💡 10. Sınıf Matematik: Tümü Çözümlü Örnekler

Bu soru, permütasyon konusunun temel bir örneğidir. Farklı nesnelerin sıralanması durumlarında faktöriyel kullanılır.

• 👉 Elimizde 5 farklı kitap var.
• 👉 Birinci sıra için 5 farklı kitap seçeneği vardır.
• 👉 İkinci sıra için kalan 4 farklı kitap seçeneği vardır.
• 👉 Üçüncü sıra için kalan 3 farklı kitap seçeneği vardır.
• 👉 Dördüncü sıra için kalan 2 farklı kitap seçeneği vardır.
• 👉 Beşinci sıra için kalan 1 farklı kitap seçeneği vardır.
• ✅ Bu durumda, kitapların sıralanma sayısı faktöriyel ile hesaplanır:

📚 Yani, 5 farklı kitap bir rafa 120 farklı şekilde sıralanabilir.

Bu soru, bileşke fonksiyon kavramını test etmektedir. \( (f \circ g)(x) \) ifadesi \( f(g(x)) \) anlamına gelir.

• 📌 İlk olarak, \( g(x) \) fonksiyonunu \( f(x) \) fonksiyonunun içine yerleştirmeliyiz.
• 👉 \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) gördüğümüz yere \( g(x) \) ifadesini yazıyoruz.
• \( f(g(x)) = 2(g(x)) - 3 \)
• ✅ Şimdi \( g(x) = x^2 + 1 \) değerini yerine koyalım:

🧩 Böylece, \( (f \circ g)(x) \) ifadesi \( 2x^2 - 1 \) olarak bulunur.

Bu problemde polinomlarda kalan teoremini kullanacağız. Bir \( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan \( P(k) \)'ye eşittir.

• 💡 Polinomun \( x - 2 \) ile bölümünden kalanını bulmak için \( x - 2 = 0 \) eşitliğinden \( x = 2 \) değerini polinomda yerine koyarız.
• 👉 \( P(2) \) değeri bize kalanı verecektir. Soruda bu kalanın 3 olduğu belirtilmiştir.
• \( P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + a(2) - 5 \)
• \( P(2) = 8 - 2(4) + 2a - 5 \)
• \( P(2) = 8 - 8 + 2a - 5 \)
• \( P(2) = 2a - 5 \)
• ✅ Kalanın 3 olduğunu bildiğimiz için bu ifadeyi 3'e eşitleriz:

📝 Sonuç olarak, \( a \) değeri 4'tür.

Bu soru, ikinci dereceden denklemlerin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri kullanmayı gerektirir.

Genel ikinci dereceden denklem \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklinde olduğunda:

• 📌 Kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
• 📌 Kökler çarpımı: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)

Verilen denklem \( x^2 - 5x + 3 = 0 \) için:

• 👉 \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 3 \)
• Kökler toplamı:
• \( x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5 \)
• Kökler çarpımı:
• \( x_1 x_2 = \frac{3}{1} = 3 \)
• ✅ Şimdi bizden istenen ifadeyi hesaplayalım:

🔢 İfadenin değeri 8'dir.

Bu soru, olasılık ve kombinasyon konularını birleştirir. Olasılık hesaplarken, istenen durumların sayısını tüm durumların sayısına böleriz.

• 💡 Toplam top sayısı: 3 kırmızı + 4 mavi = 7 top.
• 1. Tüm olası durumların sayısı (Örneklem Uzayı):
• 👉 Torbadan rastgele 2 top seçme kombinasyonunu hesaplarız. \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) formülünü kullanırız.

• 2. İstenen durumların sayısı:
• 👉 Seçilen iki topun da mavi olması isteniyor. Torbada 4 mavi top var.

• ✅ Olasılık Hesabı:
• Olasılık = (İstenen Durumlar Sayısı) / (Tüm Durumlar Sayısı)

Bu kesri sadeleştirebiliriz (her iki tarafı 3'e bölerek):

🔴🔵 Seçilen iki topun da mavi olma olasılığı \( \frac{2}{7} \)'dir.

Bu soru, çemberde açılar konusundaki temel bilgiyi ölçer.

• 📌 Merkez Açı: Bir çemberde, köşesi çemberin merkezi olan açıya merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
• 📌 Çevre Açı: Bir çemberde, köşesi çemberin üzerinde olan ve kenarları çemberi kesen açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
• 👉 Soruda AB yayının ölçüsü \( 120^\circ \) olarak verilmiştir.
• 👉 Bu yayı gören merkez açı da \( 120^\circ \) olacaktır.
• ✅ Bizden bu yayı gören çevre açının ölçüsü isteniyor. Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.

📏 AB yayını gören çevre açının ölçüsü \( 60^\circ \)'dir.

Bu soru, katı cisimler konusundan, dik silindirin hacmini hesaplamayı gerektirir.

Bir dik silindirin hacim formülü:

Burada:

• 👉 \( V \) silindirin hacmi
• 👉 \( r \) taban yarıçapı
• 👉 \( h \) yükseklik
• 👉 \( \pi \) pi sayısıdır.

Soruda verilen değerler:

• \( r = 3 \) cm
• \( h = 5 \) cm
• \( \pi = 3 \) (soru gereği)
• ✅ Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

🏗️ Dik silindirin hacmi \( 135 \text{ cm}^3 \)'tür.

Bu problem, fonksiyonlar konusunu günlük hayattaki bir senaryoyla birleştirerek modellememizi ve uygulamamızı istiyor.

• 1. Fonksiyonu Oluşturma:
• 👉 Aylık sabit ücret 20 TL'dir. Bu, konuşma süresinden bağımsız bir ücrettir.
• 👉 Her konuşulan dakika için 0.50 TL ek ücret alınmaktadır. Konuşulan dakika sayısını \( x \) ile gösterirsek, bu kısım \( 0.50x \) olacaktır.
• ✅ Toplam ücreti \( U(x) \) fonksiyonu olarak ifade edebiliriz:

• 2. 60 dakika konuşan abonenin ödeyeceği ücreti bulma:
• 👉 Bu durumda \( x = 60 \) dakikadır. Fonksiyonda \( x \) yerine 60 yazarak hesaplama yaparız.

📱 Buna göre, 60 dakika konuşan bir abone 50 TL ödeyecektir.