💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometrik oranlar Çözümlü Örnekler

Trigonometrik oranları bulmak için öncelikle hipotenüs uzunluğunu hesaplamalıyız.

• Adım 1: Pisagor teoremini uygulayalım.
  \[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 5^2 + 12^2 \] \[ |AC|^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ |AC| = 13 \] birim bulunur.
• Adım 2: Sinüs oranını yazalım.
  Sinüs değeri, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. \[ \sin A = \frac{|BC|}{|AC|} \]
• Adım 3: Değerleri yerine koyalım.
  \[ \sin A = \frac{12}{13} \]

Bu tür sorularda bir dik üçgen çizmek en pratik yoldur.

• Adım 1: Bir dik üçgen hayal edelim. Komşu dik kenar \( 3 \) birim, hipotenüs \( 5 \) birim olsun.
• Adım 2: Pisagor bağıntısından karşı dik kenarı bulalım.
  \[ 3^2 + y^2 = 5^2 \] \[ 9 + y^2 = 25 \] \[ y^2 = 16 \] \[ y = 4 \] birim (karşı dik kenar).
• Adım 3: Tan ve Cot değerlerini belirleyelim.
  \( \tan x = \frac{karşı}{komşu} = \frac{4}{3} \)
  \( \cot x = \frac{komşu}{karşı} = \frac{3}{4} \)
• Adım 4: Toplama işlemini yapalım.
  \[ \frac{4}{3} + \frac{3}{4} = \frac{16 + 9}{12} = \frac{25}{12} \]

Özel açıların trigonometrik değerlerini hatırlayalım:

• \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
• \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
• \( \tan 45^\circ = 1 \)

Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım:

Birim çember üzerindeki her \( (x, y) \) noktası için temel denklem şudur:

• Adım 1: Verilen x değerini denklemde yerine yazalım.
  \[ (- \frac{1}{2})^2 + y^2 = 1 \] \[ \frac{1}{4} + y^2 = 1 \]
• Adım 2: y değerini yalnız bırakalım.
  \[ y^2 = 1 - \frac{1}{4} \] \[ y^2 = \frac{3}{4} \]
• Adım 3: Karekök alalım.
  \[ y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]
• Adım 4: Bölge kontrolü yapalım.
  Nokta ikinci bölgede olduğu için y değeri pozitif olmalıdır.
  \[ y = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Bu durumu bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz.

• Dikey Kenar (Karşı): Gencin boyu = \( 1.8 \)
• Yatay Kenar (Komşu): Gölge boyu = \( 1.8 \sqrt{3} \)
• Açı: \( a \) olsun.
• Adım 1: Tanjant oranını kullanalım.
  \[ \tan a = \frac{karşı}{komşu} \] \[ \tan a = \frac{1.8}{1.8 \sqrt{3}} \]
• Adım 2: Sadeleştirme yapalım.
  \[ \tan a = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
• Adım 3: Hangi açının tanjantı \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) değerine eşittir?
  Bu değer \( 30^\circ \) açısına aittir.

Merdiven, yer ve yükseklik bir dik üçgen oluşturur.

• Hipotenüs: Merdiven boyu = \( 5 \) m
• Açı: \( 53^\circ \)
• Yükseklik (h): Açının karşısındaki kenar.
• Adım 1: Sinüs formülünü uygulayalım.
  \[ \sin 53^\circ = \frac{h}{5} \]
• Adım 2: Verilen değeri yerine koyalım.
  \[ 0.8 = \frac{h}{5} \]
• Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapalım.
  \[ h = 5 \times 0.8 \] \[ h = 4 \] metre.

Bu soruyu çözmek için her iki tarafın karesini almalıyız.

• Adım 1: Denklemin karesini alalım.
  \[ (\sin x + \cos x)^2 = (\frac{7}{5})^2 \]
• Adım 2: Tam kare açılımını yapalım.
  \[ \sin^2 x + 2 \times \sin x \times \cos x + \cos^2 x = \frac{49}{25} \]
• Adım 3: Temel özdeşliği kullanalım.
  Biliyoruz ki: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
• Adım 4: Yerine yazalım.
  \[ 1 + 2 \times \sin x \times \cos x = \frac{49}{25} \]
• Adım 5: Çarpımı yalnız bırakalım.
  \[ 2 \times \sin x \times \cos x = \frac{49}{25} - 1 \] \[ 2 \times \sin x \times \cos x = \frac{24}{25} \] \[ \sin x \times \cos x = \frac{12}{25} \]

Dikdörtgenin köşegeni bir dik üçgen oluşturur.

• Adım 1: ABC dik üçgeninde hipotenüsü (köşegeni) bulalım.
  \[ |AC|^2 = 8^2 + 6^2 \] \[ |AC|^2 = 64 + 36 = 100 \] \[ |AC| = 10 \] birim.
• Adım 2: BAC açısı için komşu ve hipotenüs değerlerini belirleyelim.
  BAC açısının komşu dik kenarı \( |AB| = 8 \) birimdir.
  Hipotenüs \( |AC| = 10 \) birimdir.
• Adım 3: Kosinüs oranını yazalım.
  \[ \cos(BAC) = \frac{komşu}{hipotenüs} \] \[ \cos(BAC) = \frac{8}{10} \]
• Adım 4: Sadeleştirelim.
  \[ \cos(BAC) = \frac{4}{5} \]