💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometrik özdeşlikler Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için en temel trigonometrik özdeşliğimizi kullanacağız:

• Kural: Her \( x \) gerçel sayısı için \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) dir. 💡
• Verilen ifadeyi 5 parantezine alalım:
  \( 5 \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x) - 3 \)
• Parantez içindeki ifadenin değerini yerine yazalım:
  \( 5 \cdot (1) - 3 \)
• İşlemi tamamlayalım:
  \( 5 - 3 = 2 \)

Adım adım ilerleyelim:

• Bilgi: Aynı açı değerleri için \( \tan x \cdot \cot x = 1 \) özdeşliği her zaman geçerlidir. 📌
• Bu durumda ifadedeki ilk kısım: \( \tan x \cdot \cot x = 1 \) olur.
• İkinci kısım olan \( \cot x \) değerini bulalım. \( \tan x \) ve \( \cot x \) birbirinin çarpmaya göre tersidir:
  \( \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \)
• Şimdi bulduğumuz değerleri toplayalım:
  \( 1 + \frac{4}{3} \)
• Payda eşitleyerek sonucu bulalım:
  \( \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \)

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sadeleştirme yapalım:

• \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) özdeşliğinden, \( \sin^2 x \) ifadesini karşıya atarsak:
  \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) olduğunu görürüz. 👈
• Soru kökündeki pay kısmına bu değeri yazalım:
  \( \frac{\cos^2 x}{\cos x} \)
• Pay kısmındaki \( \cos^2 x \) ifadesi \( \cos x \cdot \cos x \) demektir.
• Pay ve paydadaki birer tane \( \cos x \) terimini sadeleştirelim:
  \( \frac{\cos x \cdot \cos x}{\cos x} = \cos x \)

Bu tarz sorularda her iki tarafın karesini almak en etkili yöntemdir:

• Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:
  \( (\sin x + \cos x)^2 = (\frac{1}{2})^2 \)
• Tam kare açılımını yapalım (Birincinin karesi + Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı + İkincinin karesi):
  \( \sin^2 x + 2 \cdot \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{4} \)
• \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) olduğunu biliyoruz. Bu değeri yerine koyalım:
  \( 1 + 2 \cdot \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{4} \)
• 1 sayısını karşıya atalım:
  \( 2 \cdot \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{4} - 1 \)
  \( 2 \cdot \sin x \cdot \cos x = -\frac{3}{4} \)
• Her iki tarafı 2'ye bölelim:
  \( \sin x \cdot \cos x = -\frac{3}{8} \)

İfadeyi daha basit bileşenlerine ayıralım:

• Kural: \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) olduğunu hatırlayalım. 💡
• Pay kısmındaki \( \tan x \) yerine bu değeri yazalım:
  \( \frac{\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x}{\sin x} \)
• Pay kısmındaki \( \cos x \) terimleri birbirini sadeleştirir:
  \( \frac{\sin x}{\sin x} \)
• Aynı iki ifadenin birbirine bölümü 1'dir.

Tüm terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak başlayalım:

• \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) olduğu için \( \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \) olur.
• İfadeyi tekrar yazalım:
  \( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \)
• Paydalar eşit olduğu için ortak paydada birleştirelim:
  \( \frac{1 - \sin^2 x}{\cos^2 x} \)
• Temel özdeşliğimizden \( 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \) olduğunu biliyoruz.
• Yerine koyduğumuzda:
  \( \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 1 \)

Günlük hayatta eğim genellikle yüzde (%) olarak ifade edilir:

• Eğim formülümüz: \( \text{Eğim} = \tan x \)
• Tanjantın tanımını kullanalım: \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)
• Verilen değerleri yerine yazalım:
  \( \tan x = \frac{0,6}{0,8} \)
• Ondalık sayıları sadeleştirelim:
  \( \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)
• Bu değeri ondalık sayıya çevirelim:
  \( 3 \div 4 = 0,75 \)
• 0,75 değerini yüzdeye çevirmek için 100 ile çarpalım:
  \( 0,75 \cdot 100 = 75 \)

Alan hesaplamaları üzerinden özdeşlikleri uygulayalım:

• Karenin Alanı: Bir kenarın karesidir.
  Alan = \( (\sin x + \cos x)^2 \)
• Bu tam kare ifadeyi açalım:
  Alan = \( \sin^2 x + 2 \cdot \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x \)
• \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) özdeşliğini kullanalım:
  Karenin Alanı = \( 1 + 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \)
• Kesilen Parçanın Alanı: \( 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \) olarak verilmiş.
• Kalan Alan: Tüm alandan kesilen parçayı çıkaralım:
  Kalan Alan = \( (1 + 2 \cdot \sin x \cdot \cos x) - (2 \cdot \sin x \cdot \cos x) \)
• Aynı terimler birbirini yok eder:
  Kalan Alan = 1