🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Üçgende Alan Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Üçgende Alan Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarının uzunluğu 10 birim ve bu kenara ait yükseklik 6 birimdir.
Bu üçgenin alanını hesaplayınız. 📐
Bu üçgenin alanını hesaplayınız. 📐
Çözüm:
Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. İşte adımlar:
- 1. Adım: Formülü Hatırla 💡
Üçgenin alanı \( A = \frac{taban \times yükseklik}{2} \) formülüyle bulunur. - 2. Adım: Verilenleri Yerine Koy 👇
Taban uzunluğu (BC) = 10 birim
Yükseklik = 6 birim
Bu değerleri formülde yerine yazalım: \[ A = \frac{10 \times 6}{2} \] - 3. Adım: Hesaplamayı Yap ✅
\[ A = \frac{60}{2} \] \[ A = 30 \] Sonuç olarak, üçgenin alanı 30 birimkaredir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarının uzunluğu 8 birim, AC kenarının uzunluğu 12 birimdir ve bu iki kenar arasındaki A açısının ölçüsü \( 30^\circ \) dir.
Bu üçgenin alanını sinüs alan formülüyle bulunuz. 📏
Bu üçgenin alanını sinüs alan formülüyle bulunuz. 📏
Çözüm:
İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü bilindiğinde alan hesaplamak için sinüs alan formülü kullanılır.
- 1. Adım: Sinüs Alan Formülünü Tanı 📌
Üçgenin alanı \( A = \frac{1}{2} ab \sin C \) formülüyle bulunur. Burada a ve b kenar uzunlukları, C ise bu kenarlar arasındaki açıdır. - 2. Adım: Verilenleri Belirle 👇
AB kenarı (c) = 8 birim
AC kenarı (b) = 12 birim
A açısı = \( 30^\circ \)
Bizim formülümüz için \( A = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\text{A açısı}) \) olacaktır. - 3. Adım: Hesaplamayı Yap ➕
\( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
\[ A = \frac{1}{2} \times 8 \times 12 \times \sin(30^\circ) \] \[ A = \frac{1}{2} \times 8 \times 12 \times \frac{1}{2} \] \[ A = \frac{96}{4} \] \[ A = 24 \] Bu üçgenin alanı 24 birimkaredir. ✅
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a = 5 birim, b = 6 birim ve c = 7 birimdir.
Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı \( r = \frac{2\sqrt{6}}{3} \) birimdir.
Üçgenin alanını iç teğet çember yarıçapı kullanarak hesaplayınız. 🌀
Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı \( r = \frac{2\sqrt{6}}{3} \) birimdir.
Üçgenin alanını iç teğet çember yarıçapı kullanarak hesaplayınız. 🌀
Çözüm:
Bir üçgenin alanı, yarı çevresi ile iç teğet çemberinin yarıçapının çarpımına eşittir.
- 1. Adım: Yarı Çevreyi (u) Bul 🔍
Üçgenin çevresi \( Ç = a + b + c \).
Yarı çevre \( u = \frac{Ç}{2} \).
\[ Ç = 5 + 6 + 7 = 18 \] \[ u = \frac{18}{2} = 9 \] Yarı çevre 9 birimdir. - 2. Adım: Alan Formülünü Uygula 💡
İç teğet çember yarıçapı ile alan formülü \( A = u \times r \) şeklindedir. - 3. Adım: Hesaplamayı Gerçekleştir ✅
\[ A = 9 \times \frac{2\sqrt{6}}{3} \] \[ A = \frac{18\sqrt{6}}{3} \] \[ A = 6\sqrt{6} \] Üçgenin alanı \( 6\sqrt{6} \) birimkaredir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, D noktası BC kenarı üzerindedir.
BD uzunluğu 4 birim ve DC uzunluğu 6 birimdir.
Eğer Alan(ABD) = 16 birimkare ise, Alan(ADC) kaç birimkaredir? 🤔
BD uzunluğu 4 birim ve DC uzunluğu 6 birimdir.
Eğer Alan(ABD) = 16 birimkare ise, Alan(ADC) kaç birimkaredir? 🤔
Çözüm:
Aynı yüksekliğe sahip üçgenlerin alanları oranı, tabanları oranına eşittir.
- 1. Adım: Yüksekliği Anla ⛰️
ABD ve ADC üçgenlerinin A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklikleri (h) aynıdır. - 2. Adım: Alan Oranını Kur ⚖️
Alanlar oranı, tabanlar oranına eşittir:
\[ \frac{\text{Alan(ABD)}}{\text{Alan(ADC)}} = \frac{BD}{DC} \] - 3. Adım: Verilenleri Yerine Koy ve Hesapla ➕
\[ \frac{16}{\text{Alan(ADC)}} = \frac{4}{6} \] Denklemi çözerek Alan(ADC)'yi bulalım:
\( 4 \times \text{Alan(ADC)} = 16 \times 6 \)
\( 4 \times \text{Alan(ADC)} = 96 \)
\[ \text{Alan(ADC)} = \frac{96}{4} \] \[ \text{Alan(ADC)} = 24 \] Alan(ADC) 24 birimkaredir. ✅
Örnek 5:
Ayşe, bahçesindeki üçgen şeklindeki bir alanı çitlerle çevirmek istiyor. Bu alan, bir dik üçgen şeklinde olup dik kenarlarından biri 15 metre, diğeri 20 metredir. Ancak bu alanın bir kısmına sebze ekmek için küçük bir üçgen parsel ayırmıştır. Bu küçük parsel, büyük üçgenin hipotenüsü üzerinde bir noktadan, dik açının olduğu köşeye çizilen bir doğru ile oluşmuştur ve büyük üçgenin alanının \( \frac{1}{3} \)'ü kadardır.
Sebze ekilecek küçük üçgen parselin alanı kaç metrekaredir? 🥕
Sebze ekilecek küçük üçgen parselin alanı kaç metrekaredir? 🥕
Çözüm:
Bu problemde önce büyük dik üçgenin alanını bulup, sonra küçük parselin alanını hesaplayacağız.
- 1. Adım: Büyük Dik Üçgenin Alanını Bul 📐
Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
\[ A_{büyük} = \frac{dik kenar_1 \times dik kenar_2}{2} \] \[ A_{büyük} = \frac{15 \times 20}{2} \] \[ A_{büyük} = \frac{300}{2} \] \[ A_{büyük} = 150 \] Büyük üçgenin alanı 150 metrekaredir. - 2. Adım: Küçük Parselin Alanını Hesapla 🌱
Küçük parselin alanı, büyük üçgenin alanının \( \frac{1}{3} \) 'ü kadardır.
\[ A_{küçük} = A_{büyük} \times \frac{1}{3} \] \[ A_{küçük} = 150 \times \frac{1}{3} \] \[ A_{küçük} = 50 \] Sebze ekilecek küçük üçgen parselin alanı 50 metrekaredir. ✅
Örnek 6:
Bir müteahhit, şehir merkezinde üçgen şeklinde bir arsa satın almıştır. Bu arsanın bir kenarı caddeye bakmakta olup uzunluğu 40 metredir. Caddeye bakan kenara, arsanın en yüksek noktasından (köşesinden) indirilen dikme (yükseklik) 25 metredir.
Bu arsanın toplam alanı kaç metrekaredir? Bu arsaya metrekare fiyatı 3000 TL olan daireler yapılacaktır. Arsanın toplam değeri nedir? 🏢
Bu arsanın toplam alanı kaç metrekaredir? Bu arsaya metrekare fiyatı 3000 TL olan daireler yapılacaktır. Arsanın toplam değeri nedir? 🏢
Çözüm:
Arsanın alanını hesaplamak için temel üçgen alan formülünü kullanacağız ve ardından metrekare fiyatı ile toplam değeri bulacağız.
- 1. Adım: Arsa Alanını Hesapla 🏗️
Üçgenin alanı \( A = \frac{taban \times yükseklik}{2} \) formülüyle bulunur.
Taban = 40 metre
Yükseklik = 25 metre
\[ A = \frac{40 \times 25}{2} \] \[ A = \frac{1000}{2} \] \[ A = 500 \] Arsanın toplam alanı 500 metrekaredir. - 2. Adım: Arsanın Toplam Değerini Bul 💰
Metrekare fiyatı 3000 TL olduğuna göre, toplam değeri bulmak için alanı metrekare fiyatıyla çarpalım.
Toplam Değer = Alan \( \times \) Metrekare Fiyatı
Toplam Değer = \( 500 \times 3000 \)
Toplam Değer = \( 1.500.000 \) TL
Arsanın toplam değeri 1.500.000 TL'dir. ✅
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, AD kenarortaydır (D noktası BC üzerindedir).
Eğer Alan(ABD) = 28 birimkare ise, Alan(ABC) kaç birimkaredir? ✂️
Eğer Alan(ABD) = 28 birimkare ise, Alan(ABC) kaç birimkaredir? ✂️
Çözüm:
Bir üçgende kenarortay, üçgenin alanını iki eşit parçaya böler.
- 1. Adım: Kenarortayın Özelliğini Hatırla 💡
AD kenarortay olduğu için, D noktası BC kenarının orta noktasıdır. Bu durumda BD = DC olur. Ayrıca, A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik hem ABD üçgeninin hem de ADC üçgeninin ortak yüksekliğidir. - 2. Adım: Alan İlişkisini Kur 🔗
Tabanları eşit ve yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları da eşittir.
Bu yüzden, Alan(ABD) = Alan(ADC) olur. - 3. Adım: Toplam Alanı Hesapla ➕
Alan(ABC) = Alan(ABD) + Alan(ADC)
Alan(ABC) = 28 + 28
\[ \text{Alan(ABC)} = 56 \] Alan(ABC) 56 birimkaredir. ✅
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, B köşesinden AC kenarına indirilen yükseklik 9 birimdir ve AC kenarının uzunluğu 10 birimdir.
Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı \( R = \frac{25}{6} \) birimdir.
AB kenarının uzunluğu (c) ve BC kenarının uzunluğu (a) kaç birimdir? (İpucu: Önce alanı bulun, sonra çevrel çember formülünü kullanın.) 🌐
Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı \( R = \frac{25}{6} \) birimdir.
AB kenarının uzunluğu (c) ve BC kenarının uzunluğu (a) kaç birimdir? (İpucu: Önce alanı bulun, sonra çevrel çember formülünü kullanın.) 🌐
Çözüm:
Bu problemde önce üçgenin alanını temel formülle bulup, ardından çevrel çemberin yarıçapı formülünü kullanarak kenar uzunlukları çarpımını bulacağız.
- 1. Adım: Üçgenin Alanını Bul 📐
Verilenler: Taban AC = 10 birim, bu tabana ait yükseklik \( h_b = 9 \) birim.
\[ A = \frac{AC \times h_b}{2} \] \[ A = \frac{10 \times 9}{2} \] \[ A = \frac{90}{2} \] \[ A = 45 \] Üçgenin alanı 45 birimkaredir. - 2. Adım: Çevrel Çember Alan Formülünü Kullan 🔄
Üçgenin alanı, kenar uzunlukları çarpımı ile çevrel çember yarıçapı arasında şöyle bir ilişki vardır: \( A = \frac{abc}{4R} \).
Burada a, b, c kenar uzunlukları ve R çevrel çember yarıçapıdır.
Bizim durumumuzda \( b = AC = 10 \), \( R = \frac{25}{6} \) ve \( A = 45 \).
Formülde yerine yazalım:
\[ 45 = \frac{a \times 10 \times c}{4 \times \frac{25}{6}} \] \[ 45 = \frac{10ac}{\frac{100}{6}} \] \[ 45 = \frac{10ac \times 6}{100} \] \[ 45 = \frac{60ac}{100} \] \[ 45 = \frac{3ac}{5} \] - 3. Adım: \( ac \) Çarpımını Bul ✖️
Denklemi çözerek \( ac \) çarpımını bulalım:
\( 45 \times 5 = 3ac \)
\( 225 = 3ac \)
\[ ac = \frac{225}{3} \] \[ ac = 75 \] AB kenarının uzunluğu (c) ile BC kenarının uzunluğunun (a) çarpımı 75 birimkaredir. (Soruda direkt kenar uzunlukları sorulmuş ancak verilen bilgilerle sadece çarpımını bulabiliriz, tek tek bulmak için ek bilgi (örneğin bir açı) gerekirdi. 10. sınıf müfredatında bu tür sorularda genellikle çarpım istenir.) ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ucgende-alan/sorular