📄 10. Sınıf Matematik: Trigonometri, bölünebilme kuralları Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Sayının 4 ile bölümünden kalan 2 ise, son iki basamağı olan \(B4\) sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. \(B4\) sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 ise, \(B4\) sayısı 4k+2 şeklinde olmalıdır. \(B\) yerine 0, 2, 4, 6, 8 yazılabilir. Yani \(04, 24, 44, 64, 84\) sayıları 4 ile tam bölünür. Kalan 2 olması için \(B4\) sayısının \(06, 26, 46, 66, 86\) olması gerekir. Ancak \(B\) bir rakam olduğu için \(B\) yerine 0, 2, 4, 6, 8 yazıldığında \(04, 24, 44, 64, 84\) sayılarının 4 ile bölümünden kalan 0'dır. O zaman \(B4\) sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 olması için \(B\) yerine 0, 1, 2, ..., 9 rakamlarını deneyelim: \(B=0 \Rightarrow 04\) kalan 0. \(B=1 \Rightarrow 14\) kalan 2. \(B=2 \Rightarrow 24\) kalan 0. \(B=3 \Rightarrow 34\) kalan 2. \(B=4 \Rightarrow 44\) kalan 0. \(B=5 \Rightarrow 54\) kalan 2. \(B=6 \Rightarrow 64\) kalan 0. \(B=7 \Rightarrow 74\) kalan 2. \(B=8 \Rightarrow 84\) kalan 0. \(B=9 \Rightarrow 94\) kalan 2. Dolayısıyla \(B\) rakamı 1, 3, 5, 7, 9 olabilir.
Şimdi sayının 3 ile bölümünden kalan 1'dir. Rakamları toplamı \(2+A+3+B+4 = 9+A+B\) olmalıdır. \(9+A+B \equiv 1 \pmod{3}\) olmalıdır. Bu durumda \(A+B\) toplamı 3'ün katından 1 fazla olmalıdır. Yani \(A+B\) toplamının 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 gibi değerler alması gerekir.
\(B\) için bulduğumuz değerleri sırasıyla deneyelim:
- Eğer \(B=1\) ise, \(A+1 \in \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19\}\). Buradan \(A \in \{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18\}\). A bir rakam olduğu için \(A \in \{0, 3, 6, 9\}\).
- Eğer \(B=3\) ise, \(A+3 \in \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19\}\). Buradan \(A \in \{-2, 1, 4, 7, 10, 13, 16\}\). A bir rakam olduğu için \(A \in \{1, 4, 7\}\).
- Eğer \(B=5\) ise, \(A+5 \in \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19\}\). Buradan \(A \in \{-4, -1, 2, 5, 8, 11, 14\}\). A bir rakam olduğu için \(A \in \{2, 5, 8\}\).
- Eğer \(B=7\) ise, \(A+7 \in \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19\}\). Buradan \(A \in \{-6, -3, 0, 3, 6, 9, 12\}\). A bir rakam olduğu için \(A \in \{0, 3, 6, 9\}\).
- Eğer \(B=9\) ise, \(A+9 \in \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19\}\). Buradan \(A \in \{-8, -5, -2, 1, 4, 7, 10\}\). A bir rakam olduğu için \(A \in \{1, 4, 7\}\).
A'nın alabileceği tüm farklı değerler: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\). Bu değerlerin toplamı \(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45\).

💡 Çözüm Adımları:

Verilen bilgilere göre, bir dik üçgende \(sin\alpha = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{8}{17}\) olarak verilmiştir. Karşı dik kenar 8 birim, hipotenüs 17 birimdir. Dik üçgende Pisagor Teoremi'ni kullanarak komşu dik kenarı bulabiliriz:
\(a^2 + b^2 = c^2\)
\(8^2 + (komşu)^2 = 17^2\)
\(64 + (komşu)^2 = 289\)
\((komşu)^2 = 289 - 64\)
\((komşu)^2 = 225\)
\(komşu = \sqrt{225} = 15\) birimdir.
Şimdi \(cos\alpha\) ve \(tan\alpha\) değerlerini hesaplayalım:
\(cos\alpha = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{15}{17}\)
\(tan\alpha = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} = \frac{8}{15}\)
İstenen ifade \(cos\alpha + tan\alpha\) olduğuna göre:
\(cos\alpha + tan\alpha = \frac{15}{17} + \frac{8}{15}\)
Paydaları eşitlemek için 17 ve 15'in en küçük ortak katı olan \(17 \cdot 15 = 255\) sayısını kullanalım:
\(cos\alpha + tan\alpha = \frac{15 \cdot 15}{17 \cdot 15} + \frac{8 \cdot 17}{15 \cdot 17}\)
\(cos\alpha + tan\alpha = \frac{225}{255} + \frac{136}{255}\)
\(cos\alpha + tan\alpha = \frac{225 + 136}{255}\)
\(cos\alpha + tan\alpha = \frac{361}{255}\)
Sonuç: \(cos\alpha + tan\alpha = \frac{361}{255}\).

💡 Çözüm Adımları:

Trigonometrik oranların işaretleri, açının birim çemberde hangi bölgede olduğuna göre değişir:
1. \(sin(150^\circ)\): \(150^\circ\) açısı 2. bölgededir. 2. bölgede sinüs değeri pozitif (+) işaretlidir. (\(sin(180^\circ - 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\))
2. \(cos(240^\circ)\): \(240^\circ\) açısı 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs değeri negatif (-) işaretlidir. (\(cos(180^\circ + 60^\circ) = -cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}\))
3. \(tan(310^\circ)\): \(310^\circ\) açısı 4. bölgededir. 4. bölgede tanjant değeri negatif (-) işaretlidir. (\(tan(360^\circ - 50^\circ) = -tan(50^\circ)\))
4. \(cot(45^\circ)\): \(45^\circ\) açısı 1. bölgededir. 1. bölgede kotanjant değeri pozitif (+) işaretlidir. (\(cot(45^\circ) = 1\))
Özetle:
- \(sin(150^\circ)\) : Pozitif

- \(cos(240^\circ)\) : Negatif

- \(tan(310^\circ)\) : Negatif

- \(cot(45^\circ)\) : Pozitif