🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri ve üçgenler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Trigonometri ve üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 45^\circ \) ve \( \angle B = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre \( \angle C \) kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenin iç açılarının toplamının \( 180^\circ \) olduğunu hatırlamalıyız.
- Verilen açılar: \( \angle A = 45^\circ \) ve \( \angle B = 60^\circ \)
- Üçgenin iç açılarının toplamı: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- Bilinen değerleri yerine koyalım: \( 45^\circ + 60^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- Toplama işlemini yapalım: \( 105^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle C \) 'yi bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 105^\circ \) 'i çıkaralım: \( \angle C = 180^\circ - 105^\circ \)
- Sonuç: \( \angle C = 75^\circ \)
Örnek 2:
Bir dik üçgende, dik olmayan açılardan biri \( 30^\circ \) ise, diğer dik olmayan açı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Dik üçgende bir açı \( 90^\circ \) 'dir. Diğer iki açı dik olmayan açılardır.
- Dik üçgende bir açı: \( 90^\circ \)
- Verilen dik olmayan açı: \( 30^\circ \)
- Üçgenin iç açılarının toplamı: \( 90^\circ + 30^\circ + \text{diğer açı} = 180^\circ \)
- Toplama işlemini yapalım: \( 120^\circ + \text{diğer açı} = 180^\circ \)
- Diğer açıyı bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 120^\circ \) 'i çıkaralım: \( \text{diğer açı} = 180^\circ - 120^\circ \)
- Sonuç: Diğer açı \( 60^\circ \) 'dir.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 8 \) cm, \( BC = 10 \) cm ve \( \angle B = 30^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin alanını bulunuz. 🌳
Çözüm:
Üçgenin alanını bulmak için kenar-açı-kenar (KAK) formülünü kullanabiliriz. Formül şöyledir: Alan \( = \frac{1}{2} ab \sin C \). Burada \( a \) ve \( b \) arasındaki açının \( C \) olduğunu varsayıyoruz.
- Verilenler: \( a = BC = 10 \) cm, \( c = AB = 8 \) cm, \( \angle B = 30^\circ \)
- Alan formülü: Alan \( = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(\angle B) \)
- Değerleri yerine koyalım: Alan \( = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \sin(30^\circ) \)
- \( \sin(30^\circ) \) değerini hatırlayalım: \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
- Hesaplamayı yapalım: Alan \( = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \frac{1}{2} \)
- Alan \( = 4 \times 10 \times \frac{1}{2} = 40 \times \frac{1}{2} = 20 \)
Örnek 4:
Bir harita üzerinde A, B ve C şehirleri bir üçgen oluşturmaktadır. A şehrinden B şehrine olan uzaklık 12 km, A şehrinden C şehrine olan uzaklık 15 km'dir. A noktasındaki açı \( 60^\circ \) olarak ölçülmüştür. B ve C şehirleri arasındaki mesafeyi (BC kenarını) bulmak için hangi trigonometrik kuralı kullanmalıyız ve bu mesafenin yaklaşık kaç km olduğunu hesaplayınız? (İpucu: Kosinüs Teoremi 10. sınıf müfredatında yer almamaktadır, bu nedenle farklı bir yöntem düşünmelisiniz. Ancak, bu soruda temel trigonometri bilgisiyle çözülebilecek bir durum söz konusudur.) 🗺️
Çözüm:
Bu soruyu doğrudan Kosinüs Teoremi ile çözemeyiz çünkü bu teorem 10. sınıf müfredatında henüz yer almamaktadır. Ancak, soruyu bir dik üçgen oluşturarak çözebiliriz.
- Verilenler: \( AB = 12 \) km, \( AC = 15 \) km, \( \angle A = 60^\circ \)
- A noktasından BC kenarına bir dikme indirelim. Bu dikme, \( \angle A \) açısını ikiye bölecektir. Ancak bu, soruyu daha da karmaşık hale getirebilir. Daha basit bir yaklaşım düşünelim:
- Sorunun "yeni nesil" formatında olması, müfredat dışı bir bilgi gerektirmemesi gerektiğini gösterir. Bu durumda, soruyu temel sinüs ve kosinüs bilgisiyle çözebilmeliyiz.
- Eğer soru müfredat dışı bir bilgi gerektiriyorsa, bu bir hata olabilir. Ancak, temel trigonometri ile çözülebilecek bir senaryo hayal edelim:
- Varsayalım ki, A noktasından BC kenarına bir dikme indirildiğinde, bu dikme BC'yi ikiye bölüyor ve A açısı da ikiye bölünüyor. Bu durum yalnızca ikizkenar üçgenlerde geçerlidir ve soruda böyle bir bilgi verilmemiştir.
- Bu tür bir "yeni nesil" soruda, genellikle müfredattaki temel bilgilerle çözülebilecek bir durum kastedilir. Eğer soru Kosinüs Teoremi'ni ima ediyorsa, bu sorunun 10. sınıf müfredatına uygun olmadığını belirtmek gerekir.
- Ancak, eğer soru basit bir sinüs veya kosinüs uygulamasıysa, örneğin A'dan BC'ye indirilen dikmenin uzunluğu sorulsaydı, \( h = AB \sin(\angle A) \) veya \( h = AC \sin(\angle A) \) gibi formüller kullanılabilirdi.
- Bu sorunun tam olarak çözülebilmesi için 10. sınıf müfredatına uygun ek bir bilgi veya farklı bir bakış açısı gerekmektedir. Eğer soru, \( \angle A \) 'nın \( 60^\circ \) olduğu ve \( AB=AC \) olduğu bir ikizkenar üçgeni ima ediyorsa, o zaman \( BC \) kenarı \( 12 \) km olurdu. Fakat bu bilgi verilmemiştir.
- Önemli Not: 10. sınıf müfredatında, iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Bu teorem bu sınıf seviyesinde işlenmediği için, bu soru müfredat dışı kabul edilebilir veya sorunun metninde eksiklik olabilir.
- Eğer soru, temel trigonometri ile çözülebilecek bir "aldatmaca" ise, sorunun metninde daha fazla ipucu olmalıdır.
- Bu nedenle, bu soru için 10. sınıf müfredatına uygun, kesin bir sayısal cevap vermek mümkün değildir.
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini ölçmek istemektedir. Binanın tabanından 50 metre uzaklıkta durarak, binanın tepesine baktığında 45 derecelik bir yükseliş açısı ölçüyor. Binanın yüksekliği kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problemde, bir dik üçgenin özelliklerini ve trigonometriyi kullanacağız.
- Mühendisin durduğu nokta, binanın tabanı ve binanın tepesi bir dik üçgen oluşturur.
- Binanın tabanından mühendisin durduğu noktaya olan uzaklık, üçgenin bir dik kenarıdır: \( 50 \) metre.
- Binanın yüksekliği, üçgenin diğer dik kenarıdır ve bu değeri bulmak istiyoruz.
- Mühendisin baktığı açı, \( 45^\circ \) 'dir. Bu açı, binanın tabanına göre yükseliş açısıdır.
- Dik üçgende, karşısındaki kenarın komşu kenara oranı tanjant fonksiyonuna eşittir: \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} \)
- Bu durumda: \( \tan(45^\circ) = \frac{\text{yükseklik}}{50 \text{ metre}} \)
- \( \tan(45^\circ) \) değerini hatırlayalım: \( \tan(45^\circ) = 1 \)
- Denklemimiz şu hale gelir: \( 1 = \frac{\text{yükseklik}}{50} \)
- Yüksekliği bulmak için denklemi çözelim: Yükseklik \( = 1 \times 50 \)
- Sonuç: Binanın yüksekliği \( 50 \) metredir.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 90^\circ \), \( AB = 6 \) birim ve \( AC = 8 \) birimdir. BC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu bir dik üçgen olduğu için Pisagor teoremini kullanabiliriz.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilenler: \( AB = 6 \) (bir dik kenar), \( AC = 8 \) (diğer dik kenar)
- Bulmak istediğimiz: \( BC \) (hipotenüs)
- Teoremi uygulayalım: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = BC^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = BC^2 \)
- Toplama işlemini yapalım: \( 100 = BC^2 \)
- \( BC \) 'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{100} = \sqrt{BC^2} \)
- Sonuç: \( BC = 10 \) birim
Örnek 7:
Birim çember üzerinde \( \frac{\pi}{3} \) radyanlık bir açının sinüs ve kosinüs değerlerini bulunuz. ⭕
Çözüm:
Birim çember, merkezi orijinde (0,0) olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları \( (\cos \theta, \sin \theta) \) olarak verilir, burada \( \theta \) açıdır.
- Verilen açı: \( \theta = \frac{\pi}{3} \) radyan
- Radyan cinsinden \( \frac{\pi}{3} \) radyan, derece cinsinden \( \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \) 'ye eşittir.
- \( 60^\circ \) açısının özel üçgeni (30-60-90 üçgeni) bize sinüs ve kosinüs değerlerini verir.
- Bir 30-60-90 üçgeninde, en kısa kenarın (30 derecenin karşısındaki) uzunluğu \( x \) ise, 60 derecenin karşısındaki kenarın uzunluğu \( x\sqrt{3} \), hipotenüsün uzunluğu ise \( 2x \) olur.
- Birim çemberde hipotenüs 1'dir. Bu nedenle, \( 2x = 1 \), yani \( x = \frac{1}{2} \).
- \( \sin(60^\circ) \) (karşı kenar / hipotenüs) \( = \frac{x\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \cos(60^\circ) \) (komşu kenar / hipotenüs) \( = \frac{x}{1} = \frac{1}{2} \)
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 70^\circ \) ve \( \angle B = 50^\circ \) ise, \( \sin C \) değerini bulunuz. 🌟
Çözüm:
Öncelikle \( \angle C \) açısını bulmamız gerekiyor.
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) 'dir.
- \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( 70^\circ + 50^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- Toplama işlemini yapalım: \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle C \) 'yi bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 120^\circ \) 'i çıkaralım: \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
- Sonuç: \( \angle C = 60^\circ \)
- Şimdi \( \sin C \) değerini bulmamız isteniyor, yani \( \sin(60^\circ) \).
- \( \sin(60^\circ) \) özel bir açıdır ve değeri \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-trigonometri-ve-ucgenler/sorular