💡 10. Sınıf Matematik: Türevden türetilen denklemler ve eşitsizlikler Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için öncelikle fonksiyonun türevini almalıyız. Türev, bir fonksiyonun değişim oranını verir.

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Alma
  Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) . Türevini alırken kuvveti öne çarpan olarak getirir ve kuvveti bir azaltırız. Sabit sayının türevi ise sıfırdır.
  \( f'(x) = 2x - 4 \)
• Adım 2: Türevi Sıfıra Eşitleme
  Türevin sıfır olduğu noktaları bulmak için \( f'(x) = 0 \) denklemini kurarız.
  \( 2x - 4 = 0 \)
• Adım 3: x Değerini Bulma
  Denklemi çözerek x değerini buluruz.
  \( 2x = 4 \)
  \( x = 2 \)

Sonuç olarak, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu nokta \( x = 2 \) 'dir. Bu nokta, fonksiyonun yerel minimum veya maksimum noktası olabilir. 💡

Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için, fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıkları araştırmalıyız.

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Alma
  Verilen fonksiyon: \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5 \)
  Türevini alalım:
  \( f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 \)
• Adım 2: Türevi Sıfıra Eşitleyerek Kökleri Bulma
  Artan veya azalan olduğu sınır noktalarını bulmak için türevi sıfıra eşitleriz.
  \( 6x^2 - 18x + 12 = 0 \)
  Denklemi sadeleştirmek için her terimi 6'ya bölelim:
  \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:
  \( (x - 1)(x - 2) = 0 \)
  Köklerimiz \( x = 1 \) ve \( x = 2 \) 'dir.
• Adım 3: İşaret Tablosu Oluşturma
  Bulduğumuz kökler sayı doğrusunu üç bölgeye ayırır: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 2) \) ve \( (2, \infty) \) . Bu bölgelerde türevin işaretini inceleyelim.
  \( x < 1 \) için (örneğin \( x=0 \) ): \( f'(0) = 6(0)^2 - 18(0) + 12 = 12 > 0 \) (Artan)
  \( 1 < x < 2 \) için (örneğin \( x=1.5 \) ): \( f'(1.5) = 6(1.5)^2 - 18(1.5) + 12 = 6(2.25) - 27 + 12 = 13.5 - 27 + 12 = -1.5 < 0 \) (Azalan)
  \( x > 2 \) için (örneğin \( x=3 \) ): \( f'(3) = 6(3)^2 - 18(3) + 12 = 6(9) - 54 + 12 = 54 - 54 + 12 = 12 > 0 \) (Artan)

Sonuç olarak, \( f(x) \) fonksiyonu \( (-\infty, 1) \) ve \( (2, \infty) \) aralıklarında artandır. ✅

Hareketlinin hızını bulmak için yol fonksiyonunun zamana göre türevini almalıyız. Hız, yolun değişim oranıdır.

• Adım 1: Hız Fonksiyonunu Bulma
  Yol fonksiyonu: \( s(t) = t^3 - 6t^2 + 5t \)
  Hız fonksiyonu \( v(t) = s'(t) \) 'dir.
  \( v(t) = 3t^2 - 12t + 5 \)
• Adım 2: Hızın Pozitif Olduğu Aralığı Bulma
  Hızın pozitif olduğu zaman aralığını bulmak için \( v(t) > 0 \) eşitsizliğini çözmeliyiz.
  \( 3t^2 - 12t + 5 > 0 \)
• Adım 3: İkinci Dereceden Eşitsizliği Çözme
  Öncelikle \( 3t^2 - 12t + 5 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım. Diskriminant formülünü kullanalım: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
  Burada \( a=3 \), \( b=-12 \), \( c=5 \) .
  \( \Delta = (-12)^2 - 4(3)(5) = 144 - 60 = 84 \)
  Kökler: \( t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
  \( t_1 = \frac{12 - \sqrt{84}}{6} = \frac{12 - 2\sqrt{21}}{6} = 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \)
  \( t_2 = \frac{12 + \sqrt{84}}{6} = \frac{12 + 2\sqrt{21}}{6} = 2 + \frac{\sqrt{21}}{3} \)
  \( \sqrt{21} \) yaklaşık olarak 4.58'dir. Bu durumda kökler yaklaşık olarak:
  \( t_1 \approx 2 - \frac{4.58}{3} \approx 2 - 1.53 \approx 0.47 \)
  \( t_2 \approx 2 + \frac{4.58}{3} \approx 2 + 1.53 \approx 3.53 \)
  Parabolümüz yukarı doğru açıldığı için \( 3t^2 - 12t + 5 > 0 \) eşitsizliği köklerin dışındaki aralıklarda sağlanır.
  Yani, \( t < 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \) ve \( t > 2 + \frac{\sqrt{21}}{3} \) olduğunda hız pozitiftir. Zaman negatif olamayacağı için \( t \ge 0 \) 'dır.

Sonuç olarak, hareketlinin hızı \( [0, 2 - \frac{\sqrt{21}}{3}) \) ve \( (2 + \frac{\sqrt{21}}{3}, \infty) \) zaman aralıklarında pozitiftir. 🚀

Birim başına maliyetin azalması, toplam maliyet fonksiyonunun türevinin negatif olduğu aralıklara karşılık gelir.

• Adım 1: Toplam Maliyet Fonksiyonunun Türevini Alma
  Toplam maliyet fonksiyonu: \( M(x) = x^3 - 60x^2 + 1500x + 5000 \)
  Türevini alalım:
  \( M'(x) = 3x^2 - 120x + 1500 \)
• Adım 2: Maliyetin Azaldığı Aralığı Bulma
  Maliyetin azaldığı aralıkları bulmak için \( M'(x) < 0 \) eşitsizliğini çözmeliyiz.
  \( 3x^2 - 120x + 1500 < 0 \)
• Adım 3: İkinci Dereceden Eşitsizliği Çözme
  Öncelikle \( 3x^2 - 120x + 1500 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım. Denklemi sadeleştirmek için her terimi 3'e bölelim:
  \( x^2 - 40x + 500 = 0 \)
  Diskriminantı hesaplayalım: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
  Burada \( a=1 \), \( b=-40 \), \( c=500 \) .
  \( \Delta = (-40)^2 - 4(1)(500) = 1600 - 2000 = -400 \)
  Diskriminant negatif olduğundan ( \( \Delta < 0 \) ) ve \( x^2 \) 'nin katsayısı pozitif olduğundan ( \( a=1 > 0 \) ), \( x^2 - 40x + 500 \) ifadesi her zaman pozitiftir. Bu da \( M'(x) = 3(x^2 - 40x + 500) \) ifadesinin de her zaman pozitif olacağı anlamına gelir.

Bu durumda, \( M'(x) \) fonksiyonu hiçbir zaman negatif olmaz. Bu, toplam maliyet fonksiyonunun hiçbir zaman azalmadığı anlamına gelir. İnşaat firmasının üretim miktarı arttıkça maliyeti sürekli artmaktadır. 📈

Yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu ve işaret değiştirdiği noktalardır.

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Alma
  Fonksiyon: \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)
  Türevi: \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)
• Adım 2: Türevi Sıfıra Eşitleme
  Ekstremum noktalarını bulmak için \( f'(x) = 0 \) denklemini çözeriz.
  \( 3x^2 - 3 = 0 \)
  \( 3x^2 = 3 \)
  \( x^2 = 1 \)
  \( x = 1 \) ve \( x = -1 \)
• Adım 3: İşaret Tablosu ile Ekstremumları Belirleme
  Bulduğumuz kökler \( x = -1 \) ve \( x = 1 \) . Bu noktalarda türevin işaretini inceleyelim.
  \( x < -1 \) için (örneğin \( x=-2 \) ): \( f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \) (Artan)
  \( -1 < x < 1 \) için (örneğin \( x=0 \) ): \( f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \) (Azalan)
  \( x > 1 \) için (örneğin \( x=2 \) ): \( f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \) (Artan)
• Adım 4: Ekstremum Noktalarının Koordinatlarını Hesaplama
  \( x = -1 \) 'de türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum vardır.
  \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \) Yerel maksimum noktası: \( (-1, 3) \)
  \( x = 1 \) 'de türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum vardır.
  \( f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \) Yerel minimum noktası: \( (1, -1) \)

Fonksiyonun yerel maksimum noktası \( (-1, 3) \) ve yerel minimum noktası \( (1, -1) \) 'dir. 🌟

Bu soruda, fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralığı bulmamız gerekiyor.

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Alma
  Fonksiyonumuz \( f(x) = 5x - 7 \) . Bu doğrusal fonksiyonun türevi, eğimine eşittir.
  \( f'(x) = 5 \)
• Adım 2: Türevin Sıfırdan Büyük Olma Durumunu İnceleme
  Türevimiz sabit bir sayı olan 5'tir. \( f'(x) = 5 \) ifadesi her zaman 0'dan büyüktür.

Bu nedenle, \( f(x) = 5x - 7 \) fonksiyonunun türevi her zaman pozitiftir. Yani, fonksiyon tüm reel sayılarda artandır. ➕

Fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralığı bulmak için, türevin işaretini incelemeliyiz.

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Alma
  Fonksiyon: \( f(x) = x^2 - 6x + 9 \)
  Türevi: \( f'(x) = 2x - 6 \)
• Adım 2: Türevin Sıfırdan Küçük Olma Durumunu İnceleme
  Türevin negatif olduğu aralığı bulmak için \( f'(x) < 0 \) eşitsizliğini çözmeliyiz.
  \( 2x - 6 < 0 \)
• Adım 3: Eşitsizliği Çözme
  Eşitsizliği x'e göre çözelim:
  \( 2x < 6 \)
  \( x < 3 \)

Sonuç olarak, \( f(x) = x^2 - 6x + 9 \) fonksiyonunun türevi \( x < 3 \) aralığında negatiftir. Bu, fonksiyonun \( (-\infty, 3) \) aralığında azalan olduğu anlamına gelir. 👇

Marjinal maliyet, toplam maliyet fonksiyonunun türevidir. Marjinal maliyetin pozitif olduğu üretim miktarlarını bulmak için türevi incelemeliyiz.

• Adım 1: Marjinal Maliyet Fonksiyonunu Bulma
  Maliyet fonksiyonu: \( C(q) = 0.1q^3 - 3q^2 + 30q + 100 \)
  Marjinal maliyet \( MC(q) = C'(q) \) 'dir.
  \( MC(q) = 0.3q^2 - 6q + 30 \)
• Adım 2: Marjinal Maliyetin Pozitif Olduğu Aralığı Bulma
  Marjinal maliyetin pozitif olduğu üretim miktarlarını bulmak için \( MC(q) > 0 \) eşitsizliğini çözmeliyiz.
  \( 0.3q^2 - 6q + 30 > 0 \)
• Adım 3: İkinci Dereceden Eşitsizliği Çözme
  Öncelikle \( 0.3q^2 - 6q + 30 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım. Denklemi sadeleştirmek için her terimi 0.3'e bölelim (veya 10 ile çarpıp 3'e bölelim):
  \( q^2 - 20q + 100 = 0 \)
  Bu denklem tam kare ifadedir: \( (q - 10)^2 = 0 \)
  Buradan tek bir kök elde ederiz: \( q = 10 \)
  Parabolümüzün kolları yukarı doğru açıldığı için ( \( q^2 \) 'nin katsayısı pozitif) ve tek bir kökü olduğu için, \( (q - 10)^2 \) ifadesi \( q=10 \) dışındaki tüm reel sayılar için pozitiftir.

Bu nedenle, marjinal maliyet \( q=10 \) dışında her zaman pozitiftir. Üretim miktarı negatif olamayacağı için, marjinal maliyet \( q \in [0, 10) \) ve \( q \in (10, \infty) \) aralıklarında pozitiftir. 💡