🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Üçgende Yardımcı Doğrular ve Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Üçgende Yardımcı Doğrular ve Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu 8 cm'dir. Bu kenarortayın indiği kenarın uzunluğu 12 cm olduğuna göre, bu kenarın orta noktasının B ve C köşelerine olan uzaklıkları toplamı kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
- Kenarortay, bir köşeden karşısındaki kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.
- Soruda verilen kenarortay, ABC üçgeninde A köşesinden çizilmiştir ve BC kenarını D noktasında ortalasın. Yani AD kenarortaydır ve uzunluğu 8 cm'dir.
- BC kenarının uzunluğu 12 cm olarak verilmiştir.
- D noktası BC kenarının orta noktası olduğu için BD = DC = \( \frac{12}{2} \) = 6 cm olur.
- Bize sorulan, bu kenarın orta noktasının (yani D noktasının) B ve C köşelerine olan uzaklıkları toplamıdır.
- Bu uzaklıklar BD ve DC'dir.
- BD + DC = 6 cm + 6 cm = 12 cm'dir.
- Dolayısıyla, bu kenarın orta noktasının B ve C köşelerine olan uzaklıkları toplamı 12 cm'dir. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, B köşesinden çizilen açıortay, AC kenarını E noktasında kesmektedir. Eğer \( \angle ABE = 30^\circ \) ve \( \angle EBC = 30^\circ \) ise, \( \angle ABC \) kaç derecedir? 📌
Çözüm:
- Açıortay, bir köşedeki açıyı iki eş parçaya bölen ışındır.
- Soruda B köşesinden çizilen BE doğru parçası bir açıortaydır.
- Bu, \( \angle ABC \) açısını iki eşit parçaya böldüğü anlamına gelir.
- Verilenlere göre, \( \angle ABE = 30^\circ \) ve \( \angle EBC = 30^\circ \) 'dir.
- \( \angle ABC \) açısı, \( \angle ABE \) ve \( \angle EBC \) açılarının toplamına eşittir.
- \( \angle ABC = \angle ABE + \angle EBC \)
- \( \angle ABC = 30^\circ + 30^\circ \)
- \( \angle ABC = 60^\circ \) olur.
- Yani, \( \angle ABC \) açısı 60 derecedir. 👉
Örnek 3:
Bir DEF üçgeninde, D köşesinden çizilen yükseklik, EF kenarını G noktasında dik kesmektedir. Eğer \( \angle DGE = 90^\circ \) ise, DG doğru parçası DEF üçgeninin nesi olarak adlandırılır? 💡
Çözüm:
- Yükseklik, bir köşeden karşısındaki kenara indirilen ve o kenara dik olan doğru parçasıdır.
- Soruda D köşesinden çizilen DG doğru parçası, EF kenarına dik olarak çizilmiştir.
- Yani, \( \angle DGE = 90^\circ \) 'dir.
- Bu tanıma uyan doğru parçasına yükseklik denir.
- DG, DEF üçgeninin D köşesine ait yüksekliğidir. ✅
Örnek 4:
Bir KLM üçgeninde, K köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu \( v_k \), L köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu \( v_l \) ve M köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu \( v_m \) olsun. Eğer \( v_k = 10 \) birim ve \( v_l = 12 \) birim ise, \( v_m \) uzunluğu hakkında ne söylenebilir? (Bu soruda doğrudan bir sayısal değer bulmak yerine, kenarortayların genel özelliklerini düşünün.) 📌
Çözüm:
- Kenarortaylar, üçgenin içinde bir noktada kesişirler. Bu kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.
- Ağırlık merkezi, kenarortayları kendi uzunluklarının 2/3'ü ve 1/3'ü oranında böler.
- Kenarortayların uzunlukları arasında belirli eşitsizlikler bulunur. Örneğin, herhangi bir kenarortayın uzunluğu, diğer iki kenarın toplamının yarısından küçüktür.
- Ancak, sadece iki kenarortayın uzunluğunu bilerek üçüncü kenarortayın uzunluğunu kesin olarak belirleyemeyiz.
- Üçüncü kenarortayın uzunluğu, üçgenin kenar uzunluklarına bağlıdır.
- Bu soruda, \( v_m \) uzunluğu için kesin bir sayısal değer verilemez. Ancak, \( v_m \) uzunluğunun, \( v_k \) ve \( v_l \) ile birlikte üçgenin kenar uzunluklarını belirleyeceği söylenebilir.
- Kenarortay uzunlukları ile ilgili daha ileri düzeydeki formüller (örn: Apollonius Teoremi) bu sınıf seviyesinde doğrudan kullanılmasa da, kenarortayların varlığı ve kesişim noktası temel bilgilerdir. 👉
Örnek 5:
Bir PQR üçgeninde, P köşesinden çizilen açıortay PR kenarını S noktasında kesmektedir. Eğer \( PS = 4 \) cm ve \( SR = 6 \) cm ise, PQ kenarının uzunluğu QR kenarının uzunluğuna oranı kaçtır? 💡
Çözüm:
- Açıortay Teoremi'ne göre, bir üçgende bir köşeden çizilen açıortay, karşı kenarı, açıortayı çizilen kenarların uzunluklarıyla orantılı olarak böler.
- Bu teorem, PQR üçgeninde P köşesinden çizilen PS açıortayı için şu şekilde ifade edilir:
- \( \frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR} \)
- Ancak soruda PR kenarı değil, açıortayın karşı kenarı olan QR kenarı üzerinde oluşan parçalar verilmiş. Bu durumda teorem şu şekilde uygulanır:
- \( \frac{PQ}{PR} \) değil, \( \frac{PQ}{QR} \) oranı soruluyor. Açıortay teoremine göre:
- \( \frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR} \) şeklinde bir ilişki vardır.
- Soruda verilenler: PS açıortay, S noktası QR kenarı üzerinde. Bu durumda teorem şu şekilde olmalıydı:
- PQR üçgeninde P'den çizilen açıortay QR'yi S'de kessin. O zaman \( \frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR} \) olur.
- Soruda verilenleri düzeltelim: Bir PQR üçgeninde, P köşesinden çizilen açıortay QR kenarını S noktasında kesmektedir. Eğer \( QS = 4 \) cm ve \( SR = 6 \) cm ise, PQ kenarının uzunluğu PR kenarının uzunluğuna oranı kaçtır?
- Açıortay Teoremi'ne göre:
- \( \frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR} \)
- \( \frac{PQ}{PR} = \frac{4}{6} \)
- \( \frac{PQ}{PR} = \frac{2}{3} \)
- Yani, PQ kenarının uzunluğu PR kenarının uzunluğuna oranı \( \frac{2}{3} \)'tür. ✅
Örnek 6:
Bir XYZ üçgeninde, Y köşesinden çizilen yükseklik, XZ kenarını K noktasında dik kesmektedir. Eğer \( \angle YKX = 90^\circ \) ve \( \angle YKZ = 90^\circ \) ise, YK doğru parçası XYZ üçgeninin nesi olarak adlandırılır? 💡
Çözüm:
- Bir köşeden karşısındaki kenara indirilen ve o kenara dik olan doğru parçasına yükseklik denir.
- Soruda Y köşesinden çizilen YK doğru parçası, XZ kenarına dik olarak çizilmiştir.
- Bu durum, \( \angle YKX = 90^\circ \) ve \( \angle YKZ = 90^\circ \) olmasıyla ifade edilmiştir.
- Dolayısıyla, YK doğru parçası, XYZ üçgeninin Y köşesine ait yüksekliğidir. 👉
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken üçgen şeklindeki bir alanı kullanacaktır. Bu alanda, bir köşeden karşı kenarın ortasına çizilen bir destek kirişi (kenarortay) bulunmaktadır. Eğer bu destek kirişinin uzunluğu 15 metre ve karşı kenarın uzunluğu 20 metre ise, bu destek kirişinin karşı kenarı kestiği noktanın, kirişin başladığı köşe ile diğer iki köşe arasındaki mesafeler hakkında ne söylenebilir? (Burada kenarortayın kendisinin uzunluğu değil, karşı kenarı böldüğü noktanın konumu önemlidir.) 📌
Çözüm:
- Soruda verilen destek kirişi, üçgenin bir köşesinden çizilen kenarortaydır.
- Kenarortay, karşı kenarı iki eşit parçaya böler.
- Destek kirişinin uzunluğu 15 metre olarak verilmiş, ancak bu bilgi, karşı kenarı böldüğü noktanın konumu için doğrudan kullanılmayacaktır.
- Karşı kenarın uzunluğu 20 metre olarak verilmiştir.
- Kenarortay, bu 20 metrelik kenarı ortadan bölecektir.
- Dolayısıyla, kenarortayın karşı kenarı kestiği noktanın, o kenarın uç noktalarına olan uzaklıkları eşit olacaktır.
- Bu uzaklıklar \( \frac{20}{2} = 10 \) metre olacaktır.
- Yani, kenarortayın indiği noktanın, o kenarın iki ucuna olan uzaklıkları 10'ar metredir. ✅
Örnek 8:
Bir parkta bulunan bir bankın, iki ağaç arasına gerilmiş ip ile oluşturduğu üçgen şeklinde bir alan düşünelim. Eğer bu ipin bir ucundan diğer ucuna çizilen ve ipin tam ortasından geçen bir çizgi (açıortay gibi düşünülebilir), bankın bulunduğu noktaya dik olarak iniyorsa, bu durum neyi ifade eder? 💡
Çözüm:
- Burada "ip" bir üçgenin bir kenarını temsil etmektedir.
- İpin bir ucundan diğer ucuna çizilen ve ipin tam ortasından geçen çizgi, o kenarın orta dikmesi (veya kenarortayı ve aynı zamanda yüksekliği) olarak düşünülebilir.
- Eğer bu çizgi bankın bulunduğu noktaya dik olarak iniyorsa, bu, bankın bulunduğu noktanın, ipin uç noktalarına olan uzaklıklarının eşit olduğunu gösterir.
- Bu durum, bankın bulunduğu noktanın, ipin uç noktalarına eşit uzaklıkta olduğunu ve dolayısıyla bu noktanın, ipin uç noktalarından geçen doğrunun orta dikmesi üzerinde yer aldığını ifade eder.
- Eğer ipin uç noktaları A ve B ise ve bankın bulunduğu nokta C ise, bu durumda AC = BC olur. Bu da C noktasının AB kenarının orta dikmesi üzerinde olduğunu gösterir. 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ucgende-yardimci-dogrular-ve-ozellikleri/sorular