💡 10. Sınıf Matematik: Tüm Konular Çözümlü Örnekler

Bu problemi bir doğrusal fonksiyon problemi olarak ele alabiliriz. Depodaki benzin miktarı \( y \) litre, kat edilen mesafe \( x \) km olsun.
Doğrusal fonksiyonumuz \( y = mx + c \) şeklindedir.
Verilen bilgilere göre iki nokta biliyoruz: \( (100, 45) \) ve \( (250, 30) \).
Bu iki noktadan eğimi \( m \) bulalım:

• \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
• \( m = \frac{30 - 45}{250 - 100} \)
• \( m = \frac{-15}{150} \)
• \( m = -\frac{1}{10} \)

Şimdi eğimi kullanarak \( c \) sabitini bulalım. İlk noktayı \( (100, 45) \) kullanalım:

• \( 45 = (-\frac{1}{10}) \times 100 + c \)
• \( 45 = -10 + c \)
• \( c = 45 + 10 \)
• \( c = 55 \)

Fonksiyonumuz \( y = -\frac{1}{10}x + 55 \) olur.
Depo tam dolu iken kat edilen mesafe 0 km'dir. Bu durumda \( x = 0 \) alırız:

• \( y = -\frac{1}{10} \times 0 + 55 \)
• \( y = 55 \)

✅ Dolayısıyla, aracın deposu tam dolu iken 55 litre benzin alır. 💡 Bu, fonksiyonun y-keseni olan \( c \) değeridir.

Bu problem, iki bilinmeyenli iki denklem sistemi kurularak çözülebilir.
Öğrenci bileti fiyatını \( ö \) TL, tam bilet fiyatını \( t \) TL ile gösterelim.
Verilen bilgilere göre denklem sistemini oluşturalım:

• 1. denklem: \( 3ö + 2t = 130 \)
• 2. denklem: \( 1ö + 4t = 160 \)

Şimdi bu sistemi çözmek için yok etme veya yerine koyma yöntemini kullanabiliriz. Yok etme yöntemini kullanalım.
1. denklemi 2 ile çarparak \( t \) terimlerini eşitleyelim:

• \( 2 \times (3ö + 2t) = 2 \times 130 \)
• \( 6ö + 4t = 260 \) (Yeni 1. denklem)

Yeni 1. denklemden orijinal 2. denklemi çıkaralım:

• \( (6ö + 4t) - (1ö + 4t) = 260 - 160 \)
• \( 6ö + 4t - ö - 4t = 100 \)
• \( 5ö = 100 \)
• \( ö = \frac{100}{5} \)
• \( ö = 20 \)

Öğrenci bileti fiyatını \( ö = 20 \) TL bulduk. Şimdi bu değeri orijinal denklemlerden birine (örneğin 2. denkleme) yerine koyarak \( t \) değerini bulalım:

• \( 1ö + 4t = 160 \)
• \( 1(20) + 4t = 160 \)
• \( 20 + 4t = 160 \)
• \( 4t = 160 - 20 \)
• \( 4t = 140 \)
• \( t = \frac{140}{4} \)
• \( t = 35 \)

✅ Buna göre, bir öğrenci bileti 20 TL ve bir tam bilet 35 TL'dir. 💡 Denklem sistemlerini doğru kurmak ve çözmek bu tür problemlerin anahtarıdır.

Bu problem, hacim formülünü ve denklem kurma becerisini gerektirir.
Kare şeklindeki kartonun bir kenarı \( x \) cm'dir.
Köşelerden kesilen karelerin bir kenarı 2 cm'dir. Bu, kutunun yüksekliği olacaktır.
Kutunun tabanını oluşturan karenin bir kenarı, orijinal kartonun kenarından kesilen iki karenin kenar uzunlukları çıkarılarak bulunur.

• Kutunun Yüksekliği (h) = 2 cm
• Kutunun Taban Kenarı = \( x - 2 \times 2 = x - 4 \) cm

Kutunun hacmi (V) = Taban Alanı × Yükseklik formülü ile bulunur.
Taban Alanı = \( (x-4)^2 \) cm²
Hacim \( V = (x-4)^2 \times 2 \) cm³
Soruda hacmin 72 cm³ olduğu verilmiş:

• \( 2(x-4)^2 = 72 \)

Denklemi çözelim:

• \( (x-4)^2 = \frac{72}{2} \)
• \( (x-4)^2 = 36 \)

Her iki tarafın karekökünü alalım:

• \( x-4 = \sqrt{36} \) veya \( x-4 = -\sqrt{36} \)
• \( x-4 = 6 \) veya \( x-4 = -6 \)

Birinci durumdan: \( x = 6 + 4 \implies x = 10 \) cm.
İkinci durumdan: \( x = -6 + 4 \implies x = -2 \) cm.
Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için \( x = -2 \) cm geçerli değildir.
Ayrıca, kutunun taban kenarı \( x-4 \) pozitif olmalıdır. \( x=10 \) için \( 10-4 = 6 \) cm olur, bu pozitiftir. Eğer \( x=4 \) olsaydı taban kenarı 0 olurdu, bu da bir kutu oluşturmazdı. Dolayısıyla \( x > 4 \) olmalıdır.
✅ Bu nedenle, kutunun hacminin 72 cm³ olması için kartonun bir kenarı \( x = 10 \) cm olmalıdır. 💡 Geometrik problemler, denklem kurma becerisiyle birleştiğinde daha karmaşık hale gelebilir.

Bu problem, yüzdeler ve kâr-zarar hesaplarını birleştirir.
Ürünün maliyet fiyatı \( M = 50 \) TL.
Planlanan satış fiyatı (indirim öncesi etiket fiyatı):

• Etiket Fiyatı = \( M + M \times \frac{40}{100} \)
• Etiket Fiyatı = \( 50 + 50 \times 0.40 \)
• Etiket Fiyatı = \( 50 + 20 \)
• Etiket Fiyatı = 70 TL

1. Kampanya: İlk 10 müşteri için %20 indirim.
Bu müşteriler için satış fiyatı:

• Satış Fiyatı (ilk 10) = Etiket Fiyatı - Etiket Fiyatı \(\times \frac{20}{100}\)
• Satış Fiyatı (ilk 10) = \( 70 - 70 \times 0.20 \)
• Satış Fiyatı (ilk 10) = \( 70 - 14 \)
• Satış Fiyatı (ilk 10) = 56 TL

İlk 10 müşteriden elde edilen toplam gelir:

• Gelir (ilk 10) = 10 müşteri \(\times\) 56 TL/müşteri = 560 TL

2. Kampanya: Sonraki 20 müşteri için %10 indirim.
Bu müşteriler için satış fiyatı:

• Satış Fiyatı (sonraki 20) = Etiket Fiyatı - Etiket Fiyatı \(\times \frac{10}{100}\)
• Satış Fiyatı (sonraki 20) = \( 70 - 70 \times 0.10 \)
• Satış Fiyatı (sonraki 20) = \( 70 - 7 \)
• Satış Fiyatı (sonraki 20) = 63 TL

Sonraki 20 müşteriden elde edilen toplam gelir:

• Gelir (sonraki 20) = 20 müşteri \(\times\) 63 TL/müşteri = 1260 TL

Toplam satılan ürün sayısı = 10 + 20 = 30 adet.
Toplam maliyet = 30 ürün \(\times\) 50 TL/ürün = 1500 TL.
Toplam gelir = Gelir (ilk 10) + Gelir (sonraki 20) = 560 TL + 1260 TL = 1820 TL.
Toplam kâr = Toplam Gelir - Toplam Maliyet

• Toplam kâr = 1820 TL - 1500 TL
• Toplam kâr = 320 TL

✅ Bu indirim kampanyası sonunda mağaza sahibinin elde edeceği toplam kâr 320 TL'dir. 💡 Yüzde hesaplarında indirim oranını maliyetten değil, satış fiyatından düşmek önemlidir.

Bu problem, yüzdelerin kesirlerle ilişkisini ve tersine yüzde hesaplamalarını içerir.
Çiftçinin sattığı elma miktarı, toplam elma miktarının %60'ına denk gelmektedir.
Satılan elma miktarı = 360 kg.
Toplam elma miktarı \( T \) kg olsun.
Soruda verilenlere göre:

• \( T \times \frac{60}{100} = 360 \) kg

Bu denklemi \( T \) için çözelim:

• \( T = 360 \times \frac{100}{60} \)
• \( T = 360 \times \frac{10}{6} \)
• \( T = 60 \times 10 \)
• \( T = 600 \) kg

Şimdi diğer oranları kontrol edelim:

• Pazarda satılan: \( 600 \times \frac{60}{100} = 360 \) kg (Doğru)
• Kompostoya ayrılan: \( 600 \times \frac{30}{100} = 180 \) kg
• Kendi tüketimi için: \( 600 \times \frac{10}{100} = 60 \) kg

Toplam elma miktarı = 360 kg (satılan) + 180 kg (komposto) + 60 kg (tüketim) = 600 kg.
✅ Çiftçi toplam 600 kg elma elde etmiştir. 💡 Yüzde problemlerinde, verilen miktarın hangi bütüne ait olduğunu anlamak çok önemlidir.

Bu problemi çözmek için adım adım ilerleyelim.
Bilinmeyen sayıyı \( x \) ile gösterelim.
Soruda verilen bilgileri matematiksel ifadeye dökelim:

• "Bir sayının 3 katı": \( 3x \)
• "3 katının 5 fazlası": \( 3x + 5 \)
• "26'dır": \( 3x + 5 = 26 \)

Şimdi bu denklemi \( x \) için çözelim:

• \( 3x = 26 - 5 \)
• \( 3x = 21 \)
• \( x = \frac{21}{3} \)
• \( x = 7 \)

Bulduğumuz sayı 7'dir. Soruda bu sayının yarısı soruluyor:

• Sayının yarısı = \( \frac{x}{2} \)
• Sayının yarısı = \( \frac{7}{2} \)
• Sayının yarısı = 3.5

✅ Buna göre, sayının yarısı 3.5'tir. 💡 Denklem kurma becerisi, bu tür sözel problemleri çözmenin temelidir.

Bu problem, yüzde kavramını ve oran orantıyı kullanır.
Sınıftaki öğrencilerin tamamı %100'dür.
Kız öğrencilerin oranı %40 ise, erkek öğrencilerin oranı şu şekilde bulunur:

• Erkek öğrenci oranı = %100 - %40 = %60

Bize verilen bilgiye göre, sınıfta 18 erkek öğrenci vardır. Bu 18 öğrenci, toplam öğrenci sayısının %60'ına denk gelmektedir.
Toplam öğrenci sayısını \( T \) ile gösterelim.

• \( T \times \frac{60}{100} = 18 \)

Şimdi \( T \) değerini bulmak için denklemi çözelim:

• \( T = 18 \times \frac{100}{60} \)
• \( T = 18 \times \frac{10}{6} \)
• \( T = 3 \times 10 \)
• \( T = 30 \)

✅ Bu sınıfta toplam 30 öğrenci vardır. 💡 Yüzdelerle çalışırken, verilen oranın hangi miktara karşılık geldiğini doğru belirlemek kilit noktadır.

Bu problem, hız, zaman ve yol arasındaki ilişkiyi (Yol = Hız × Zaman) kullanarak denklem sistemi kurmayı gerektirir.
Hareketlinin sabit hızına \( v \) km/saat, aldığı yola \( x \) km ve bu yolu alma süresine \( t \) saat diyelim.
Temel denklemimiz: \( x = v \times t \)

1. Durum: Hız 10 km/saat artarsa, yol 2 saat erken alınır.

• Yeni Hız = \( v + 10 \) km/saat
• Yeni Zaman = \( t - 2 \) saat
• Yol aynı kalır: \( x = (v + 10)(t - 2) \)

Bu denklemi açalım: \( x = vt - 2v + 10t - 20 \)
\( vt = x \) olduğu için: \( x = x - 2v + 10t - 20 \implies 0 = -2v + 10t - 20 \implies 2v - 10t = -20 \implies v - 5t = -10 \) (Denklem 1)

2. Durum: Hız 10 km/saat azalırsa, yol 3 saat geç alınır.

• Yeni Hız = \( v - 10 \) km/saat
• Yeni Zaman = \( t + 3 \) saat
• Yol aynı kalır: \( x = (v - 10)(t + 3) \)

Bu denklemi açalım: \( x = vt + 3v - 10t - 30 \)
\( vt = x \) olduğu için: \( x = x + 3v - 10t - 30 \implies 0 = 3v - 10t - 30 \implies 3v - 10t = 30 \) (Denklem 2)

Şimdi Denklem 1 ve Denklem 2'yi kullanarak \( v \) ve \( t \) değerlerini bulalım.
Denklem 1: \( v - 5t = -10 \implies v = 5t - 10 \)
Bu \( v \) değerini Denklem 2'ye yerine koyalım:

• \( 3(5t - 10) - 10t = 30 \)
• \( 15t - 30 - 10t = 30 \)
• \( 5t = 30 + 30 \)
• \( 5t = 60 \)
• \( t = 12 \) saat

Şimdi \( t = 12 \) değerini \( v = 5t - 10 \) denkleminde yerine koyarak \( v \) değerini bulalım:

• \( v = 5(12) - 10 \)
• \( v = 60 - 10 \)
• \( v = 50 \) km/saat

Son olarak, alınan yolu hesaplayalım: \( x = v \times t \)

• \( x = 50 \) km/saat \(\times\) \( 12 \) saat
• \( x = 600 \) km

✅ Bu hareketlinin aldığı yol 600 km'dir. 💡 Bu tür problemler, bilinmeyenleri doğru tanımlayıp, verilen koşullara göre denklem sistemleri kurmayı gerektirir.

Bu problem, temel çarpma ve çıkarma işlemleriyle çözülür.
Müşterinin aldığı elma miktarı = 3 kg.
Elmanın kilogram fiyatı = 15 TL.
Müşterinin ödemesi gereken toplam tutar:

• Toplam Tutar = Elma Miktarı \(\times\) Kilogram Fiyatı
• Toplam Tutar = 3 kg \(\times\) 15 TL/kg
• Toplam Tutar = 45 TL

Müşterinin manava verdiği para = 50 TL.
Manavın müşteriye vermesi gereken para üstü:

• Para Üstü = Verilen Para - Toplam Tutar
• Para Üstü = 50 TL - 45 TL
• Para Üstü = 5 TL

✅ Manav, müşteriye 5 TL para üstü vermelidir. 💡 Günlük hayatta alışveriş yaparken bu tür basit hesaplamalarla karşılaşırız.