💡 10. Sınıf Matematik: Ters Orantıdan Türetilen Rasyonel Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Bu problemde işçi sayısı ile işin bitirilme süresi arasında ters orantı vardır. İşçi sayısı arttıkça işin bitirilme süresi azalır.

• Adım 1: Ters orantılı çoklukları çarpım durumunda yazarız. İşçi sayısı (x) ile gün sayısı (y) arasındaki ilişki şu şekildedir: \( x \cdot y = k \) (sabit).
• Adım 2: Verilen bilgileri kullanarak sabiti (k) bulalım. \( 10 \text{ işçi} \cdot 6 \text{ gün} = 60 \). Demek ki \( k = 60 \).
• Adım 3: Şimdi 15 işçi için gün sayısını bulalım. \( 15 \cdot y = 60 \).
• Adım 4: y'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 15'e böleriz: \( y = \frac{60}{15} \).
• Adım 5: Sonucu hesaplarız: \( y = 4 \) gün. ✅

Yani, 15 işçi aynı işi 4 günde bitirir. Bu durum, işçi sayısı \( x \) ve gün sayısı \( y \) olmak üzere \( y = \frac{60}{x} \) rasyonel fonksiyonu ile ifade edilir.

Köpek sayısı ile yiyeceğin yeteceği gün sayısı arasında ters orantı bulunur. Köpek sayısı arttıkça yiyecek daha çabuk biter.

• Adım 1: Ters orantı ilişkisini çarpım olarak ifade edelim: Köpek sayısı (x) * Gün sayısı (y) = Sabit (k).
• Adım 2: Verilen değerlerle sabiti bulalım: \( 20 \text{ köpek} \times 12 \text{ gün} = 240 \). Yani \( k = 240 \).
• Adım 3: 30 köpek için kaç gün yeteceğini hesaplayalım: \( 30 \times y = 240 \).
• Adım 4: y'yi bulmak için denklemi çözelim: \( y = \frac{240}{30} \).
• Adım 5: Sonucu bulalım: \( y = 8 \) gün. ✅

30 köpeğe yiyecek 8 gün yeter. Bu ilişki, köpek sayısı \( x \) ve gün sayısı \( y \) olmak üzere \( y = \frac{240}{x} \) rasyonel fonksiyonu ile temsil edilir.

Hız ile sürenin ters orantılı olduğunu biliyoruz. Hız artarsa, aynı mesafeyi alma süresi azalır.

• Adım 1: Ters orantı kuralını uygulayalım: Hız (v) * Süre (t) = Sabit (k). Bu sabit, alınan yolun uzunluğudur.
• Adım 2: İlk durumdaki verileri kullanarak sabiti bulalım. Diyelim ki ilk hız \( v_1 \) ve ilk süre \( t_1 = 3 \) saat. O zaman \( k = v_1 \cdot 3 \).
• Adım 3: Bisikletli hızını 2 katına çıkarırsa, yeni hız \( v_2 = 2 \cdot v_1 \) olur. Yeni süre \( t_2 \) olsun.
• Adım 4: Ters orantı gereği, \( v_2 \cdot t_2 = k \) olmalıdır. Yerine koyarsak: \( (2 \cdot v_1) \cdot t_2 = v_1 \cdot 3 \).
• Adım 5: \( v_1 \) her iki tarafta da olduğu için sadeleşir: \( 2 \cdot t_2 = 3 \).
• Adım 6: \( t_2 \) 'yi bulmak için her iki tarafı 2'ye böleriz: \( t_2 = \frac{3}{2} \) saat. ✅

Bisikletli hızını 2 katına çıkarırsa, aynı yolu 1.5 saatte (veya \( \frac{3}{2} \) saatte) gider. Eğer ilk hız \( v \) ise, yol \( 3v \) olur. Yeni hız \( 2v \) ise, süre \( t \) olmak üzere \( 2v \cdot t = 3v \) olur, buradan da \( t = \frac{3v}{2v} = \frac{3}{2} \) bulunur.

Bu soruda hem kişi sayısı ile yiyecek miktarı hem de kişi sayısı ile kişi başı yiyecek miktarı arasında ters orantı ilişkileri bulunmaktadır.

• Adım 1: Toplam yiyecek miktarını hesaplayalım. Kişi sayısı (x), gün sayısı (y) ve kişi başı günlük paket sayısı (z) arasındaki ilişki: Toplam Paket = \( x \cdot y \cdot z \).
• Adım 2: İlk durumda: \( x = 5 \) kişi, \( y = 7 \) gün, \( z = 2 \) paket/kişi/gün. Toplam Paket = \( 5 \cdot 7 \cdot 2 = 70 \) paket.
• Adım 3: Şimdi kişi sayısı 7 olduğunda ve toplam yiyecek 70 paket olduğunda, kişi başı günlük kaç paket yiyecek düşeceğini bulalım. Yeni kişi sayısı \( x' = 7 \). Toplam Paket = 70. Gün sayısı \( y' = 7 \) (kamp süresi değişmedi). Kişi başı günlük paket sayısı \( z' \) olsun.
• Adım 4: Denklemimiz: \( x' \cdot y' \cdot z' = \text{Toplam Paket} \). Yerine koyalım: \( 7 \cdot 7 \cdot z' = 70 \).
• Adım 5: \( 49 \cdot z' = 70 \).
• Adım 6: \( z' \) 'yi bulmak için her iki tarafı 49'a böleriz: \( z' = \frac{70}{49} \).
• Adım 7: Sadeleştirme yaparsak: \( z' = \frac{10}{7} \) paket/kişi/gün. ✅

Yani, 7 kişi olursa, kişi başı günlük \( \frac{10}{7} \) paket yiyecek düşer. Bu, yaklaşık olarak 1.43 paket demektir.

Bu durumda, toplam hamur miktarı sabittir. Hamurun bölündüğü parça sayısı ile her bir parçanın miktarı arasında ters orantı vardır.

• Adım 1: Toplam hamuru \( H \) olarak kabul edelim.
• Adım 2: İlk durumda, hamur 12 eşit parçaya bölünüyor. Her bir parçanın miktarı \( m_1 = \frac{H}{12} \) olur.
• Adım 3: İkinci durumda, hamur 18 eşit parçaya bölünüyor. Her bir parçanın miktarı \( m_2 = \frac{H}{18} \) olur.
• Adım 4: Parça sayısının artmasıyla her bir parçanın miktarının azaldığını görüyoruz. Bu bir ters orantı örneğidir.
• Adım 5: \( m_1 \) ve \( m_2 \) arasındaki ilişkiyi inceleyelim: \( m_2 = \frac{H}{18} \) ve \( m_1 = \frac{H}{12} \).
• Adım 6: \( m_2 \) 'yi \( m_1 \) cinsinden ifade etmek istersek: \( H = 12 \cdot m_1 \). Bunu \( m_2 \) denkleminde yerine koyalım: \( m_2 = \frac{12 \cdot m_1}{18} \).
• Adım 7: Sadeleştirme yaparsak: \( m_2 = \frac{2}{3} m_1 \). ✅

Yani, hamur 18 eşit parçaya bölündüğünde, her bir parçanın miktarı ilk duruma göre \( \frac{2}{3} \) katına iner. Miktarlar azalır.

Üretim hızı ile bir işi tamamlama süresi arasında ters orantı vardır. Hız azalırsa, aynı işi bitirme süresi artar.

• Adım 1: İlk üretim hızı \( v_1 = 50 \) adet/saat.
• Adım 2: Üretim hızı %20 azaltılıyor. Azalma miktarı: \( 50 \times \frac{20}{100} = 50 \times 0.20 = 10 \) adet/saat.
• Adım 3: Yeni üretim hızı \( v_2 = v_1 - 10 = 50 - 10 = 40 \) adet/saat.
• Adım 4: Belirli bir miktar ürünü (örneğin N adet) üretmek için gereken süreyi düşünelim.
• Adım 5: İlk durumda süre \( t_1 = \frac{N}{v_1} = \frac{N}{50} \) saat.
• Adım 6: İkinci durumda süre \( t_2 = \frac{N}{v_2} = \frac{N}{40} \) saat.
• Adım 7: Süredeki uzama miktarını bulalım: \( \Delta t = t_2 - t_1 = \frac{N}{40} - \frac{N}{50} \).
• Adım 8: Paydaları eşitleyelim (Ortak Kat 200): \( \Delta t = \frac{5N}{200} - \frac{4N}{200} = \frac{N}{200} \) saat. ✅

Üretim hızı %20 azaltıldığında, belirli bir miktar ürünü üretmek için gereken süre \( \frac{N}{200} \) saat uzar. Eğer N=200 adet ise, süre 1 saat uzar. Bu durum, üretilecek ürün miktarı N olmak üzere, hız \( v \) ve süre \( t \) için \( t = \frac{N}{v} \) rasyonel fonksiyonu ile ifade edilir. Hızın \( v(x) = 50 - 0.20 \cdot 50 \cdot x \) (x=1, hız azaldı) gibi bir fonksiyonla değiştiği düşünülebilir.

Bu problemde, musluk sayısı ile havuzun dolma süresi arasında ters orantı vardır. Musluk sayısı arttıkça dolma süresi azalır.

• Adım 1: Ters orantı kuralını çarpım olarak yazalım: Musluk Sayısı (x) * Dolma Süresi (y) = Sabit (k). Bu sabit, havuzun tamamını temsil eder.
• Adım 2: Tek musluk için verileri kullanalım: \( 1 \text{ musluk} \times 6 \text{ saat} = 6 \). Demek ki \( k = 6 \).
• Adım 3: Şimdi 2 musluk için dolma süresini (y) bulalım: \( 2 \text{ musluk} \times y = 6 \).
• Adım 4: y'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 2'ye böleriz: \( y = \frac{6}{2} \).
• Adım 5: Sonucu hesaplarız: \( y = 3 \) saat. ✅

Eğer havuzu 2 musluk dolduracak olsaydı, havuz 3 saatte dolardı. Bu ilişki, musluk sayısı \( x \) ve dolma süresi \( y \) olmak üzere \( y = \frac{6}{x} \) rasyonel fonksiyonu ile ifade edilir.

Kumaş uzunluğu ile dokuma süresi arasında doğru orantı vardır. Kumaş uzadıkça dokuma süresi de artar.

• Adım 1: Doğru orantı kuralını kesir olarak yazalım: \( \frac{\text{Kumaş Uzunluğu}_1}{\text{Süre}_1} = \frac{\text{Kumaş Uzunluğu}_2}{\text{Süre}_2} \).
• Adım 2: Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{100 \text{ metre}}{20 \text{ dakika}} = \frac{150 \text{ metre}}{y \text{ dakika}} \).
• Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 100 \cdot y = 150 \cdot 20 \).
• Adım 4: Denklemi çözelim: \( 100y = 3000 \).
• Adım 5: y'yi bulmak için her iki tarafı 100'e böleriz: \( y = \frac{3000}{100} \).
• Adım 6: Sonucu hesaplarız: \( y = 30 \) dakika. ✅

150 metrelik bir kumaşı dokumak 30 dakika sürer. Bu problemde doğrudan ters orantı olmasa da, hızın sabit olması durumunda, miktar arttıkça süre artar. Eğer hız \( v \) ise, \( \text{Süre} = \frac{\text{Miktar}}{v} \) şeklinde bir rasyonel fonksiyon elde edilir. Burada \( v = \frac{100}{20} = 5 \) metre/dakika. O zaman \( y = \frac{150}{5} = 30 \) dakika olur.

Bu problemde, aracın hızı ile aynı mesafeyi alma süresi arasında ters orantı vardır. Hız artarsa, süre azalır.

• Adım 1: İlk hızını hesaplayalım. Hız = Mesafe / Süre. \( v_1 = \frac{240 \text{ km}}{4 \text{ saat}} = 60 \) km/saat.
• Adım 2: Araç hızını 20 km/saat artırıyor. Yeni hız \( v_2 = v_1 + 20 = 60 + 20 = 80 \) km/saat.
• Adım 3: Aynı mesafeyi (240 km) yeni hızla ne kadar sürede alacağını hesaplayalım. Süre = Mesafe / Hız.
• Adım 4: Yeni süre \( t_2 = \frac{240 \text{ km}}{80 \text{ km/saat}} \).
• Adım 5: Sonucu hesaplarız: \( t_2 = 3 \) saat. ✅

Araç hızını 20 km/saat artırırsa, aynı yolu 3 saatte alır. Bu, ters orantı mantığıyla da çözülebilir: \( v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2 \). \( 60 \cdot 4 = 80 \cdot t_2 \). \( 240 = 80 \cdot t_2 \). \( t_2 = \frac{240}{80} = 3 \) saat.