💡 10. Sınıf Matematik: Üçgende Yardımcı Elemanlar Ve Bunlar Arasındaki İlişkiler Çözümlü Örnekler

• ✅ Teoremi Yazalım: \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \)
• ✅ Verilenleri Yerine Koyalım: \( \frac{8}{12} = \frac{4}{|DC|} \)
• ✅ Denklemi Çözelim: İçler dışlar çarpımı yaparak \( 8 \times |DC| = 12 \times 4 \) elde ederiz.
• ✅ Hesaplayalım: \( 8 \times |DC| = 48 \)
• ✅ Sonucu Bulalım: Her iki tarafı 8'e böldüğümüzde \( |DC| = \frac{48}{8} = 6 \) cm bulunur.

Buna göre, \( |DC| \) uzunluğu 6 cm'dir. 🎉

• ✅ Teoremi Yazalım: \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|CD|} \)
• ✅ BD Uzunluğunu İfade Edelim: D noktası, BC doğrusunun uzantısı üzerinde olduğu için \( |BD| = |BC| + |CD| \) olacaktır.
  Verilenlere göre \( |BD| = 5 + |CD| \) dir.
• ✅ Verilenleri Yerine Koyalım: \( \frac{6}{4} = \frac{5 + |CD|}{|CD|} \)
• ✅ Denklemi Sadeleştirelim: \( \frac{3}{2} = \frac{5 + |CD|}{|CD|} \)
• ✅ İçler Dışlar Çarpımı Yapalım: \( 3 \times |CD| = 2 \times (5 + |CD|) \)
• ✅ Denklemi Çözelim: \( 3|CD| = 10 + 2|CD| \)
• ✅ Sonucu Bulalım: \( 3|CD| - 2|CD| = 10 \Rightarrow |CD| = 10 \) cm bulunur.

Buna göre, \( |CD| \) uzunluğu 10 cm'dir. ✅

• ✅ AD Kenarortayı İçin:
  \( |GD| = \frac{|AD|}{3} \)
  \( |GD| = \frac{15}{3} = 5 \) cm.
• ✅ BE Kenarortayı İçin:
  \( |GE| = \frac{|BE|}{3} \)
  \( |GE| = \frac{18}{3} = 6 \) cm.
• ✅ CF Kenarortayı İçin:
  \( |GF| = \frac{|CF|}{3} \)
  \( |GF| = \frac{21}{3} = 7 \) cm.
• ✅ Uzaklıklar Toplamı:
  G noktasının D, E ve F noktalarına olan uzaklıkları toplamı: \( |GD| + |GE| + |GF| = 5 + 6 + 7 = 18 \) cm'dir.

Buna göre, uzaklıklar toplamı 18 cm'dir. ✨

• ✅ Önce AH Uzunluğunu Bulalım (ABH dik üçgeninde Pisagor):
  \( |AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 \)
  \( 13^2 = |AH|^2 + 5^2 \)
  \( 169 = |AH|^2 + 25 \)
  \( |AH|^2 = 169 - 25 = 144 \)
  \( |AH| = \sqrt{144} = 12 \) cm.
• ✅ Şimdi HC Uzunluğunu Bulalım (ACH dik üçgeninde Pisagor):
  \( |AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2 \)
  \( 15^2 = 12^2 + |HC|^2 \)
  \( 225 = 144 + |HC|^2 \)
  \( |HC|^2 = 225 - 144 = 81 \)
  \( |HC| = \sqrt{81} = 9 \) cm.
• ✅ Üçgenin Alanını Hesaplayalım:
  Üçgenin alanı \( \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2} \) formülüyle bulunur.
  Taban \( |BC| = |BH| + |HC| = 5 + 9 = 14 \) cm.
  Yükseklik \( |AH| = 12 \) cm.
  Alan \( = \frac{14 \times 12}{2} = 7 \times 12 = 84 \) cm\(^2\).

Buna göre, \( |HC| = 9 \) cm ve Alan\( (ABC) = 84 \) cm\(^2\) dir. 🤩

• ✅ AD'nin Kenarortay Olması:
  AD, BC kenarına ait yükseklik ve açıortay olduğu için aynı zamanda kenarortaydır.
  Bu durumda, D noktası BC'nin orta noktasıdır.
  Verilen \( |BD| = 6 \) cm olduğundan, \( |DC| \) de 6 cm olur.
  Dolayısıyla, \( |BC| = |BD| + |DC| = 6 + 6 = 12 \) cm'dir.
• ✅ AB ve AC Uzunluklarını Bulalım (ABD dik üçgeninde Pisagor):
  AD yüksekliği olduğu için ABD üçgeni dik üçgendir.
  \( |AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 \)
  \( |AB|^2 = 8^2 + 6^2 \)
  \( |AB|^2 = 64 + 36 = 100 \)
  \( |AB| = \sqrt{100} = 10 \) cm.
  Üçgen ikizkenar olduğu için \( |AC| = |AB| = 10 \) cm'dir.
• ✅ Üçgenin Çevresini Hesaplayalım:
  Çevre = \( |AB| + |AC| + |BC| \)
  Çevre = \( 10 + 10 + 12 = 32 \) cm.

Buna göre, üçgenin çevresi 32 cm'dir. 🥳

• ✅ Açıortayın Kollara Olan Uzaklık Özelliği:
  Bir açının açıortayı üzerindeki herhangi bir noktanın, açının kollarına (kenarlarına) olan dik uzaklıkları eşittir.
  Spot ışığı A açısının açıortayı üzerinde ve AB duvarına olan dik uzaklığı 9 metre ise, AC duvarına olan dik uzaklığı da 9 metredir.
• ✅ Spot Işığının Karşı Duvara (BC) Olan Uzaklığı (AD):
  Bu kısım, açıortay teoremi ile çözülecek. Spot ışığının A köşesinden 15 metre uzaklıkta olması ve AB=20m, AC=25m olması bilgisi var. Ancak, "spot ışığının karşı duvar (BC kenarı) üzerindeki D noktasına olan uzaklığı (AD)" ifadesi, D noktasının kenar üzerindeki konumu hakkında yeterli bilgi vermiyor. Bu, açıortay uzunluk formülüne girer ki bu 10. sınıf müfredatını aşar.
  Bu nedenle, sorunun ikinci kısmını, 10. sınıf müfredatına uygun olarak İç Açıortay Teoremi'ni kullanarak D noktasının BC'yi böldüğü orana odaklanarak yeniden değerlendirelim.
  Müfredat Sınırı Notu: Açıortayın uzunluk formülü 10. sınıf müfredatında yer almaz. Bu nedenle, soruyu D noktasının BC kenarını böldüğü oranı bulmaya yönelik olarak çözelim.
• ✅ D noktasının BC kenarını böldüğü oran (İç Açıortay Teoremi):
  Spot ışığı (Açıortay) BC kenarını D noktasında kesiyorsa:
  \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \)
  Verilenler: \( |AB| = 20 \) m, \( |AC| = 25 \) m.
  \( \frac{20}{25} = \frac{|BD|}{|DC|} \)
  Sadeleştirirsek: \( \frac{4}{5} = \frac{|BD|}{|DC|} \).
  Yani \( |BD| = 4k \) ve \( |DC| = 5k \) olacak şekilde bir \( k \) sabiti vardır.

Buna göre, spot ışığının AC duvarına olan dik uzaklığı 9 metredir.
Ve spot ışığının karşı duvarı böldüğü oran \( |BD| : |DC| = 4:5 \) dir. ✅

• ✅ Hangi Yardımcı Elemanlar Kullanılır?
  Üçgenin her üç köşesine de eşit uzaklıkta olan nokta, üçgenin kenarlarının orta dikmelerinin kesişim noktasıdır.
  İzcilerin yapması gereken, üçgen şeklindeki açıklığın her kenarının orta noktasını belirlemek ve bu orta noktalardan kenarlara dik olacak şekilde doğrular (orta dikmeler) çizmektir.
• ✅ Bu Noktanın Geometrik Adı Nedir?
  Üçgenin kenarlarına ait orta dikmelerin kesişim noktasına çevrel çemberin merkezi denir.
  Bu nokta, aynı zamanda üçgenin köşelerinden geçen çemberin (çevrel çemberin) merkezidir ve bu nedenle tüm köşelere eşit uzaklıktadır.

Buna göre, izciler orta dikmeleri kullanmalı ve bulacakları nokta çevrel çemberin merkezi olacaktır. 🌟

• ✅ A Açısının Ölçüsünü Bulalım:
  Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) dir.
  \( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \)
  \( m(\widehat{A}) + 60^\circ + 40^\circ = 180^\circ \)
  \( m(\widehat{A}) + 100^\circ = 180^\circ \)
  \( m(\widehat{A}) = 80^\circ \).
• ✅ AD Açıortay Olduğu İçin:
  AD, A açısının açıortayı olduğundan, A açısını iki eşit parçaya böler.
  \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAC}) = \frac{m(\widehat{A})}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \).
• ✅ AH Yükseklik Olduğu İçin:
  AH, BC kenarına ait yükseklik olduğundan, AH diktir BC'ye.
  Bu durumda, ABH üçgeni bir dik üçgendir ve \( m(\widehat{AHB}) = 90^\circ \).
  ABH üçgeninde iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
  \( m(\widehat{BAH}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{AHB}) = 180^\circ \)
  \( m(\widehat{BAH}) + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
  \( m(\widehat{BAH}) + 150^\circ = 180^\circ \)
  \( m(\widehat{BAH}) = 30^\circ \).
• ✅ \( m(\widehat{DAH}) \) Açısını Bulalım:
  Şekle göre (veya açıortayın yükseklik ile aynı tarafta olduğunu düşünerek), \( m(\widehat{BAD}) \) açısı \( m(\widehat{BAH}) \) ve \( m(\widehat{DAH}) \) açılarının toplamıdır.
  Yani \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{BAH}) + m(\widehat{DAH}) \).
  \( 40^\circ = 30^\circ + m(\widehat{DAH}) \)
  \( m(\widehat{DAH}) = 40^\circ - 30^\circ = 10^\circ \).

Buna göre, \( m(\widehat{DAH}) \) açısının ölçüsü 10\(^\circ\) dir. 🎯

• ✅ AD Kenarortayı İçin:
  \( |AG| = 10 \) cm verilmiş.
  \( |AD| = \frac{3}{2} \times |AG| = \frac{3}{2} \times 10 = 15 \) cm.
• ✅ BE Kenarortayı İçin:
  \( |BG| = 8 \) cm verilmiş.
  \( |BE| = \frac{3}{2} \times |BG| = \frac{3}{2} \times 8 = 12 \) cm.
• ✅ CF Kenarortayı İçin:
  \( |CG| = 12 \) cm verilmiş.
  \( |CF| = \frac{3}{2} \times |CG| = \frac{3}{2} \times 12 = 18 \) cm.
• ✅ Kenarortayların Uzunlukları Toplamı:
  Toplam = \( |AD| + |BE| + |CF| = 15 + 12 + 18 = 45 \) cm'dir.

Buna göre, üç kenarortayın uzunlukları toplamı 45 cm'dir. ✨