💡 10. Sınıf Matematik: Ters fonksiyon, doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Bir fonksiyonun tersini bulmak için temel adım \( x \) değişkenini yalnız bırakmaktır. İşte adım adım çözüm:

• Adım 1: Fonksiyonu \( y \) değişkenine eşitleyelim:
  \( y = 4x - 12 \)
• Adım 2: Amacımız \( x \)'i tek başına bırakmak. Eşitliğin her iki tarafına \( 12 \) ekleyelim:
  \( y + 12 = 4x \)
• Adım 3: Her iki tarafı \( 4 \) ile bölelim:
  \[ x = \frac{y + 12}{4} \]
• Adım 4: Son olarak \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \), \( y \) yerine ise \( x \) yazarak ters fonksiyonu elde edelim:
  \[ f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{4} \]

Rasyonel yapıda olan ancak paydasında değişken bulunmayan bu tür doğrusal fonksiyonlarda şu adımları izleriz:

• Adım 1: Fonksiyonu \( y \)'ye eşitleyelim:
  \( y = \frac{2x + 5}{3} \)
• Adım 2: İçler dışlar çarpımı yaparak paydayı karşıya atalım:
  \( 3y = 2x + 5 \)
• Adım 3: \( 5 \) sayısını karşıya gönderelim:
  \( 3y - 5 = 2x \)
• Adım 4: Her iki tarafı \( 2 \)'ye bölerek \( x \)'i yalnız bırakalım:
  \[ x = \frac{3y - 5}{2} \]
• Adım 5: Değişkenleri yer değiştirelim:
  \[ f^{-1}(x) = \frac{3x - 5}{2} \]

Pay ve paydasında \( x \) bulunan rasyonel fonksiyonların tersini bulurken pratik kuralı uygulayabiliriz:

• Kural: \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) ise \( f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a} \) olur.
• Adım 1: Verilen fonksiyonda katsayıları belirleyelim:
  \( a = 3 \), \( b = 1 \), \( c = 1 \), \( d = -2 \).
• Adım 2: Paydaki \( x \)'in katsayısı (\( 3 \)) ile paydadaki sabit sayıyı (\( -2 \)) hem yer hem de işaret değiştirerek yerleştirelim:
  Paydadaki \( -2 \), paya \( +2 \) olarak geçer.
  Paydaki \( 3 \), paydaya \( -3 \) olarak geçer.
• Adım 3: Yeni fonksiyonu yazalım:
  \[ f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} \]

Karesel fonksiyonların tersinin alınabilmesi için fonksiyonun bire bir ve örten olduğu bir aralık seçilmelidir.

• Adım 1: Fonksiyonu \( y \)'ye eşitleyelim:
  \( y = (x - 3)^2 \)
• Adım 2: Her iki tarafın karekökünü alalım:
  \( \sqrt{y} = \sqrt{(x - 3)^2} \)
  \( \sqrt{y} = |x - 3| \)
• Adım 3: Tanım kümesine bakalım. \( x \ge 3 \) olduğu için \( x - 3 \) ifadesi mutlak değer dışına aynen çıkar:
  \( \sqrt{y} = x - 3 \)
• Adım 4: \( x \)'i yalnız bırakmak için \( -3 \)'ü karşıya atalım:
  \( x = \sqrt{y} + 3 \)
• Adım 5: Ters fonksiyonu yazalım:
  \[ f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 3 \]

Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alma yöntemini kullanacağız:

• Adım 1: \( y = \sqrt{x - 2} \)
• Adım 2: Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:
  \( y^2 = (\sqrt{x - 2})^2 \)
  \( y^2 = x - 2 \)
• Adım 3: \( -2 \) sayısını karşıya göndererek \( x \)'i yalnız bırakalım:
  \( x = y^2 + 2 \)
• Adım 4: Değişkenleri yer değiştirelim:
  \[ f^{-1}(x) = x^2 + 2 \]

Bu problemde aslında bizden istenen, verilen \( F(x) \) fonksiyonunun tersini bulmaktır. Çünkü ters fonksiyon, sonuçtan (Fahrenheit) başlangıca (Celsius) gitmemizi sağlar.

• Adım 1: \( y = \frac{9x}{5} + 32 \) (Burada \( y \) Fahrenheit'ı, \( x \) Celsius'u temsil eder).
• Adım 2: \( 32 \)'yi karşıya atalım:
  \( y - 32 = \frac{9x}{5} \)
• Adım 3: Paydadaki \( 5 \) ile karşıyı çarpalım:
  \( 5(y - 32) = 9x \)
• Adım 4: Her iki tarafı \( 9 \)'a bölelim:
  \[ x = \frac{5(y - 32)}{9} \]
• Adım 5: Değişkenleri düzenleyelim:
  \[ F^{-1}(x) = \frac{5}{9}(x - 32) \]

Bu soruyu fonksiyon kurarak veya sondan başa giderek (ters fonksiyon mantığıyla) çözebiliriz.

• Yöntem 1 (Fonksiyon Kurma):
  Uygulanan işlemler: \( f(x) = \frac{2x + 6}{3} \).
  Çıktı \( 10 \) ise: \( \frac{2x + 6}{3} = 10 \)
  \( 2x + 6 = 30 \)
  \( 2x = 24 \)
  \( x = 12 \).
• Yöntem 2 (Ters Fonksiyon):
  Yapılan işlemlerin tam tersini, ters sırada uygulayalım:
  1. Bölmenin tersi çarpmadır: \( 10 \times 3 = 30 \)
  2. Toplamanın tersi çıkarmadır: \( 30 - 6 = 24 \)
  3. Çarpmanın tersi bölmedir: \( 24 / 2 = 12 \)

Bu tür sorularda önce \( f(x) \) fonksiyonunu bulup sonra tersini alabiliriz veya doğrudan ters fonksiyon özelliğini kullanabiliriz.

• Adım 1: \( f(A) = B \) ise \( f^{-1}(B) = A \) kuralını hatırlayalım.
  Bu durumda: \( f^{-1}(6x + 4) = 3x - 2 \) olur.
• Adım 2: \( f^{-1} \) fonksiyonunun içini \( x \) yapmak istiyoruz. Bunun için \( 6x + 4 = a \) diyelim ve \( x \)'i çekelim:
  \( 6x = a - 4 \implies x = \frac{a - 4}{6} \).
• Adım 3: Bulduğumuz \( x \) değerini eşitliğin sağ tarafında yerine yazalım:
  \[ f^{-1}(a) = 3 \left( \frac{a - 4}{6} \right) - 2 \]
• Adım 4: Sadeleştirmeleri yapalım:
  \[ f^{-1}(a) = \frac{a - 4}{2} - 2 \]
  Payda eşitleyelim:
  \[ f^{-1}(a) = \frac{a - 4 - 4}{2} = \frac{a - 8}{2} \]
• Adım 5: Değişkeni \( x \) olarak yazalım:
  \[ f^{-1}(x) = \frac{x - 8}{2} \]