🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri kenar uzunluğu hesaplama Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Trigonometri kenar uzunluğu hesaplama Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik açının karşısındaki kenar \( 13 \) birimdir. Bu kenarın yanındaki açılardan biri \( 30^\circ \) ise, bu açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu kaç birimdir? 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için sinüs trigonometrik oranını kullanacağız. Sinüs, bir açının karşısındaki dik kenarın hipotenüse oranına eşittir.
- Adım 1: Verilenleri belirleyelim.
- Hipotenüs (karşıdaki kenar) = \( 13 \) birim
- Açı = \( 30^\circ \)
- Bulmamız gereken: \( 30^\circ \) açısının karşısındaki dik kenar (buna \( x \) diyelim).
- Adım 2: Sinüs formülünü yazalım.
\( \sin(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \) - Adım 3: Değerleri formüle yerleştirelim.
\( \sin(30^\circ) = \frac{x}{13} \) - Adım 4: \( \sin(30^\circ) \) değerini hatırlayalım veya tablodan bulalım. \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
\( \frac{1}{2} = \frac{x}{13} \) - Adım 5: \( x \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
\( 2x = 13 \)
\( x = \frac{13}{2} \)
\( x = 6.5 \) birim
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 45^\circ \) ve \( BC \) kenarının uzunluğu \( 8 \) birimdir. Buna göre, \( AC \) kenarının uzunluğunu hesaplayınız. 📐
Çözüm:
Bu bir özel üçgendir. \( 45^\circ \) ve \( 90^\circ \) açıları varsa, diğer açı da \( 45^\circ \) olur. Bu, ikizkenar bir dik üçgen olduğu anlamına gelir.
- Adım 1: Üçgenin açılarını belirleyelim.
\( \angle C = 90^\circ \) (dik açı)
\( \angle A = 45^\circ \)
\( \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \) - Adım 2: Açıların eşitliğinden yola çıkarak kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kuralım.
Eşit açılar karşısında eşit kenarlar bulunur. Yani, \( AC \) kenarı \( BC \) kenarına eşittir. - Adım 3: Verilen kenar uzunluğunu kullanalım.
\( BC = 8 \) birim olarak verilmiş. - Adım 4: \( AC \) kenarının uzunluğunu bulalım.
\( AC = BC \) olduğundan, \( AC = 8 \) birimdir.
- Adım 1: Tanjant formülünü yazalım.
\( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \) - Adım 2: \( \angle A \) açısını kullanarak \( AC \) kenarını bulalım.
\( \tan(A) = \frac{BC}{AC} \)
\( \tan(45^\circ) = \frac{8}{AC} \) - Adım 3: \( \tan(45^\circ) \) değerini hatırlayalım. \( \tan(45^\circ) = 1 \) olduğunu biliyoruz.
\( 1 = \frac{8}{AC} \) - Adım 4: \( AC \) değerini bulalım.
\( AC = 8 \) birim
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle B = 90^\circ \), \( AB = 12 \) birim ve \( BC = 5 \) birimdir. \( \angle C \) açısının tanjantını bulunuz. 🧮
Çözüm:
Trigonometrik oranları kullanmak için dik üçgenin tüm kenar uzunluklarını bilmemiz gerekir.
- Adım 1: Verilenleri not edelim.
Dik açı: \( \angle B = 90^\circ \)
Komşu dik kenar ( \( \angle C \) için): \( BC = 5 \) birim
Karşı dik kenar ( \( \angle C \) için): \( AB = 12 \) birim - Adım 2: \( \angle C \) açısının tanjantını hesaplamak için formülü yazalım.
\( \tan(C) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \) - Adım 3: Değerleri formüle yerleştirelim.
\( \tan(C) = \frac{AB}{BC} \)
\( \tan(C) = \frac{12}{5} \)
Örnek 4:
Bir gözetleme kulesinin tepesinden, \( 50 \) metre uzaklıktaki bir araca bakıldığında, bakış açısının yatayla yaptığı açı \( 30^\circ \) olarak ölçülüyor. Gözetleme kulesinin yüksekliğini hesaplayınız. (Araç ve kule arasındaki mesafe yataydır.) 📏
Çözüm:
Bu problemde, gözetleme kulesinin yüksekliği, aracın kuleye olan yatay mesafesi ve bakış açısı bir dik üçgen oluşturur.
- Adım 1: Dik üçgeni görselleştirelim.
- Kulenin yüksekliği (dikey kenar) = \( h \) (bulmamız gereken)
- Aracın kuleye olan yatay mesafesi (yatay kenar) = \( 50 \) metre
- Bakış açısı (yatayla yaptığı açı) = \( 30^\circ \)
- Adım 2: Hangi trigonometrik oranın uygun olduğunu belirleyelim.
Karşı dik kenarı (yükseklik) ve komşu dik kenarı (mesafe) bildiğimiz için tanjant oranını kullanmalıyız. - Adım 3: Tanjant formülünü yazalım.
\( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \) - Adım 4: Verilen değerleri formüle yerleştirelim.
\( \tan(30^\circ) = \frac{h}{50} \) - Adım 5: \( \tan(30^\circ) \) değerini kullanalım. \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) veya \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) olduğunu biliyoruz.
\( \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{50} \) - Adım 6: \( h \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
\( 3h = 50\sqrt{3} \)
\( h = \frac{50\sqrt{3}}{3} \) metre
Örnek 5:
Bir inşaat işçisi, \( 10 \) metre uzunluğundaki bir merdiveni, eğimi \( 75^\circ \) olacak şekilde bir duvara dayıyor. Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliğini hesaplayınız. 🪜
Çözüm:
Bu senaryoda, merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.
- Adım 1: Dik üçgenin elemanlarını tanımlayalım.
- Hipotenüs (merdivenin uzunluğu) = \( 10 \) metre
- Açı (merdivenin zeminle yaptığı açı) = \( 75^\circ \)
- Karşı dik kenar (merdivenin yerden yüksekliği) = \( h \) (bulmamız gereken)
- Adım 2: Hangi trigonometrik oranın kullanılacağını belirleyelim.
Hipotenüsü ve açıyı biliyoruz ve karşı dik kenarı bulmak istiyoruz. Bu durumda sinüs oranını kullanırız. - Adım 3: Sinüs formülünü yazalım.
\( \sin(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \) - Adım 4: Verilen değerleri formüle yerleştirelim.
\( \sin(75^\circ) = \frac{h}{10} \) - Adım 5: \( h \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
\( h = 10 \times \sin(75^\circ) \) - Adım 6: \( \sin(75^\circ) \) değerini hesap makinesi veya trigonometrik tablolar yardımıyla bulalım. \( \sin(75^\circ) \approx 0.9659 \) olarak bulunur.
\( h \approx 10 \times 0.9659 \)
\( h \approx 9.659 \) metre
Örnek 6:
Bir parkta, \( 1.6 \) metre boyundaki Ayşe, \( 30 \) metre uzaklıktaki bir ağacın tepesine bakmaktadır. Ayşe'nin göz hizasının yatayla yaptığı açı \( 45^\circ \) olduğuna göre, ağacın boyunu yaklaşık olarak hesaplayınız. (Ağacın yerden yüksekliği ile Ayşe'nin boyu arasındaki farkı hesaplayıp Ayşe'nin boyunu ekleyeceğiz.) 🌳
Çözüm:
Bu problemde, ağacın Ayşe'nin göz hizasından sonraki kısmını bir dik üçgen olarak düşüneceğiz.
- Adım 1: Dik üçgeni kuralım.
- Ağacın Ayşe'nin göz hizasından sonraki yüksekliği (karşı dik kenar) = \( h_a \) (bulmamız gereken ilk kısım)
- Ayşe ile ağaç arasındaki yatay mesafe (komşu dik kenar) = \( 30 \) metre
- Ayşe'nin göz hizasının yatayla yaptığı açı = \( 45^\circ \)
- Adım 2: Tanjant oranını kullanarak \( h_a \) değerini hesaplayalım.
\( \tan(45^\circ) = \frac{h_a}{30} \) - Adım 3: \( \tan(45^\circ) = 1 \) olduğunu biliyoruz.
\( 1 = \frac{h_a}{30} \)
\( h_a = 30 \) metre - Adım 4: Ağacın toplam boyunu bulmak için \( h_a \) değerine Ayşe'nin boyunu ekleyelim.
Ağacın Toplam Boyu = \( h_a + \text{Ayşe'nin boyu} \)
Ağacın Toplam Boyu = \( 30 \text{ metre} + 1.6 \text{ metre} \)
Ağacın Toplam Boyu = \( 31.6 \) metre
Örnek 7:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = 7 \) birim ve \( \sin(A) = \frac{3}{5} \) olarak verilmiştir. \( BC \) kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Sinüs oranı, açının karşısındaki dik kenarın hipotenüse oranını verir.
- Adım 1: Verilenleri ve isteneni belirleyelim.
\( \angle C = 90^\circ \)
\( AC = 7 \) birim ( \( \angle A \) için komşu dik kenar)
\( \sin(A) = \frac{3}{5} \)
İstenen: \( BC \) kenarının uzunluğu ( \( \angle A \) için karşı dik kenar). - Adım 2: Sinüs formülünü yazalım.
\( \sin(A) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{BC}{AB} \) - Adım 3: Verilen \( \sin(A) \) değerini kullanarak bir oran kurabiliriz. \( \sin(A) = \frac{3}{5} \) demek, \( \angle A \) karşısındaki kenarın \( 3k \) ve hipotenüsün \( 5k \) olduğu bir dik üçgen düşünebiliriz.
- Adım 4: Pisagor teoremini kullanarak \( AC \) kenarını da bu orana dahil edelim.
\( (AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2 \)
\( (3k)^2 + (7)^2 = (5k)^2 \) <-- Bu adımda bir hata var. \( AC \) \( \angle A \) için komşu kenardır, \( BC \) karşı kenardır. Verilen \( AC \) uzunluğunu kullanmalıyız.
- Adım 1: Verilenleri ve isteneni belirleyelim.
\( \angle C = 90^\circ \)
\( AC = 7 \) birim ( \( \angle A \) için komşu dik kenar)
\( \sin(A) = \frac{3}{5} \)
İstenen: \( BC \) kenarının uzunluğu ( \( \angle A \) için karşı dik kenar). - Adım 2: \( \sin(A) \) oranından hipotenüs \( AB \) ile \( BC \) arasındaki ilişkiyi kuralım.
\( \sin(A) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} \)
Bu, \( BC = 3k \) ve \( AB = 5k \) anlamına gelir. - Adım 3: \( AC \) kenarını kullanarak Pisagor teoremini uygulayalım.
\( (AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2 \)
\( (7)^2 + (3k)^2 = (5k)^2 \)
\( 49 + 9k^2 = 25k^2 \) - Adım 4: \( k \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
\( 49 = 25k^2 - 9k^2 \)
\( 49 = 16k^2 \)
\( k^2 = \frac{49}{16} \)
\( k = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4} \) - Adım 5: \( BC \) kenarının uzunluğunu hesaplayalım.
\( BC = 3k = 3 \times \frac{7}{4} = \frac{21}{4} \) birim
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = 6 \) birim ve \( BC = 8 \) birimdir. \( \angle A \) açısının kosinüsünü bulunuz. 📐
Çözüm:
Kosinüs, bir açının komşu dik kenarının hipotenüse oranıdır.
- Adım 1: Verilenleri ve isteneni belirleyelim.
\( \angle C = 90^\circ \)
\( AC = 6 \) birim ( \( \angle A \) için komşu dik kenar)
\( BC = 8 \) birim ( \( \angle A \) için karşı dik kenar)
İstenen: \( \cos(A) \). - Adım 2: Hipotenüs \( AB \) uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulalım.
\( (AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2 \)
\( 6^2 + 8^2 = (AB)^2 \)
\( 36 + 64 = (AB)^2 \)
\( 100 = (AB)^2 \)
\( AB = \sqrt{100} = 10 \) birim - Adım 3: Kosinüs formülünü yazalım.
\( \cos(A) = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \) - Adım 4: Değerleri formüle yerleştirelim.
\( \cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} \) - Adım 5: Oranı sadeleştirelim.
\( \cos(A) = \frac{3}{5} \)
Örnek 9:
Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki kuş uçuşu mesafe \( 150 \) km'dir. Bir pilot, bu iki şehir arasına \( 120 \) km yatay mesafe kat ederek ve \( 30^\circ \) bir yükselme açısıyla uçarak hedefe ulaşmıştır. Bu durum, pilotun katettiği mesafenin (eğimli yolun) uzunluğunu ve bu yükselme açısıyla ilgili trigonometrik hesaplamaları anlamak için iyi bir örnektir. Pilotun bu uçuşta katettiği eğimli yolun uzunluğu kaç km'dir? ✈️
Çözüm:
Bu senaryoda, pilotun uçuş rotası bir dik üçgenin hipotenüsünü temsil eder.
- Adım 1: Problemi bir dik üçgen olarak modelleyelim.
- Yükselme açısı = \( 30^\circ \)
- Yatay mesafe (komşu dik kenar) = \( 120 \) km
- Pilotun katettiği eğimli yolun uzunluğu (hipotenüs) = \( d \) (bulmamız gereken)
- Adım 2: Hangi trigonometrik oranın kullanılacağını belirleyelim.
Komşu dik kenarı ve hipotenüsü bildiğimiz için kosinüs oranını kullanabiliriz. - Adım 3: Kosinüs formülünü yazalım.
\( \cos(\text{açı}) = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \) - Adım 4: Verilen değerleri formüle yerleştirelim.
\( \cos(30^\circ) = \frac{120}{d} \) - Adım 5: \( \cos(30^\circ) \) değerini kullanalım. \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz.
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{120}{d} \) - Adım 6: \( d \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
\( d\sqrt{3} = 2 \times 120 \)
\( d\sqrt{3} = 240 \)
\( d = \frac{240}{\sqrt{3}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{3} \) ile genişletelim:
\( d = \frac{240\sqrt{3}}{3} = 80\sqrt{3} \) km
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-trigonometri-kenar-uzunlugu-hesaplama/sorular