10. Sınıf Tümü Çözümlü Sorular ve Örnekler

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

📚 5 farklı kitabın bir rafa yan yana kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulunuz.

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

🧩 \( f(x) = 2x - 3 \) ve \( g(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonları veriliyor. Buna göre, \( (f \circ g)(x) \) ifadesini bulunuz.

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

📝 \( P(x) = x^3 - 2x^2 + ax - 5 \) polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan 3 ise, \( a \) değerini bulunuz.

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

🔢 \( x^2 - 5x + 3 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olduğuna göre, \( x_1 + x_2 + x_1 x_2 \) ifadesinin değerini bulunuz.

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

🔴🔵 Bir torbada 3 kırmızı ve 4 mavi top bulunmaktadır. Torbadan rastgele seçilen iki topun da mavi olma olasılığı kaçtır?

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

📏 O merkezli bir çemberde, bir AB yayı \( 120^\circ \) dir. Bu yayı gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

🏗️ Taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 5 cm olan bir dik silindirin hacmini bulunuz. (\( \pi \) yerine 3 alınız.)

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

📱 Bir telefon operatörü, abonelerine aylık 20 TL sabit ücret alıp, her konuşulan dakika için 0.50 TL ücretlendirme yapmaktadır. Bu operatörün aylık ücretlendirme tarifesini bir fonksiyon olarak ifade ediniz ve 60 dakika konuşan bir abonenin ödeyeceği ücreti bulunuz.

10. Sınıf Matematik: Tümü Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

📚 5 farklı kitabın bir rafa yan yana kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulunuz.

Çözüm:

Bu soru, permütasyon konusunun temel bir örneğidir. Farklı nesnelerin sıralanması durumlarında faktöriyel kullanılır.

👉 Elimizde 5 farklı kitap var.
👉 Birinci sıra için 5 farklı kitap seçeneği vardır.
👉 İkinci sıra için kalan 4 farklı kitap seçeneği vardır.
👉 Üçüncü sıra için kalan 3 farklı kitap seçeneği vardır.
👉 Dördüncü sıra için kalan 2 farklı kitap seçeneği vardır.
👉 Beşinci sıra için kalan 1 farklı kitap seçeneği vardır.
✅ Bu durumda, kitapların sıralanma sayısı faktöriyel ile hesaplanır:

\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] \[ 5! = 120 \]

📚 Yani, 5 farklı kitap bir rafa 120 farklı şekilde sıralanabilir.

Örnek 2:

🧩 \( f(x) = 2x - 3 \) ve \( g(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonları veriliyor. Buna göre, \( (f \circ g)(x) \) ifadesini bulunuz.

Çözüm:

Bu soru, bileşke fonksiyon kavramını test etmektedir. \( (f \circ g)(x) \) ifadesi \( f(g(x)) \) anlamına gelir.

📌 İlk olarak, \( g(x) \) fonksiyonunu \( f(x) \) fonksiyonunun içine yerleştirmeliyiz.
👉 \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) gördüğümüz yere \( g(x) \) ifadesini yazıyoruz.
\( f(g(x)) = 2(g(x)) - 3 \)
✅ Şimdi \( g(x) = x^2 + 1 \) değerini yerine koyalım:

\[ (f \circ g)(x) = 2(x^2 + 1) - 3 \] \[ (f \circ g)(x) = 2x^2 + 2 - 3 \] \[ (f \circ g)(x) = 2x^2 - 1 \]

🧩 Böylece, \( (f \circ g)(x) \) ifadesi \( 2x^2 - 1 \) olarak bulunur.

Örnek 3:

📝 \( P(x) = x^3 - 2x^2 + ax - 5 \) polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan 3 ise, \( a \) değerini bulunuz.

Çözüm:

Bu problemde polinomlarda kalan teoremini kullanacağız. Bir \( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan \( P(k) \)'ye eşittir.

💡 Polinomun \( x - 2 \) ile bölümünden kalanını bulmak için \( x - 2 = 0 \) eşitliğinden \( x = 2 \) değerini polinomda yerine koyarız.
👉 \( P(2) \) değeri bize kalanı verecektir. Soruda bu kalanın 3 olduğu belirtilmiştir.
\( P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + a(2) - 5 \)
\( P(2) = 8 - 2(4) + 2a - 5 \)
\( P(2) = 8 - 8 + 2a - 5 \)
\( P(2) = 2a - 5 \)
✅ Kalanın 3 olduğunu bildiğimiz için bu ifadeyi 3'e eşitleriz:

\[ 2a - 5 = 3 \] \[ 2a = 3 + 5 \] \[ 2a = 8 \] \[ a = \frac{8}{2} \] \[ a = 4 \]

📝 Sonuç olarak, \( a \) değeri 4'tür.

Örnek 4:

🔢 \( x^2 - 5x + 3 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olduğuna göre, \( x_1 + x_2 + x_1 x_2 \) ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm:

Bu soru, ikinci dereceden denklemlerin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri kullanmayı gerektirir.

Genel ikinci dereceden denklem \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklinde olduğunda:

📌 Kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
📌 Kökler çarpımı: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)

Verilen denklem \( x^2 - 5x + 3 = 0 \) için:

👉 \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 3 \)
Kökler toplamı:
\( x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5 \)
Kökler çarpımı:
\( x_1 x_2 = \frac{3}{1} = 3 \)
✅ Şimdi bizden istenen ifadeyi hesaplayalım:

\[ x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 5 + 3 \] \[ x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 8 \]

🔢 İfadenin değeri 8'dir.

Örnek 5:

🔴🔵 Bir torbada 3 kırmızı ve 4 mavi top bulunmaktadır. Torbadan rastgele seçilen iki topun da mavi olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Bu soru, olasılık ve kombinasyon konularını birleştirir. Olasılık hesaplarken, istenen durumların sayısını tüm durumların sayısına böleriz.

💡 Toplam top sayısı: 3 kırmızı + 4 mavi = 7 top.
1. Tüm olası durumların sayısı (Örneklem Uzayı):
👉 Torbadan rastgele 2 top seçme kombinasyonunu hesaplarız. \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) formülünü kullanırız.

\[ \text{Tüm Durumlar} = C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]

2. İstenen durumların sayısı:
👉 Seçilen iki topun da mavi olması isteniyor. Torbada 4 mavi top var.

\[ \text{İstenen Durumlar} = C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]

✅ Olasılık Hesabı:
Olasılık = (İstenen Durumlar Sayısı) / (Tüm Durumlar Sayısı)

\[ \text{Olasılık} = \frac{6}{21} \]

Bu kesri sadeleştirebiliriz (her iki tarafı 3'e bölerek):

\[ \text{Olasılık} = \frac{2}{7} \]

🔴🔵 Seçilen iki topun da mavi olma olasılığı \( \frac{2}{7} \)'dir.

Örnek 6:

📏 O merkezli bir çemberde, bir AB yayı \( 120^\circ \) dir. Bu yayı gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

Bu soru, çemberde açılar konusundaki temel bilgiyi ölçer.

📌 Merkez Açı: Bir çemberde, köşesi çemberin merkezi olan açıya merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
📌 Çevre Açı: Bir çemberde, köşesi çemberin üzerinde olan ve kenarları çemberi kesen açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
👉 Soruda AB yayının ölçüsü \( 120^\circ \) olarak verilmiştir.
👉 Bu yayı gören merkez açı da \( 120^\circ \) olacaktır.
✅ Bizden bu yayı gören çevre açının ölçüsü isteniyor. Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.

\[ \text{Çevre Açı} = \frac{\text{Gördüğü Yayın Ölçüsü}}{2} \] \[ \text{Çevre Açı} = \frac{120^\circ}{2} \] \[ \text{Çevre Açı} = 60^\circ \]

📏 AB yayını gören çevre açının ölçüsü \( 60^\circ \)'dir.

Örnek 7:

🏗️ Taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 5 cm olan bir dik silindirin hacmini bulunuz. (\( \pi \) yerine 3 alınız.)

Çözüm:

Bu soru, katı cisimler konusundan, dik silindirin hacmini hesaplamayı gerektirir.

Bir dik silindirin hacim formülü:

\[ V = \pi r^2 h \]

Burada:

👉 \( V \) silindirin hacmi
👉 \( r \) taban yarıçapı
👉 \( h \) yükseklik
👉 \( \pi \) pi sayısıdır.

Soruda verilen değerler:

\( r = 3 \) cm
\( h = 5 \) cm
\( \pi = 3 \) (soru gereği)
✅ Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

\[ V = 3 \times (3)^2 \times 5 \] \[ V = 3 \times 9 \times 5 \] \[ V = 27 \times 5 \] \[ V = 135 \]

🏗️ Dik silindirin hacmi \( 135 \text{ cm}^3 \)'tür.

Örnek 8:

Çözüm:

Bu problem, fonksiyonlar konusunu günlük hayattaki bir senaryoyla birleştirerek modellememizi ve uygulamamızı istiyor.

1. Fonksiyonu Oluşturma:
👉 Aylık sabit ücret 20 TL'dir. Bu, konuşma süresinden bağımsız bir ücrettir.
👉 Her konuşulan dakika için 0.50 TL ek ücret alınmaktadır. Konuşulan dakika sayısını \( x \) ile gösterirsek, bu kısım \( 0.50x \) olacaktır.
✅ Toplam ücreti \( U(x) \) fonksiyonu olarak ifade edebiliriz:

\[ U(x) = 20 + 0.50x \]

2. 60 dakika konuşan abonenin ödeyeceği ücreti bulma:
👉 Bu durumda \( x = 60 \) dakikadır. Fonksiyonda \( x \) yerine 60 yazarak hesaplama yaparız.

\[ U(60) = 20 + 0.50 \times 60 \] \[ U(60) = 20 + 30 \] \[ U(60) = 50 \]

📱 Buna göre, 60 dakika konuşan bir abone 50 TL ödeyecektir.

Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun

https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-tumu/sorular

İçerik Hazırlanıyor...

Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.

💡 10. Sınıf Matematik: Tümü Çözümlü Örnekler

10. Sınıf Matematik: Tümü Çözümlü Örnekler

İçerik Hazırlanıyor...