🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri oranlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Trigonometri oranlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Soru: Bir ABC dik üçgeninde \( B \) açısı \( 90^\circ \) derecedir.
Üçgenin kenar uzunlukları \( AB = 3 \) birim ve \( BC = 4 \) birim olduğuna göre, \( \sin(A) \) değerini hesaplayınız. 📐
Üçgenin kenar uzunlukları \( AB = 3 \) birim ve \( BC = 4 \) birim olduğuna göre, \( \sin(A) \) değerini hesaplayınız. 📐
Çözüm:
Trigonometrik oranları bulmak için öncelikle hipotenüs uzunluğunu hesaplamalıyız:
- Adım 1: Pisagor teoremini uygulayalım. \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
- Adım 2: Değerleri yerine yazalım: \( AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
- Adım 3: Buradan hipotenüs uzunluğu \( AC = 5 \) birim bulunur. ✅
- Adım 4: Sinüs fonksiyonu \( \sin(A) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \) formülü ile hesaplanır.
- Adım 5: \( A \) açısının karşısındaki kenar \( BC = 4 \) birimdir.
Örnek 2:
Soru: Bir dik üçgende dar açılardan birinin kosinüsü \( \cos(x) = \frac{5}{13} \) olarak verilmiştir.
Buna göre bu açının tanjantı olan \( \tan(x) \) değeri kaçtır? 💡
Buna göre bu açının tanjantı olan \( \tan(x) \) değeri kaçtır? 💡
Çözüm:
Bu tür sorularda bir dik üçgen çizerek diğer kenarı bulmak en kolay yoldur:
- Adım 1: Kosinüs komşu kenar bölü hipotenüstür. Komşu kenara \( 5 \), hipotenüse \( 13 \) diyelim.
- Adım 2: Karşı dik kenarı bulmak için Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + 5^2 = 13^2 \)
- Adım 3: \( a^2 + 25 = 169 \) ise \( a^2 = 144 \) ve buradan karşı kenar \( a = 12 \) bulunur. 📏
- Adım 4: Tanjant fonksiyonu \( \tan(x) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \) formülü ile hesaplanır.
Örnek 3:
Soru: Birbirini \( 90^\circ \) dereceye tamamlayan (tümler) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
Buna göre \( \cos(70^\circ) = a \) ise \( \sin(20^\circ) + \cos(70^\circ) \) ifadesinin \( a \) türünden eşiti nedir? ✍️
Buna göre \( \cos(70^\circ) = a \) ise \( \sin(20^\circ) + \cos(70^\circ) \) ifadesinin \( a \) türünden eşiti nedir? ✍️
Çözüm:
Tümler açılar arasındaki ilişkiyi hatırlayalım:
- Kural: \( x + y = 90^\circ \) ise \( \sin(x) = \cos(y) \) olur. 📌
- Adım 1: Burada \( 20 + 70 = 90 \) olduğu için \( \sin(20^\circ) = \cos(70^\circ) \) yazabiliriz.
- Adım 2: Soruda \( \cos(70^\circ) = a \) olarak verilmiştir.
- Adım 3: O halde \( \sin(20^\circ) \) değeri de \( a \) olur.
- Adım 4: İstenen ifade: \( a + a = 2a \)
Örnek 4:
Soru: Özel açılı üçgenleri kullanarak aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{\sin(30^\circ) + \tan(45^\circ)}{\cos(60^\circ)} \]
\[ \frac{\sin(30^\circ) + \tan(45^\circ)}{\cos(60^\circ)} \]
Çözüm:
Özel açılı trigonometrik değerleri tablo yardımıyla veya dik üçgen çizerek hatırlayalım:
- Değerler:
- \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
- \( \tan(45^\circ) = 1 \)
- \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)
- İşlem: Pay kısmını toplayalım: \( \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \)
- Bölme: \( \frac{3}{2} \div \frac{1}{2} \) işleminde ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
Örnek 5:
Soru: Bir elektrik direğinin boyu \( 6 \) metredir. Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı \( 60^\circ \) olduğu bir anda direğin gölgesinin boyu kaç metre olur? ☀️
Çözüm:
Bu problemi bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz:
- Model: Direk dikey kenar (\( 6 \) m), gölge yatay kenar (\( x \)) ve güneş ışığı açısı \( 60^\circ \).
- Oran: Karşı kenar ve komşu kenar ilişkisi için tanjantı kullanalım.
- Adım 1: \( \tan(60^\circ) = \frac{6}{x} \)
- Adım 2: \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \) olduğunu biliyoruz.
- Adım 3: \( \sqrt{3} = \frac{6}{x} \) ise \( x = \frac{6}{\sqrt{3}} \) olur.
- Adım 4: Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{3} \) ile genişletelim: \( \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)
Örnek 6:
Soru: Bir engelli rampası tasarlanırken eğim açısının en fazla \( 30^\circ \) olması istenmektedir.
Yerden yüksekliği \( 1 \) metre olan bir kapı girişi için bu açıyla yapılacak rampanın uzunluğu (hipotenüs) kaç metre olmalıdır? ♿
Yerden yüksekliği \( 1 \) metre olan bir kapı girişi için bu açıyla yapılacak rampanın uzunluğu (hipotenüs) kaç metre olmalıdır? ♿
Çözüm:
Rampanın uzunluğunu bulmak için sinüs oranını kullanmalıyız:
- Verilenler: Karşı dik kenar (yükseklik) \( = 1 \) metre, Açı \( = 30^\circ \).
- İstenen: Hipotenüs (rampa uzunluğu) \( = d \).
- Adım 1: \( \sin(30^\circ) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}} \)
- Adım 2: \( \frac{1}{2} = \frac{1}{d} \)
- Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapıldığında \( d = 2 \) bulunur.
Örnek 7:
Soru: Bir ABC dik üçgeninde \( C \) açısı \( 90^\circ \) derecedir.
\( \sin(A) = \frac{2}{3} \) olduğuna göre \( \cot(A) \) değerini hesaplayınız. 🔍
\( \sin(A) = \frac{2}{3} \) olduğuna göre \( \cot(A) \) değerini hesaplayınız. 🔍
Çözüm:
Dik üçgenin kenarlarını oranlayarak çözelim:
- Adım 1: \( \sin(A) = \frac{2}{3} \) ise karşı kenar \( 2k \), hipotenüs \( 3k \) olsun. İşlem kolaylığı için \( k=1 \) alalım.
- Adım 2: Komşu dik kenarı (\( b \)) bulmak için Pisagor yapalım: \( b^2 + 2^2 = 3^2 \)
- Adım 3: \( b^2 + 4 = 9 \) buradan \( b^2 = 5 \) ve \( b = \sqrt{5} \) bulunur.
- Adım 4: Kotanjant fonksiyonu \( \cot(A) = \frac{\text{Komşu}}{\text{Karşı}} \) şeklindedir.
Örnek 8:
Soru: Bir ikizkenar dik üçgende (açıları \( 45^\circ-45^\circ-90^\circ \) olan üçgen) \( \sin(45^\circ) \cdot \cos(45^\circ) \) çarpımının sonucu kaçtır? 📐
Çözüm:
İkizkenar dik üçgenin özelliklerini kullanalım:
- Adım 1: Dik kenarlar \( 1 \) birim ise hipotenüs \( \sqrt{2} \) birimdir.
- Adım 2: \( \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
- Adım 3: \( \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
- Adım 4: Çarpma işlemini yapalım: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-trigonometri-oranlar/sorular