🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri Birim Çember Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Trigonometri Birim Çember Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birim çember üzerindeki \( P(x, y) \) noktasının koordinatları veriliyor. Eğer \( x = \frac{3}{5} \) ise, \( y \) değeri kaçtır? (Nokta birinci bölgededir.) 💡
Çözüm:
- Birim çember denklemi \( x^2 + y^2 = 1 \) olarak verilir.
- Verilen \( x \) değeri \( \frac{3}{5} \) olarak biliyoruz.
- Denklemde \( x \) yerine \( \frac{3}{5} \) yazalım: \( \left(\frac{3}{5}\right)^2 + y^2 = 1 \)
- Karesini alalım: \( \frac{9}{25} + y^2 = 1 \)
- \( y^2 \) yalnız bırakalım: \( y^2 = 1 - \frac{9}{25} \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( y^2 = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( y = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \)
- Soruda noktanın birinci bölgede olduğu belirtildiği için \( y \) değeri pozitif olmalıdır.
- Sonuç olarak, \( y = \frac{4}{5} \) bulunur. ✅
Örnek 2:
Birim çember üzerinde \( \theta \) açısı ile gösterilen bir noktanın koordinatları \( \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) olarak verilmiştir. Bu noktanın birim çember üzerindeki açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları \( (\cos \theta, \sin \theta) \) şeklinde ifade edilir.
- Verilen nokta \( \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) olduğundan, \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \) ve \( \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olur.
- Bu değerlere sahip açıyı düşünelim. Kosinüs değeri negatif ve sinüs değeri pozitif olduğunda açı ikinci bölgededir.
- Temel açılardan \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) ve \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz.
- İkinci bölgede kosinüsü \( -\frac{1}{2} \) olan açı \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur.
- Aynı zamanda sinüsü \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) olan açı da ikinci bölgede \( 120^\circ \) dir.
- Dolayısıyla, noktanın birim çember üzerindeki açısı \( 120^\circ \) dir. 👉
Örnek 3:
Birim çember üzerinde \( A \) noktasının x-eksenine uzaklığı \( \frac{1}{3} \) birimdir. \( A \) noktası üçüncü bölgede olduğuna göre, bu noktanın koordinatları toplamı kaçtır? ➕
Çözüm:
- Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları \( (x, y) \) olsun.
- Bir noktanın x-eksenine uzaklığı, noktanın y-koordinatının mutlak değerine eşittir.
- Yani, \( |y| = \frac{1}{3} \) olur.
- Nokta üçüncü bölgede olduğundan, hem x hem de y koordinatları negatiftir.
- Bu durumda \( y = -\frac{1}{3} \) olur.
- Birim çember denklemini kullanalım: \( x^2 + y^2 = 1 \)
- \( y \) değerini yerine koyalım: \( x^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \)
- Karesini alalım: \( x^2 + \frac{1}{9} = 1 \)
- \( x^2 \) yalnız bırakalım: \( x^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
- Nokta üçüncü bölgede olduğu için \( x \) negatif olmalıdır: \( x = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \)
- Noktanın koordinatları \( \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}, -\frac{1}{3}\right) \) olur.
- Koordinatları toplamı: \( -\frac{2\sqrt{2}}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{-2\sqrt{2} - 1}{3} \) olur. ✅
Örnek 4:
Bir radyo vericisinin sinyal gücünün, vericiden uzaklıkla nasıl değiştiğini modellemek için birim çember kullanılabilir. Eğer bir noktadaki sinyal gücü \( \frac{1}{2} \) ise ve bu noktanın birim çemberdeki x-koordinatı \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) ise, y-koordinatı ne olur? (Bu modellemede x ve y, sinyalin genlik ve fazını temsil edebilir.) 📡
Çözüm:
- Birim çember denklemimiz \( x^2 + y^2 = 1 \) dir.
- Verilen x-koordinatı \( x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- Denklemde yerine koyalım: \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + y^2 = 1 \)
- Karesini alalım: \( \frac{3}{4} + y^2 = 1 \)
- \( y^2 \) yalnız bırakalım: \( y^2 = 1 - \frac{3}{4} \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( y^2 = \frac{1}{4} \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( y = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2} \)
- Bu durumda y-koordinatı \( \frac{1}{2} \) veya \( -\frac{1}{2} \) olabilir. Modelin bağlamına göre hangi bölgede olduğu belirtilirse kesin sonuç bulunur. 📌
Örnek 5:
Birim çember üzerindeki \( A \) noktasının koordinatları \( \left(\cos 210^\circ, \sin 210^\circ\right) \) olarak verilmiştir. Bu noktanın \( x \) ve \( y \) koordinatlarını bulunuz. 🔢
Çözüm:
- \( 210^\circ \) açısı üçüncü bölgededir.
- Temel açısı \( 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ \) olur.
- Üçüncü bölgede kosinüs negatiftir, sinüs negatiftir.
- \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğundan, \( \cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) olur.
- \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) olduğundan, \( \sin 210^\circ = -\frac{1}{2} \) olur.
- Dolayısıyla, \( A \) noktasının koordinatları \( \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right) \) dir. ✅
Örnek 6:
Birim çember üzerinde \( P \) noktasının koordinatları \( \left(\frac{5}{13}, y\right) \) ve bu nokta birinci bölgededir. \( Q \) noktasının koordinatları \( \left(x, -\frac{12}{13}\right) \) ve bu nokta dördüncü bölgededir. \( P \) ve \( Q \) noktalarının y-eksenine uzaklıkları toplamı kaçtır? ↔️
Çözüm:
- P noktası için:
- Birim çember denklemi \( x^2 + y^2 = 1 \) dir.
- \( P \) noktasının x-koordinatı \( \frac{5}{13} \) ve birinci bölgede.
- \( \left(\frac{5}{13}\right)^2 + y^2 = 1 \)
- \( \frac{25}{169} + y^2 = 1 \)
- \( y^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \)
- \( y = \pm \frac{12}{13} \). Birinci bölgede olduğu için \( y = \frac{12}{13} \).
- \( P \) noktasının y-eksenine uzaklığı \( |x| = \left|\frac{5}{13}\right| = \frac{5}{13} \) olur.
- Q noktası için:
- \( Q \) noktasının y-koordinatı \( -\frac{12}{13} \) ve dördüncü bölgede.
- \( x^2 + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 \)
- \( x^2 + \frac{144}{169} = 1 \)
- \( x^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \)
- \( x = \pm \frac{5}{13} \). Dördüncü bölgede olduğu için \( x = \frac{5}{13} \).
- \( Q \) noktasının y-eksenine uzaklığı \( |x| = \left|\frac{5}{13}\right| = \frac{5}{13} \) olur.
- Toplam uzaklık:
- \( P \) noktasının y-eksenine uzaklığı \( \frac{5}{13} \)
- \( Q \) noktasının y-eksenine uzaklığı \( \frac{5}{13} \)
- Toplamları: \( \frac{5}{13} + \frac{5}{13} = \frac{10}{13} \) olur. ➕
Örnek 7:
Birim çember üzerinde \( \alpha \) açısı için \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) olarak verilmiştir. \( \alpha \) açısı ikinci bölgede olduğuna göre, \( \sin \alpha \) değeri kaçtır? 📐
Çözüm:
- Birim çember denklemi \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) dir.
- Verilen \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) değerini denklemde yerine koyalım:
- \( \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \sin^2 \alpha = 1 \)
- Karesini alalım: \( \frac{16}{25} + \sin^2 \alpha = 1 \)
- \( \sin^2 \alpha \) yalnız bırakalım: \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( \sin^2 \alpha = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \)
- Soruda \( \alpha \) açısının ikinci bölgede olduğu belirtilmiştir.
- İkinci bölgede sinüs değeri pozitiftir.
- Bu nedenle, \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) olur. ✅
Örnek 8:
Birim çember üzerindeki bir \( P \) noktasının koordinatları \( (\cos \theta, \sin \theta) \) şeklindedir. Eğer \( \cos \theta = \frac{1}{3} \) ve \( \theta \) açısı dördüncü bölgede ise, \( P \) noktasının x-eksenine uzaklığı ile y-eksenine uzaklığının farkının mutlak değeri kaçtır? 📏
Çözüm:
- Birim çember denklemi \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \) dir.
- Verilen \( \cos \theta = \frac{1}{3} \) değerini yerine koyalım:
- \( \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \sin^2 \theta = 1 \)
- \( \frac{1}{9} + \sin^2 \theta = 1 \)
- \( \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
- \( \sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
- \( \theta \) açısı dördüncü bölgede olduğundan, sinüs değeri negatiftir.
- Dolayısıyla, \( \sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \) olur.
- \( P \) noktasının koordinatları \( \left(\frac{1}{3}, -\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \) olur.
- Noktanın x-eksenine uzaklığı \( |y| = \left|-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right| = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
- Noktanın y-eksenine uzaklığı \( |x| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \)
- Bu uzaklıkların farkının mutlak değeri: \( \left| \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{2} - 1}{3} \right| \)
- \( 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \) olduğundan, \( 2\sqrt{2} - 1 \) pozitiftir.
- Sonuç olarak, fark \( \frac{2\sqrt{2} - 1}{3} \) olur. 🚀
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-trigonometri-birim-cember/sorular