💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri hesaplamaları Çözümlü Örnekler

Çözüm adımlarını sırasıyla uygulayalım:

• 1. Adım: Öncelikle dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu (AC) bulmalıy尋. Bunun için Pisagor teoremini uygulayalım:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\] \[AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\] \[AC = 10\text{ cm}\]
• 2. Adım: C açısının karşısındaki dik kenar AB = \(6\) cm, komşusundaki dik kenar BC = \(8\) cm ve hipotenüs AC = \(10\) cm'dir.
• 3. Adım: \(\sin(C)\) değerini hesaplayalım (Karşı dik kenar / Hipotenüs):
\[\sin(C) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]
• 4. Adım: \(\cos(C)\) değerini hesaplayalım (Komşu dik kenar / Hipotenüs):
\[\cos(C) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\]

✅ Cevap: \(\sin(C) = \frac{3}{5}\) ve \(\cos(C) = \frac{4}{5}\) olarak bulunur.

Özel açıların trigonometrik değerlerini hatırlayarak yerlerine yazalım:

• \(\sin(30^\circ)\) değeri: \(\frac{1}{2}\)
• \(\cos(60^\circ)\) değeri: \(\frac{1}{2}\)
• \(\tan(45^\circ)\) değeri: \(1\)

Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım:

✅ Cevap: İşlemin sonucu \(2\) olarak bulunur.

Çözüm adımları:

• 1. Adım: Verilen üçgende B açısının karşısındaki kenar AC kenarıdır. Hipotenüs ise BC = \(12\) cm'dir.
• 2. Adım: Karşı kenar ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi kurmak için B açısının sinüs değerini kullanalım:
\[\sin(B) = \frac{AC}{BC}\] \[\sin(60^\circ) = \frac{AC}{12}\]
• 3. Adım: \(\sin(60^\circ)\) değerinin \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) olduğunu biliyoruz. Bu değeri denklemde yerine yazalım:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{12}\]
• 4. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak AC uzunluğunu çekelim:
\[2 \times AC = 12 \times \sqrt{3}\] \[AC = 6\sqrt{3}\text{ cm}\]

✅ Cevap: AC kenarının uzunluğu \(6\sqrt{3}\) cm'dir.

İkizkenar üçgen özelliklerini kullanarak dik üçgen oluşturalım:

• 1. Adım: ABC ikizkenar üçgeninde AB = AC = \(10\) cm ve taban BC = \(16\) cm olsun.
• 2. Adım: A köşesinden tabana bir dikme (yükseklik) indirelim. Bu dikme tabanı iki eşit parçaya böler.
• Tabanın yarısı: \(16 \div 2 = 8\) cm olur.
• 3. Adım: Oluşan dik üçgende hipotenüs \(10\) cm, taban dik kenarı \(8\) cm'dir. (Bu bir 6-8-10 özel üçgenidir).
• 4. Adım: Taban açısı olan B açısının kosinüs değerini bulalım:
\[\cos(B) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}\] \[\cos(B) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\]

✅ Cevap: Taban açısının kosinüs değeri \(\frac{4}{5}\) veya 0.8'dir.

Yamuk üzerinde ek bir çizim yaparak dik üçgen elde edelim:

• 1. Adım: D köşesinden alt taban olan [BC] üzerine bir dikme indirelim ve dikme ayağına H noktası diyelim.
• 2. Adım: Oluşan ABHD bir dikdörtgen olur. Bu durumda:
• DH = AB = \(12\) cm
• BH = AD = \(5\) cm
• 3. Adım: HC uzunluğunu bulalım:
• HC = BC - BH = \(14 - 5 = 9\) cm
• 4. Adım: DHC dik üçgeninde C açısının tanjant değerini hesaplayalım:
\[\tan(C) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}\] \[\tan(C) = \frac{DH}{HC} = \frac{12}{9}\]
• Sadeleştirme yaparsak:
\[\tan(C) = \frac{4}{3}\]

✅ Cevap: C açısının tanjant değeri \(\frac{4}{3}\) olarak bulunur.

Bu problemi bir dik üçgen modeli oluşturarak çözelim:

• 1. Adım: Merdiven hipotenüs konumundadır ve uzunluğu \(18\) metredir.
• 2. Adım: Merdivenin yerle yaptığı açı \(60^\circ\) dir. Bizden istenen yükseklik, bu açının karşısındaki dik kenardır.
• 3. Adım: Karşı kenar ve hipotenüs ilişkisinden sinüs fonksiyonunu kullanalım:
\[\sin(60^\circ) = \frac{\text{Yükseklik}}{\text{Merdiven Boyu}}\] \[\sin(60^\circ) = \frac{h}{18}\]
• 4. Adım: \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) değerini yerine yazalım:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{18}\] \[2 \times h = 18\sqrt{3}\] \[h = 9\sqrt{3}\text{ metre}\]

✅ Cevap: Merdivenin ulaştığı noktanın yerden yüksekliği \(9\sqrt{3}\) metredir.

Günlük hayattaki eğim kavramı, trigonometrideki tanjant değerine karşılık gelir:

• 1. Adım: Eğim formülü:
\[\text{Eğim} = \tan(\alpha) = \frac{\text{Dikey Yükseklik}}{\text{Yatay Uzunluk}}\]
• 2. Adım: Verilen değerleri formülde yerine yazalım. Maksimum eğim \(0.1\) ve yükseklik \(0.8\) metredir:
\[0.1 = \frac{0.8}{x}\]
• Burada \(x\) rampanın yatay uzunluğudur.
• 3. Adım: Denklemi çözelim:
\[x = \frac{0.8}{0.1} = 8\text{ metre}\]

✅ Cevap: Rampanın yatay uzunluğu en az \(8\) metre olmalıdır.

Üçgende sinüslü alan formülünü kullanarak çözüme ulaşabiliriz:

• 1. Adım: Sinüslü alan formülü:
\[\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin(A)\]
• 2. Adım: Verilen kenar uzunluklarını ve sinüs değerini formülde yerine yazalım:
• \(b = AC = 10\) cm
• \(c = AB = 8\) cm
• \(\sin(A) = \frac{3}{4}\)
• 3. Adım: Alanı hesaplayalım:
\[\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 \times \frac{3}{4}\] \[\text{Alan}(ABC) = 40 \times \frac{3}{4}\] \[\text{Alan}(ABC) = 10 \times 3 = 30\]

✅ Cevap: ABC üçgeninin alanı \(30\) \(\text{cm}^2\) olarak bulunur.