🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Üçgende Trigonometrik Oranlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Üçgende Trigonometrik Oranlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik açının karşısındaki kenarın uzunluğu 13 birim ve bir dar açının komşu dik kenarının uzunluğu 5 birimdir. Bu dar açının sinüsünü bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu bir dik üçgen problemi ve trigonometrik oranları kullanacağız. 📌
- Öncelikle Pisagor teoremini kullanarak verilmeyen dik kenarı bulalım. Dik üçgende dik kenarlar a ve b, hipotenüs c olsun. \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Verilenler: Hipotenüs \( c = 13 \) birim, bir dik kenar \( a = 5 \) birim. Diğer dik kenarı (b) bulalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \).
- \( 25 + b^2 = 169 \).
- \( b^2 = 169 - 25 = 144 \).
- \( b = \sqrt{144} = 12 \) birim.
- Şimdi sinüs tanımını hatırlayalım: Bir dar açının sinüsü, karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
- Sinüs \( = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \).
- Soruda verilen dar açının karşısındaki dik kenar 12 birimdir (hesapladığımız kenar). Hipotenüs ise 13 birimdir.
- Dolayısıyla, bu açının sinüsü \( \frac{12}{13} \) olur. ✅
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. \( |AB| = 8 \) cm ve \( |AC| = 6 \) cm'dir. B açısının tanjantını hesaplayınız. 👉
Çözüm:
Dik üçgende trigonometrik oranları kullanacağız. 📐
- Önce hipotenüs uzunluğunu bulalım. Pisagor teoremi: \( |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 \).
- \( |BC|^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \).
- \( |BC| = \sqrt{100} = 10 \) cm.
- B açısının tanjantı, B açısının karşısındaki dik kenarın, B açısının komşu dik kenarına oranıdır.
- Tanjant \( B = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{|AC|} }{\text{Komşu Dik Kenar}}{|AB|} \).
- B açısının karşısındaki kenar \( |AC| = 6 \) cm'dir.
- B açısının komşu dik kenarı \( |AB| = 8 \) cm'dir.
- Dolayısıyla, Tanjant \( B = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \). ✅
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \sin A = \frac{3}{5} \) ve \( |BC| = 15 \) birimdir. Bu üçgende \( |AB| \) kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Sinüs oranını ve Pisagor teoremini bir arada kullanacağız. 💡
- Sinüs tanımına göre, \( \sin A = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{|BC|} \).
- Burada A açısı dik açı değil, bir dar açıdır. Genellikle dik üçgenlerde dik açı dışındaki açılar için trigonometrik oranlar tanımlanır. Soruda A açısı için sinüs verilmiş ve BC kenarı hipotenüs olarak belirtilmiş. Bu durumda A açısı dik açı değildir. Soruyu ABC dik üçgeninde B açısı için \( \sin B = \frac{3}{5} \) ve \( |AC| = 15 \) olarak düzenleyelim.
- Yeni Durum: Bir ABC dik üçgeninde, dik açı C'dir. \( \sin B = \frac{3}{5} \) ve \( |AC| = 15 \) birimdir. \( |AB| \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
- \( \sin B = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{|AC|} }{\text{Hipotenüs}}{|AB|} \).
- \( \frac{3}{5} = \frac{15}{|AB|} \).
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 3 \times |AB| = 5 \times 15 \).
- \( 3 \times |AB| = 75 \).
- \( |AB| = \frac{75}{3} = 25 \) birim. ✅
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \cos C = \frac{5}{13} \) ve \( |AC| = 10 \) birimdir. Bu üçgende \( |BC| \) kenarının uzunluğunu bulunuz. (Dik açı B'dir.) 📐
Çözüm:
Kosinis oranını ve Pisagor teoremini kullanacağız. 📌
- Dik üçgenimiz ABC ve dik açı B'dir.
- \( \cos C = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{|BC|} }{\text{Hipotenüs}}{|AC|} \).
- Verilenler: \( \cos C = \frac{5}{13} \) ve \( |AC| = 10 \) (hipotenüs).
- \( \frac{5}{13} = \frac{|BC|}{10} \).
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 5 \times 10 = 13 \times |BC| \).
- \( 50 = 13 \times |BC| \).
- \( |BC| = \frac{50}{13} \) birim. ✅
Örnek 5:
Bir inşaat işçisi, yerden 12 metre yükseklikteki bir noktadan, eğimi \( \frac{3}{4} \) olan bir rampa ile zemine inecektir. Rampanın zemine temas ettiği noktanın, işçinin başlangıç noktasının dikey hizasından uzaklığı kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problemde tanjant oranını kullanacağız. Bir dik üçgen hayal edelim. 💡
- Rampanın yüksekliği (dikey kenar) 12 metredir.
- Rampanın eğimi, dikey kenarın yatay kenara oranıdır. Eğim \( = \frac{\text{Yükseklik}}{\text{Yatay Uzaklık}} \).
- Soruda eğim \( \frac{3}{4} \) olarak verilmiş.
- Yani, \( \frac{12}{\text{Yatay Uzaklık}} = \frac{3}{4} \).
- Burada \( \frac{3}{4} \) eğimini kullanarak, 12 metrelik yüksekliğe karşılık gelen yatay mesafeyi bulacağız.
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 3 \times \text{Yatay Uzaklık} = 12 \times 4 \).
- \( 3 \times \text{Yatay Uzaklık} = 48 \).
- \( \text{Yatay Uzaklık} = \frac{48}{3} = 16 \) metre.
- Bu, rampanın zemine temas ettiği noktanın, işçinin başlangıç noktasının dikey hizasından uzaklığıdır. ✅
Örnek 6:
Bir fotoğrafçı, bir binanın tepesinin fotoğrafını çekmek istiyor. Fotoğraf makinesini yerden 1.5 metre yükseklikte tutuyor. Binanın tepesinden makinesine olan görsel çizginin yatayla yaptığı açı 60 derecedir. Eğer fotoğrafçının makinesinden binanın tepesine olan uzaklık 20 metre ise, binanın yüksekliği yaklaşık olarak kaç metredir? ( \( \sin 60^\circ \approx 0.866 \) ) 📸
Çözüm:
Bu problemde sinüs oranını kullanacağız. Bir dik üçgen modeli oluşturalım. 📐
- Fotoğraf makinesinin yerden yüksekliği = 1.5 metre.
- Fotoğraf makinesinden binanın tepesine olan uzaklık (hipotenüs) = 20 metre.
- Görsel çizginin yatayla yaptığı açı (60 derece) makinenin bulunduğu noktadaki dar açıdır.
- Bu açının karşısındaki dik kenar, binanın tepesinin fotoğraf makinesi hizasından yüksekliğidir.
- Sinüs tanımı: \( \sin(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \).
- \( \sin 60^\circ = \frac{\text{Tepenin Makine Hizasından Yüksekliği}}{20} \).
- \( 0.866 \approx \frac{\text{Tepenin Makine Hizasından Yüksekliği}}{20} \).
- Tepenin makine hizasından yüksekliği \( \approx 0.866 \times 20 = 17.32 \) metre.
- Binanın toplam yüksekliği, bu değer ile fotoğraf makinesinin yerden yüksekliğinin toplamıdır.
- Toplam Yükseklik \( \approx 17.32 + 1.5 = 18.82 \) metre. ✅
Örnek 7:
Bir ABC dik üçgeninde, dik açı A'dır. \( |AB| = 12 \) ve \( |AC| = 5 \) ise, B açısının kotanjantını bulunuz. 📏
Çözüm:
Kotanjant, tanjantın tersidir ve komşu dik kenarın karşı dik kenara oranıdır. 💡
- Öncelikle hipotenüs \( |BC| \) uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulalım: \( |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 \).
- \( |BC|^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \).
- \( |BC| = \sqrt{169} = 13 \) birim.
- B açısının kotanjantı, B açısının komşu dik kenarının, B açısının karşı dik kenarına oranıdır.
- Kotanjant \( B = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{|AB|} }{\text{Karşı Dik Kenar}}{|AC|} \).
- B açısının komşu dik kenarı \( |AB| = 12 \) cm'dir.
- B açısının karşı dik kenarı \( |AC| = 5 \) cm'dir.
- Dolayısıyla, Kotanjant \( B = \frac{12}{5} \). ✅
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde, dik açı C'dir. \( \tan A = \frac{7}{24} \) olduğuna göre, \( \sin B \) değerini bulunuz. 📐
Çözüm:
Tanjant oranını kullanarak kenar uzunluklarını belirleyip, sonra sinüs değerini hesaplayacağız. 📌
- Tanjant tanımına göre, \( \tan A = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{|BC|} }{\text{Komşu Dik Kenar}}{|AC|} \).
- \( \tan A = \frac{7}{24} \) ise, A açısının karşısındaki dik kenar 7 birim, komşu dik kenarı ise 24 birim olabilir.
- Yani, \( |BC| = 7k \) ve \( |AC| = 24k \) diyebiliriz (burada k bir orantı sabitidir).
- Hipotenüs \( |AB| \) uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulalım: \( |AB|^2 = |BC|^2 + |AC|^2 \).
- \( |AB|^2 = (7k)^2 + (24k)^2 = 49k^2 + 576k^2 = 625k^2 \).
- \( |AB| = \sqrt{625k^2} = 25k \).
- Şimdi \( \sin B \) değerini bulalım. B açısının karşısındaki dik kenar \( |AC| \) ve hipotenüs \( |AB| \)'dir.
- \( \sin B = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{|AC|} }{\text{Hipotenüs}}{|AB|} \).
- \( \sin B = \frac{24k}{25k} \).
- \( k \)'lar sadeleşir.
- \( \sin B = \frac{24}{25} \). ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ucgende-trigonometrik-oranlar/sorular