \( |AC| = 9 \), \( |BC| = 10 \).
- \( |BD| \) ve \( |DC| \) kenarlarının toplamı \( |BC| \) kenarına eşittir: \( |BD| + |DC| = 10 \).
- Oranı yazalım: \( \frac{6}{9} = \frac{|BD|}{|DC|} \). Bu oranı sadeleştirirsek \( \frac{2}{3} = \frac{|BD|}{|DC|} \) elde ederiz.
- Buradan \( |DC| = \frac{3}{2} |BD| \) diyebiliriz.
- Bu ifadeyi \( |BD| + |DC| = 10 \) denkleminde yerine koyalım: \( |BD| + \frac{3}{2} |BD| = 10 \).
- Denklemi çözelim: \( \frac{5}{2} |BD| = 10 \).
- \( |BD| = 10 \times \frac{2}{5} = 4 \) cm.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına ait yükseklik \( h_a \), kenarortay \( v_a \) ve açıortay \( n_a \) sırasıyla \( h_a = 6 \) cm, \( v_a = 8 \) cm ve \( n_a = 7 \) cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin BC kenarına ait alanını hesaplayınız.
Çözüm:
- Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
- Alan = \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \)
- Burada taban BC kenarıdır. Yüksekliğimiz \( h_a = 6 \) cm olarak verilmiş.
- Ancak, BC kenarının uzunluğu doğrudan verilmemiştir.
- Kenarortay ve açıortay uzunlukları, üçgenin genel şekli hakkında bilgi verse de, doğrudan alanı hesaplamak için yeterli değildir.
- Eğer BC kenarının uzunluğunu bilseydik, alanı kolayca hesaplardık.
- Soruda BC kenarının uzunluğu verilmediği için, sadece verilen yükseklik ile alanı hesaplamak mümkün değildir.
- Ancak, eğer BC kenarının uzunluğu \( a \) olsaydı, alan \( \frac{1}{2} \times a \times 6 \) olurdu.
Örnek 5:
Bir bahçıvan, bahçesindeki bir üçgen şeklindeki çiçeğin kenarlarını belirlemek için ip kullanıyor. Çiçeğin bir kenarı 12 metre uzunluğundadır. Bahçıvan, bu kenarın tam ortasına bir çit dikmek istiyor. Bu çitin, çiçeğin karşısındaki köşeye olan uzaklığı 9 metre olduğuna göre, bahçıvanın bu kenara diktiği çitin uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
- Bu problemde, üçgenin bir kenarı \( |BC| = 12 \) metre olarak verilmiştir.
- Bu kenarın orta noktası D olsun.
- Karşısındaki köşe A olarak kabul edilirse, AD doğru parçası bu kenara ait kenarortay olur.
- Soruda, bu çitin (kenarortayın) uzunluğu \( |AD| = 9 \) metre olarak verilmiştir.
- Ancak, bu soruda bizden istenen, "çitin uzunluğu" yani kenarortayın uzunluğudur.
- Soruda kenarortayın uzunluğu zaten 9 metre olarak verilmiştir.
- Eğer soru, bu kenarortayın oluşturduğu alanla ilgili olsaydı veya başka bir kenar uzunluğu istenseydi, farklı hesaplamalar gerekirdi.
Örnek 6:
Bir mimar, bir binanın çatısının üçgen şeklindeki bir bölümünün tasarımını yapıyor. Bu bölümün taban uzunluğu 20 metre ve bu tabana ait yüksekliği 15 metredir. Mimar, bu üçgen alanın kaç metrekare olduğunu hesaplayarak malzeme miktarını belirlemek istiyor.
Çözüm:
- Mimarın hesaplaması gereken alan, bir üçgenin alanıdır.
- Üçgenin alanı formülü: Alan = \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \)
- Verilenler: Taban = 20 metre, Yükseklik = 15 metre.
- Alanı hesaplayalım: Alan = \( \frac{1}{2} \times 20 \times 15 \)
- Alan = \( \frac{1}{2} \times 300 \)
- Alan = \( 150 \) metrekare.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, \( |AB| = 10 \) cm, \( |AC| = 15 \) cm ve \( |BC| = 20 \) cm'dir. A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu \( h_a \) kaç cm'dir? (İpucu: Önce üçgenin alanını Heron formülü ile hesaplayın.)
Çözüm:
- Öncelikle, üçgenin alanını Heron formülü ile hesaplayalım.
- Yarı çevre \( u = \frac{a+b+c}{2} \) formülü ile bulunur.
- Burada \( a = |BC| = 20 \), \( b = |AC| = 15 \), \( c = |AB| = 10 \) cm.
- Yarı çevre \( u = \frac{20+15+10}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \) cm.
- Heron formülü: Alan = \( \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \)
- Alan = \( \sqrt{22.5(22.5-20)(22.5-15)(22.5-10)} \)
- Alan = \( \sqrt{22.5 \times 2.5 \times 7.5 \times 12.5} \)
- Alan = \( \sqrt{5273.4375} \approx 72.6 \) cm².
- Şimdi de üçgenin alanını taban ve yükseklik cinsinden yazalım: Alan = \( \frac{1}{2} \times a \times h_a \)
- \( 72.6 \approx \frac{1}{2} \times 20 \times h_a \)
- \( 72.6 \approx 10 \times h_a \)
- \( h_a \approx \frac{72.6}{10} \approx 7.26 \) cm.
Örnek 8:
Bir bisiklet tamircisi, elindeki üçgen şeklindeki bir metal levhanın kenarlarını ölçüyor. Levhanın kenar uzunlukları 7 cm, 8 cm ve 9 cm'dir. Tamirci, 9 cm'lik kenara ait yüksekliği bilmek istiyor çünkü bu kenara bir destek parçası monte edecek. Bu yüksekliğin tam değerini bulmak için hangi yardımcı elemanı ve formülü kullanmalıdır?
Çözüm:
- Tamircinin 9 cm'lik kenara ait yüksekliği bulması gerekiyor. Bu, \( h_c \) (eğer 9 cm'lik kenar c ise) veya \( h_a \) (eğer 9 cm'lik kenar a ise) olacaktır. Soruda kenarların hangi harfle gösterildiği belirtilmediği için genel bir açıklama yapalım.
- Öncelikle, üçgenin alanını Heron formülü ile hesaplamak en uygun yoldur çünkü tüm kenar uzunlukları verilmiştir.
- Kenar uzunlukları: \( a=7 \) cm, \( b=8 \) cm, \( c=9 \) cm.
- Yarı çevre \( u = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) cm.
- Alan = \( \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \)
- Alan = \( \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} \)
- Alan = \( \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} \)
- Alan = \( \sqrt{720} \)
- Alan = \( \sqrt{144 \times 5} = 12\sqrt{5} \) cm².
- Şimdi, 9 cm'lik kenara ait yüksekliği (diyelim ki \( h_c \)) bulmak için alan formülünü kullanırız: Alan = \( \frac{1}{2} \times c \times h_c \)
- \( 12\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 9 \times h_c \)
- \( 24\sqrt{5} = 9 \times h_c \)
- \( h_c = \frac{24\sqrt{5}}{9} = \frac{8\sqrt{5}}{3} \) cm.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ucgende-yardimci-elemanlar-ve-iliskileri/sorular