🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri Soruları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Trigonometri Soruları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birim çember üzerinde \( P(x, y) \) noktasının koordinatları verilmiştir. \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \) ve \( \alpha \) açısı 4. bölgede olduğuna göre, \( \sin \alpha \) değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
- Birim çemberde bir noktanın x-koordinatı kosinüs değerini, y-koordinatı ise sinüs değerini verir.
- Birim çember denklemi \( x^2 + y^2 = 1 \) olduğundan, \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) özdeşliğini kullanabiliriz.
- Verilen \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \) değerini yerine koyalım: \( \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \sin^2 \alpha = 1 \)
- Bu denklemi çözersek: \( \frac{9}{25} + \sin^2 \alpha = 1 \)
- \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \)
- \( \sin^2 \alpha = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} \)
- Buradan \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \) elde ederiz.
- Soruda \( \alpha \) açısının 4. bölgede olduğu belirtilmiştir. 4. bölgede sinüs değeri negatiftir.
- Bu nedenle, \( \sin \alpha = -\frac{4}{5} \) olur. ✅
Örnek 2:
\( \sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ + \alpha) \) ifadesinin sadeleştirilmiş halini bulunuz. 🤔
Çözüm:
- Trigonometrik fonksiyonların indirgeme formüllerini hatırlayalım:
- \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \)
- \( \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha \)
- Bu değerleri verilen ifadede yerine koyalım: \( \cos \alpha + (-\cos \alpha) \)
- İfade \( \cos \alpha - \cos \alpha \) şeklinde olur.
- Sonuç olarak ifade \( 0 \) olarak sadeleşir. 👉
Örnek 3:
\( \tan \alpha = \frac{1}{2} \) olduğuna göre, \( \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} \) ifadesinin değerini bulunuz. 🧮
Çözüm:
- Verilen ifadeyi \( \cos \alpha \) ile bölelim (pay ve paydayı ayrı ayrı):
- \( \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} \)
- Bu ifade \( \frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha - 1} \) şeklinde sadeleşir.
- \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \) değerini yerine koyalım: \( \frac{\frac{1}{2} + 1}{\frac{1}{2} - 1} \)
- Payı hesaplayalım: \( \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \)
- Paydayı hesaplayalım: \( \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{1}{2} \)
- Şimdi kesri oluşturalım: \( \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} \)
- Bu da \( \frac{3}{2} \times \left(-\frac{2}{1}\right) = -3 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 4:
\( \sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \dots + \sin^2 89^\circ \) toplamının değerini hesaplayınız. 💯
Çözüm:
- Bu tür toplamları çözmek için tamamlayıcı açıların sinüs ve kosinüs ilişkisini kullanırız.
- Biliyoruz ki \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \)
- Bu durumda \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) özdeşliğini de kullanacağız.
- Toplamdaki terimleri eşleştirelim:
- \( \sin^2 1^\circ \) ile \( \sin^2 89^\circ \)
- \( \sin^2 89^\circ = \sin^2(90^\circ - 1^\circ) = \cos^2 1^\circ \)
- Dolayısıyla \( \sin^2 1^\circ + \sin^2 89^\circ = \sin^2 1^\circ + \cos^2 1^\circ = 1 \)
- Aynı şekilde \( \sin^2 2^\circ + \sin^2 88^\circ = 1 \), \( \sin^2 3^\circ + \sin^2 87^\circ = 1 \) şeklinde devam eder.
- Toplamda 89 terim vardır.
- Terimleri \( (\sin^2 1^\circ + \sin^2 89^\circ) + (\sin^2 2^\circ + \sin^2 88^\circ) + \dots \) şeklinde gruplandırırsak, ortada \( \sin^2 45^\circ \) terimi yalnız kalır.
- \( \sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
- Toplam \( (1 \times 44) + \frac{1}{2} \) şeklinde olur.
- Yani toplam \( 44 + \frac{1}{2} = 44.5 \) olarak bulunur. 💡
Örnek 5:
Bir yelkenli, rüzgarın etkisiyle doğrusal bir yolda ilerlemektedir. Yelkenlinin izlediği yolun x-ekseni ile yaptığı açı \( \alpha \) olsun. Yelkenlinin 1 saatte aldığı yolun vektörel gösterimi \( \vec{v} = (3, 4) \) olarak verilmiştir. Buna göre, yelkenlinin x-ekseni ile yaptığı \( \alpha \) açısının tanjantı kaçtır? ⛵
Çözüm:
- Vektörel gösterimde \( \vec{v} = (v_x, v_y) \) ise, \( v_x \) vektörün x-bileşenini, \( v_y \) ise y-bileşenini temsil eder.
- Burada \( v_x = 3 \) ve \( v_y = 4 \) olarak verilmiştir.
- Bir vektörün x-ekseni ile yaptığı açının tanjantı, vektörün y-bileşeninin x-bileşenine oranıdır.
- Yani, \( \tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \tan \alpha = \frac{4}{3} \)
- Bu nedenle, yelkenlinin x-ekseni ile yaptığı \( \alpha \) açısının tanjantı \( \frac{4}{3} \) olur. ✅
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, eğimi \( \frac{3}{4} \) olan bir rampanın tasarımını yapmaktadır. Bu rampanın yatay düzlemle yaptığı \( \alpha \) açısının sinüs değerini hesaplamak istemektedir. Mühendisin yapması gereken hesaplama nedir? 📐
Çözüm:
- Rampanın eğimi, tanjant değeri ile ifade edilir. Yani \( \tan \alpha = \frac{3}{4} \) 'tür.
- Eğimi \( \frac{\text{dikey mesafe}}{\text{yatay mesafe}} \) olarak düşünebiliriz.
- Bir dik üçgen çizerek bu durumu görselleştirebiliriz. Dik üçgenin dikey kenarı 3 birim, yatay kenarı 4 birim olursa, eğim \( \frac{3}{4} \) olur.
- Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü bulalım: \( \text{hipotenüs}^2 = \text{dikey}^2 + \text{yatay}^2 \)
- \( \text{hipotenüs}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
- \( \text{hipotenüs} = \sqrt{25} = 5 \) birim olur.
- Sinüs değeri, dik üçgende \( \frac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} \) olarak tanımlanır.
- Burada \( \alpha \) açısının karşısındaki kenar 3 birim ve hipotenüs 5 birimdir.
- Dolayısıyla, \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) olur. 💡
Örnek 7:
\( \frac{\sin(2\pi - \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \times \tan(\pi - \alpha) \) ifadesinin en sade halini bulunuz. ⚙️
Çözüm:
- Trigonometrik fonksiyonların periyodiklik ve indirgeme özelliklerini kullanalım:
- \( \sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha \) (Sinüs fonksiyonu \( 2\pi \) periyotludur ve 4. bölgede negatiftir.)
- \( \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2}) \cos(\alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2}) \sin(\alpha) \) veya daha basitçe, \( \frac{3\pi}{2} \) 'de fonksiyon değişir ve 4. bölgede kosinüs pozitiftir, bu yüzden \( \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha \) olur.
- \( \tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha \) (Tanjant fonksiyonu \( \pi \) periyotludur ve 2. bölgede negatiftir.)
- Şimdi bu ifadeleri yerine koyalım: \( \frac{-\sin \alpha}{\sin \alpha} \times (-\tan \alpha) \)
- Bu ifade \( -1 \times (-\tan \alpha) \) şeklinde sadeleşir.
- Sonuç olarak \( \tan \alpha \) elde edilir. ✅
Örnek 8:
\( \cos^2(35^\circ) + \cos^2(55^\circ) \) toplamının değerini hesaplayınız. ➕
Çözüm:
- Tamamlayıcı açıların trigonometrik ilişkisini kullanacağız: \( \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha \)
- \( 55^\circ \) açısını \( 90^\circ - 35^\circ \) şeklinde yazabiliriz.
- Bu durumda \( \cos(55^\circ) = \cos(90^\circ - 35^\circ) = \sin(35^\circ) \) olur.
- Verilen toplamda \( \cos^2(55^\circ) \) yerine \( \sin^2(35^\circ) \) yazabiliriz.
- Toplam şu hale gelir: \( \cos^2(35^\circ) + \sin^2(35^\circ) \)
- Temel trigonometrik özdeşliğe göre \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) olduğundan,
- \( \cos^2(35^\circ) + \sin^2(35^\circ) = 1 \) olur. 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-trigonometri-sorulari/sorular