🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri maarif model Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Trigonometri maarif model Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Ölçüsü \( 2400^\circ \) olan bir açının esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bir açının esas ölçüsünü bulmak için açı \( 360^\circ \) değerine bölünür ve kalan alınır.
- 📌 Bölme işlemi yapılır: \( 2400 \) sayısı \( 360 \) değerine bölünür.
- 👉 \( 2400 \div 360 = 6 \) (Bölüm \( 6 \) ve kalan \( 240 \) olur).
- ✅ Kalan değer bizim esas ölçümüzdür, yani sonuç \( 240^\circ \) olarak bulunur.
Örnek 2:
Radyan cinsinden değeri verilen \( \frac{13\pi}{3} \) radyanlık bir açının esas ölçüsü kaç radyandır?
Çözüm:
Kesirli radyanlarda esas ölçü bulunurken pay, paydanın 2 katına bölünür.
- 📌 Paydadaki değerin 2 katı hesaplanır: \( 2 \times 3 = 6 \) bulunur.
- 👉 Paydaki \( 13 \) sayısı \( 6 \) değerine bölünür: \( 13 \div 6 \) işleminde kalan \( 1 \) olur.
- ✅ Kalan paya yazılır ve esas ölçü \( \frac{\pi}{3} \) olarak elde edilir.
Örnek 3:
Bir dik üçgende dar açılardan birinin sinüs değeri \( \frac{3}{5} \) olarak veriliyor. Buna göre aynı açının kosinüs ve tanjant değerlerini hesaplayınız.
Çözüm:
Dik üçgen yardımıyla trigonometrik oranlar kolayca bulunur.
- 📌 Sinüs karşı kenar bölü hipotenüstür. Karşı kenar \( 3 \) k, hipotenüs \( 5 \) k alınır.
- 👉 Pisagor teoremi uygulanarak komşu kenar bulunur: \( 5^2 - 3^2 = 16 \), kökü ise \( 4 \) k yapar.
- 👉 Kosinüs komşu bölü hipotenüstür: \( \cos(x) = \frac{4}{5} \) olur.
- ✅ Tanjant karşı bölü komşudur: \( \tan(x) = \frac{3}{4} \) olarak hesaplanır.
Örnek 4:
Birbirini \( 90^\circ \) dereceye tamamlayan iki açıdan biri a, diğeri b açısıdır. Buna göre \( \sin(a) = \frac{5}{13} \) ise \( \cos(b) \) değeri kaçtır?
Çözüm:
Tümler açıların trigonometrik ilişkileri kullanılır.
- 📌 Tümler iki açının toplamı \( 90^\circ \) derecedir, yani \( a + b = 90^\circ \) denklemi yazılır.
- 👉 Bir açının sinüsü, tümlerinin kosinüsüne eşittir kuralı hatırlanır.
- ✅ Buradan \( \sin(a) = \cos(b) \) olduğu için aranan cevap doğrudan \( \frac{5}{13} \) olur.
Örnek 5:
Bir inşaat ustası, duvara dayadığı \( 10 \) metre uzunluğundaki merdivenin zeminle yaptığı açının sinüs değerini \( 0.8 \) olarak ölçüyor. Buna göre merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Günlük hayattaki dik üçgen ve trigonometri ilişkisi kurulur.
- 📌 Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüstür (\( 10 \) metre).
- 👉 Sinüs formülü kullanılır: Sinüs = Karşı Kenar / Hipotenüs.
- 👉 Değerler yerine yazılır: \( 0.8 = \frac{\text{Yükseklik}}{10} \) denklemi kurulur.
- ✅ İçler dışlar çarpımı ile yükseklik \( 10 \times 0.8 = 8 \) metre olarak bulunur.
Örnek 6:
Bir mühendis düz bir arazide dururken, uzaktaki bir kulenin tepesine bakıyor. Görüş hizası ile zemin arasındaki açı \( 30^\circ \) derece ve mühendisin kuleye olan yatay uzaklığı \( 30 \) metre ise kulenin yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Arazi ölçümlerinde özel üçgenler ve trigonometrik oranlar kullanılır.
- 📌 Bu senaryo bir dik üçgen belirtir. Yatay uzaklık komşu kenar (\( 30 \) metre), kule yüksekliği ise karşı kenardır.
- 👉 Tanjant otuz değeri kullanılır: \( \tan(30^\circ) = \frac{\text{Yükseklik}}{30} \) yazılır.
- 👉 \( \tan(30^\circ) \) değerinin \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) olduğu bilinir.
- ✅ İşlem yapılırsa yükseklik \( \frac{30 \times \sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \) metre olarak bulunur.
Örnek 7:
Ahmet, akıllı telefonundaki pusula ve harita uygulamasını kullanarak konumunu belirlemektedir. Bulunduğu noktadan kuzeye doğru hareket eden Ahmet, belirli bir açıyla yön değiştirerek doğuya doğru yürümeye başlıyor. Hareket ettiği yönler arasındaki açı \( a \) olmak üzere, \( \sin(a) = \frac{12}{13} \) ve açının ikinci bölgede olduğu biliniyor. Buna göre \( \cos(a) \) değeri kaçtır?
Çözüm:
Birim çember ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla işaret analizi yapılır.
- 📌 Temel özdeşlik hatırlanır: \( \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 \) bağıntısı yazılır.
- 👉 Verilen değer yerine konur: \( (\frac{12}{13})^2 + \cos^2(a) = 1 \) işleminden \( \frac{144}{169} + \cos^2(a) = 1 \) elde edilir.
- 👉 \( \cos^2(a) = \frac{25}{169} \) bulunur, buradan kosinüs ya \( \frac{5}{13} \) ya da \( -\frac{5}{13} \) olur.
- ✅ Açı ikinci bölgede olduğundan kosinüs işareti eksi (-) seçilir ve sonuç \( -\frac{5}{13} \) olur.
Örnek 8:
Bir parkta bulunan otomatik sulama sistemi, dairesel bir alanda su fışkırtmaktadır. Sulama başlığı merkezde yer almakta olup, suyun ulaştığı maksimum uzaklık yarıçap olarak kabul edilmektedir. Sulama sisteminin dönme açısı \( 150^\circ \) derece olduğuna göre, bu sistemin suladığı yayın uzunluğu dairenin çevresinin kaçta kaçıdır?
Çözüm:
Açı ve çember yay uzunluğu ilişkisi kurulur.
- 📌 Tam bir çemberin ölçüsü \( 360^\circ \) derecedir.
- 👉 Sulama alanının merkez açısı \( 150^\circ \) olarak verilmiştir.
- 👉 Oranlama yapılır: \( \frac{150}{360} \) kesri sadeleştirilir.
- ✅ Her iki sayı \( 30 \) değerine bölünür ve sonuç \( \frac{5}{12} \) olarak bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-trigonometri-maarif-model/sorular