🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Üçgende Kenarortay Ve Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Üçgende Kenarortay Ve Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çizilen kenarortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. Eğer \( |BC| = 10 \) cm ise, \( |BD| \) kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
- Kenarortay, bir üçgenin bir köşesinden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.
- Bu tanıma göre, A köşesinden çizilen kenarortay BC kenarını ortalayacaktır.
- Yani, D noktası BC kenarının tam ortasıdır.
- Bu durumda, \( |BD| = |DC| \) olur.
- Verilen \( |BC| = 10 \) cm olduğuna göre, \( |BD| = \frac{|BC|}{2} \) olur.
- Hesaplama: \( |BD| = \frac{10}{2} = 5 \) cm.
Örnek 2:
ABC üçgeninde \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm ve \( |BC| = 10 \) cm'dir. Bu üçgende A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğunu bulalım. 📏
Çözüm:
- Bu soruyu çözmek için kenarortay uzunluğu formülünü kullanabiliriz. Bir kenarortayın uzunluğu \( v_a \) olsun, bu kenarortay a kenarına (yani BC kenarına) ait olsun. Formül şöyledir: \( v_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \), burada a, b, c kenar uzunluklarıdır.
- Bizim örneğimizde, a kenarı \( |BC| = 10 \) cm, b kenarı \( |AC| = 8 \) cm ve c kenarı \( |AB| = 6 \) cm'dir. A köşesinden çizilen kenarortay \( v_a \) olacaktır.
- Formülde yerine koyalım: \( v_a^2 = \frac{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 6^2 - 10^2}{4} \)
- Hesaplamalar: \( v_a^2 = \frac{2 \cdot 64 + 2 \cdot 36 - 100}{4} \)
- \( v_a^2 = \frac{128 + 72 - 100}{4} \)
- \( v_a^2 = \frac{200 - 100}{4} \)
- \( v_a^2 = \frac{100}{4} \)
- \( v_a^2 = 25 \)
- \( v_a = \sqrt{25} = 5 \) cm.
Örnek 3:
Bir DEF üçgeninde, D köşesinden çizilen kenarortay \( v_d \) olarak adlandırılsın. Eğer \( |EF| = 12 \) birim, \( |DE| = 8 \) birim ve \( |DF| = 10 \) birim ise, \( v_d \) kaç birimdir? 🤔
Çözüm:
- Kenarortay uzunluğu formülünü kullanacağız. D köşesinden çizilen kenarortay \( v_d \) olduğunda, bu kenarortay EF kenarına aittir. Formül: \( v_d^2 = \frac{2 \cdot |DE|^2 + 2 \cdot |DF|^2 - |EF|^2}{4} \).
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( v_d^2 = \frac{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 10^2 - 12^2}{4} \).
- Hesaplamalar: \( v_d^2 = \frac{2 \cdot 64 + 2 \cdot 100 - 144}{4} \).
- \( v_d^2 = \frac{128 + 200 - 144}{4} \).
- \( v_d^2 = \frac{328 - 144}{4} \).
- \( v_d^2 = \frac{184}{4} \).
- \( v_d^2 = 46 \).
- \( v_d = \sqrt{46} \) birim.
Örnek 4:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temel planını çizerken, bir odanın köşelerinden birinden karşı kenarın ortasına bir destek kirişi yerleştirmesi gerektiğini fark eder. Odanın kenar uzunlukları 7 metre ve 9 metre olup, bu iki kenarın birleştiği köşe ile karşı kenarın orta noktası arasındaki mesafe 6 metre olarak hesaplanmıştır. Bu iki kenarın uzunlukları 7 metre ve 9 metre ise, bu köşeden çizilen kenarortayın uzunluğu kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
- Bu problemde, bir üçgenin iki kenarı ve bu kenarların arasındaki açının karşısındaki kenara ait kenarortay uzunluğu verilmiştir. Ancak, soruda verilen "bu köşeden çizilen kenarortayın uzunluğu" ifadesi, aslında sorunun kurgusunda bir yanıltmaca içermektedir. Mühendislik bağlamında, kenarortay, bir köşeden karşı kenarın ortasına çizilen doğrudur.
- Soruda verilen "Bu iki kenarın uzunlukları 7 metre ve 9 metre ise, bu köşeden çizilen kenarortayın uzunluğu kaç metredir?" ifadesi, aslında bu iki kenarın oluşturduğu köşe ile o köşeye ait kenarortayın uzunluğunu sormaktadır.
- Ancak, sorunun devamında verilen "karşı kenarın orta noktası arasındaki mesafe 6 metre olarak hesaplanmıştır" bilgisi, aslında kenarortayın uzunluğudur.
- Dolayısıyla, sorunun cevabı doğrudan verilmiştir.
Örnek 5:
Bir futbol sahasında, orta saha oyuncusu topu takım arkadaşına pas atmak istiyor. Oyuncu, sahanın tam ortasında duruyor ve pası atacağı arkadaşı, sahanın uzun kenarının orta noktasında bulunuyor. Eğer sahanın uzun kenarı 100 metre ve kısa kenarı 60 metre ise, orta saha oyuncusunun arkadaşına attığı pasın uzunluğu kaç metredir? ⚽
Çözüm:
- Bu durumu bir dikdörtgen olarak düşünebiliriz.
- Dikdörtgenin köşeleri A, B, C, D olsun. Uzun kenar \( |AB| = |CD| = 100 \) m ve kısa kenar \( |BC| = |DA| = 60 \) m olsun.
- Orta saha oyuncusu, dikdörtgenin merkezinde (kesişim noktası) duruyor.
- Pas atacağı arkadaşı, uzun kenarın (örneğin AB kenarının) orta noktasında bulunuyor.
- Bu durumda, orta saha oyuncusunun konumu ile AB kenarının orta noktası arasındaki mesafeyi bulmalıyız.
- Dikdörtgenin merkezi, köşegenlerin kesişim noktasıdır ve aynı zamanda kenarların orta noktalarına olan mesafeleri de simetriktir.
- Dikdörtgenin merkezinden kısa kenarın orta noktasına olan uzaklık \( \frac{60}{2} = 30 \) metredir.
- Dikdörtgenin merkezinden uzun kenarın orta noktasına olan uzaklık \( \frac{100}{2} = 50 \) metredir.
- Ancak, soruda orta saha oyuncusunun arkadaşı "uzun kenarın orta noktasında" bulunuyor. Bu durumda, orta saha oyuncusunun konumu ile uzun kenarın orta noktası arasındaki mesafe, aslında kısa kenarın yarısı kadardır.
- Yani, pasın uzunluğu \( \frac{60}{2} = 30 \) metredir.
Örnek 6:
Bir GHI üçgeninde G kenarortayı \( v_g \), H kenarortayı \( v_h \) ve I kenarortayı \( v_i \) olarak verilmiştir. Eğer \( |GH| = 7 \) cm, \( |HI| = 8 \) cm ve \( |IG| = 9 \) cm ise, \( v_g^2 + v_h^2 + v_i^2 \) toplamının değeri kaçtır? 🧮
Çözüm:
- Öncelikle her bir kenarortayın uzunluğunun karesini bulmalıyız.
- \( v_g \) kenarortayının karesi (I kenarına ait): \( v_g^2 = \frac{2 \cdot |GH|^2 + 2 \cdot |IG|^2 - |HI|^2}{4} \)
- \( v_g^2 = \frac{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - 8^2}{4} = \frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - 64}{4} = \frac{98 + 162 - 64}{4} = \frac{260 - 64}{4} = \frac{196}{4} = 49 \)
- \( v_h \) kenarortayının karesi (G kenarına ait): \( v_h^2 = \frac{2 \cdot |GH|^2 + 2 \cdot |HI|^2 - |IG|^2}{4} \)
- \( v_h^2 = \frac{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 8^2 - 9^2}{4} = \frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 64 - 81}{4} = \frac{98 + 128 - 81}{4} = \frac{226 - 81}{4} = \frac{145}{4} \)
- \( v_i \) kenarortayının karesi (H kenarına ait): \( v_i^2 = \frac{2 \cdot |HI|^2 + 2 \cdot |IG|^2 - |GH|^2}{4} \)
- \( v_i^2 = \frac{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 9^2 - 7^2}{4} = \frac{2 \cdot 64 + 2 \cdot 81 - 49}{4} = \frac{128 + 162 - 49}{4} = \frac{290 - 49}{4} = \frac{241}{4} \)
- Şimdi bu kareleri toplayalım: \( v_g^2 + v_h^2 + v_i^2 = 49 + \frac{145}{4} + \frac{241}{4} \)
- \( 49 = \frac{196}{4} \)
- \( v_g^2 + v_h^2 + v_i^2 = \frac{196}{4} + \frac{145}{4} + \frac{241}{4} = \frac{196 + 145 + 241}{4} = \frac{582}{4} \)
- \( \frac{582}{4} = \frac{291}{2} \)
Örnek 7:
Bir JKL üçgeninde, J köşesinden çizilen kenarortay JL kenarını M noktasında kesmektedir. Eğer \( |JL| = 14 \) birim ise, \( |JM| \) kaç birimdir? 📍
Çözüm:
- Kenarortay, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.
- Bu durumda, J köşesinden çizilen kenarortay JL kenarını ortalayacaktır.
- Yani, M noktası JL kenarının tam ortasıdır.
- Bu nedenle, \( |JM| = |ML| \) olur.
- Verilen \( |JL| = 14 \) birim olduğuna göre, \( |JM| = \frac{|JL|}{2} \) olur.
- Hesaplama: \( |JM| = \frac{14}{2} = 7 \) birim.
Örnek 8:
Bir MNP üçgeninde M köşesinden çizilen kenarortay \( v_m \), NP kenarını K noktasında kesmektedir. Eğer \( |MN| = 5 \) cm, \( |MP| = 7 \) cm ve \( |NP| = 6 \) cm ise, \( v_m \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
- Kenarortay uzunluğu formülünü kullanacağız. M köşesinden çizilen kenarortay \( v_m \) olduğunda, bu kenarortay NP kenarına aittir. Formül: \( v_m^2 = \frac{2 \cdot |MN|^2 + 2 \cdot |MP|^2 - |NP|^2}{4} \).
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( v_m^2 = \frac{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 7^2 - 6^2}{4} \).
- Hesaplamalar: \( v_m^2 = \frac{2 \cdot 25 + 2 \cdot 49 - 36}{4} \).
- \( v_m^2 = \frac{50 + 98 - 36}{4} \).
- \( v_m^2 = \frac{148 - 36}{4} \).
- \( v_m^2 = \frac{112}{4} \).
- \( v_m^2 = 28 \).
- \( v_m = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \) cm.
Örnek 9:
Bir mimar, bir köprünün tasarımında, iki destek ayağı arasındaki mesafenin tam ortasına bir bağlantı elemanı yerleştirmesi gerektiğini hesaplıyor. Bu iki destek ayağının konumu, bir üçgenin iki kenarını oluşturuyor ve üçüncü kenar, bu iki ayağın arasındaki mesafeyi temsil ediyor. Eğer iki destek ayağının arasındaki mesafeler sırasıyla 12 metre ve 15 metre ise ve bu iki ayağın birleştiği noktadan, aralarındaki mesafenin tam ortasına çizilen çizginin uzunluğu 8 metre ise, bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu kaç metredir? 🌉
Çözüm:
- Bu problemde, bir üçgenin iki kenarı \( b = 15 \) m ve \( c = 12 \) m olarak verilmiş.
- Bu iki kenarın oluşturduğu köşeden, karşı kenara (üçüncü kenar, a) ait kenarortayın uzunluğu \( v_a = 8 \) m olarak verilmiş.
- Kenarortay uzunluğu formülünü kullanacağız: \( v_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \).
- Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( 8^2 = \frac{2 \cdot 15^2 + 2 \cdot 12^2 - a^2}{4} \).
- Hesaplamalar: \( 64 = \frac{2 \cdot 225 + 2 \cdot 144 - a^2}{4} \).
- \( 64 = \frac{450 + 288 - a^2}{4} \).
- \( 64 = \frac{738 - a^2}{4} \).
- Her iki tarafı 4 ile çarpalım: \( 64 \cdot 4 = 738 - a^2 \).
- \( 256 = 738 - a^2 \).
- \( a^2 = 738 - 256 \).
- \( a^2 = 482 \).
- \( a = \sqrt{482} \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ucgende-kenarortay-ve-ozellikleri/sorular