💡 10. Sınıf Matematik: Tepe noktasi Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıda verilen ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz:
\[ f(x) = x^2 - 6x + 13 \]
Çözüm ve Açıklama
Bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) sembolü ile gösterilir. Bu koordinatları adım adım hesaplayalım:
Adım 1: Fonksiyonun katsayılarını belirleyelim. \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 13 \)
Adım 2: Tepe noktasının apsisi olan \( r \) değerini \( r = - \frac{b}{2a} \) formülü ile bulalım: \[ r = - \frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \]
Adım 3: Tepe noktasının ordinatı olan \( k \) değerini bulmak için \( r \) değerini fonksiyonda yerine yazalım: \[ k = f(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 13 \] \[ k = 9 - 18 + 13 = 4 \]
✅ Bu durumda parabolün tepe noktası \( T(3, 4) \) noktasıdır.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Denklemi \( f(x) = -2x^2 + 8x - 5 \) olan parabolün tepe noktasının bileşenleri toplamı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Tepe noktası \( T(r, k) \) koordinatlarını bulup toplamamız isteniyor. 💡
Adım 1: Katsayıları yazalım: \( a = -2 \), \( b = 8 \), \( c = -5 \).
Adım 2: \( r \) değerini hesaplayalım: \[ r = - \frac{8}{2 \times (-2)} = - \frac{8}{-4} = 2 \]
Adım 3: \( k \) değerini hesaplayalım: \[ k = f(2) = -2 \times (2^2) + 8 \times 2 - 5 \] \[ k = -2 \times 4 + 16 - 5 \] \[ k = -8 + 16 - 5 = 3 \]
Adım 4: Toplamı bulalım: \[ r + k = 2 + 3 = 5 \]
👉 Sonuç: 5
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( f(x) = x^2 + (m-2)x + 7 \) fonksiyonunun tepe noktası y-ekseni üzerinde olduğuna göre, \( m \) değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) hakkında önemli bir kuralı hatırlayalım: 📌
Bir noktanın y-ekseni üzerinde olması için apsisinin (x değerinin) sıfır olması gerekir.
Yani tepe noktasının apsisi olan \( r = 0 \) olmalıdır.
Tepe noktası formülü: \( r = - \frac{b}{2a} \)
Bu soruda \( a = 1 \) ve \( b = m - 2 \)'dir.
\[ 0 = - \frac{m - 2}{2 \times 1} \]
Payın sıfır olması gerekir: \( m - 2 = 0 \)
Buradan \( m = 2 \) bulunur.
✅ Cevap: 2
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Tepe noktası \( T(2, -1) \) olan ve \( A(0, 3) \) noktasından geçen parabolün denklemini yazınız.
Çözüm ve Açıklama
Tepe noktası bilinen parabol denklemi şu formdadır: \[ f(x) = a(x - r)^2 + k \]
Adım 1: Verilen tepe noktasını \( (r = 2, k = -1) \) formülde yerine koyalım: \[ f(x) = a(x - 2)^2 - 1 \]
Adım 2: Parabolün geçtiği \( A(0, 3) \) noktasını kullanarak \( a \) katsayısını bulalım. Yani \( x = 0 \) için \( y = 3 \) olmalıdır: \[ 3 = a(0 - 2)^2 - 1 \] \[ 3 = a \times 4 - 1 \] \[ 4 = 4a \Rightarrow a = 1 \]
\( f(x) = x^2 - 4x + m + 2 \) fonksiyonunun en küçük değeri 10 olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
İkinci dereceden bir fonksiyonda \( a > 0 \) ise kollar yukarı doğrudur ve fonksiyon en küçük değerini tepe noktasında alır. 📉
Adım 1: Tepe noktasının apsisini (\( r \)) bulalım: \( a = 1 \), \( b = -4 \) \[ r = - \frac{-4}{2 \times 1} = 2 \]
Adım 2: En küçük değer \( k \) değeridir. Soruda \( k = 10 \) olarak verilmiştir. \[ f(r) = k \Rightarrow f(2) = 10 \]
Adım 3: Fonksiyonda \( x \) yerine 2 yazıp 10'a eşitleyelim: \[ 2^2 - 4 \times 2 + m + 2 = 10 \] \[ 4 - 8 + m + 2 = 10 \] \[ m - 2 = 10 \] \[ m = 12 \]
✅ Cevap: 12
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir futbolcu topa vurduğunda, topun yerden yüksekliği zamana bağlı olarak \( h(t) = -t^2 + 6t \) fonksiyonu ile modellenmektedir. (Burada \( t \) saniye, \( h \) metredir.)
Topun ulaşabileceği maksimum yükseklik kaç metredir? ⚽
Çözüm ve Açıklama
Topun izlediği yol bir parabol belirtir ve katsayısı negatif (\( a = -1 \)) olduğu için kollar aşağı doğrudur. Maksimum yükseklik tepe noktasının ordinatıdır (\( k \)).
Adım 1: Maksimum yüksekliğe ulaşılan süreyi (\( r \)) bulalım: \[ r = - \frac{6}{2 \times (-1)} = 3 \text{ saniye} \]
Adım 2: 3. saniyedeki yüksekliği (\( k \)) hesaplayalım: \[ k = h(3) = -(3^2) + 6 \times 3 \] \[ k = -9 + 18 = 9 \text{ metre} \]
Bir mimar, parabolik bir köprü kemeri tasarlıyor. Köprünün ayakları arasındaki mesafe 12 metredir. Köprünün tam ortasındaki en yüksek noktanın zeminden yüksekliği 9 metredir.
Köprünün sol ayağını orijin \( (0, 0) \) kabul edersek, bu parabolün tepe noktasının koordinatları ne olur?
Çözüm ve Açıklama
Soruyu koordinat sistemine dökerek görselleştirelim: 🌉
Adım 1: Köprünün sol ayağı \( (0, 0) \) noktasındadır.
Adım 2: Ayaklar arası mesafe 12 metre ise sağ ayak \( (12, 0) \) noktasındadır.
Adım 3: Parabol simetrik olduğu için tepe noktası tam ortadadır. Apsisi (\( r \)), 0 ile 12'nin tam ortasıdır: \[ r = \frac{0 + 12}{2} = 6 \]
Adım 4: En yüksek nokta 9 metre olarak verilmiş. Bu değer tepe noktasının ordinatıdır (\( k \)): \[ k = 9 \]
📍 Tepe noktasının koordinatları: \( T(6, 9) \)
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir hediyelik eşya dükkanında bir ürünün günlük satışından elde edilen kâr \( P(x) = -x^2 + 40x - 300 \) fonksiyonu ile hesaplanmaktadır. (Burada \( x \) ürünün satış fiyatıdır.)
Maksimum kâr elde etmek için ürünün satış fiyatı kaç TL olmalıdır?
Çözüm ve Açıklama
Kâr fonksiyonu bir parabol belirtir. Maksimum kârı bulmak için tepe noktasını incelemeliyiz. 💰
Adım 1: Fonksiyonun tepe noktasının apsisi (\( r \)), maksimum kârı veren satış fiyatını temsil eder.
Adım 2: Formülü uygulayalım: \( a = -1 \), \( b = 40 \) \[ r = - \frac{40}{2 \times (-1)} = \frac{-40}{-2} = 20 \]
Adım 3: Eğer bizden maksimum kârın kendisi istenseydi, \( x = 20 \) değerini yerine yazardık. Ancak soru bizden sadece satış fiyatını (\( x \)) istiyor.
✅ Maksimum kâr için satış fiyatı 20 TL olmalıdır.
10. Sınıf Matematik: Tepe noktasi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz:
\[ f(x) = x^2 - 6x + 13 \]
Çözüm:
Bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) sembolü ile gösterilir. Bu koordinatları adım adım hesaplayalım:
Adım 1: Fonksiyonun katsayılarını belirleyelim. \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 13 \)
Adım 2: Tepe noktasının apsisi olan \( r \) değerini \( r = - \frac{b}{2a} \) formülü ile bulalım: \[ r = - \frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \]
Adım 3: Tepe noktasının ordinatı olan \( k \) değerini bulmak için \( r \) değerini fonksiyonda yerine yazalım: \[ k = f(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 13 \] \[ k = 9 - 18 + 13 = 4 \]
✅ Bu durumda parabolün tepe noktası \( T(3, 4) \) noktasıdır.
Örnek 2:
Denklemi \( f(x) = -2x^2 + 8x - 5 \) olan parabolün tepe noktasının bileşenleri toplamı kaçtır?
Çözüm:
Tepe noktası \( T(r, k) \) koordinatlarını bulup toplamamız isteniyor. 💡
Adım 1: Katsayıları yazalım: \( a = -2 \), \( b = 8 \), \( c = -5 \).
Adım 2: \( r \) değerini hesaplayalım: \[ r = - \frac{8}{2 \times (-2)} = - \frac{8}{-4} = 2 \]
Adım 3: \( k \) değerini hesaplayalım: \[ k = f(2) = -2 \times (2^2) + 8 \times 2 - 5 \] \[ k = -2 \times 4 + 16 - 5 \] \[ k = -8 + 16 - 5 = 3 \]
Adım 4: Toplamı bulalım: \[ r + k = 2 + 3 = 5 \]
👉 Sonuç: 5
Örnek 3:
\( f(x) = x^2 + (m-2)x + 7 \) fonksiyonunun tepe noktası y-ekseni üzerinde olduğuna göre, \( m \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) hakkında önemli bir kuralı hatırlayalım: 📌
Bir noktanın y-ekseni üzerinde olması için apsisinin (x değerinin) sıfır olması gerekir.
Yani tepe noktasının apsisi olan \( r = 0 \) olmalıdır.
Tepe noktası formülü: \( r = - \frac{b}{2a} \)
Bu soruda \( a = 1 \) ve \( b = m - 2 \)'dir.
\[ 0 = - \frac{m - 2}{2 \times 1} \]
Payın sıfır olması gerekir: \( m - 2 = 0 \)
Buradan \( m = 2 \) bulunur.
✅ Cevap: 2
Örnek 4:
Tepe noktası \( T(2, -1) \) olan ve \( A(0, 3) \) noktasından geçen parabolün denklemini yazınız.
Çözüm:
Tepe noktası bilinen parabol denklemi şu formdadır: \[ f(x) = a(x - r)^2 + k \]
Adım 1: Verilen tepe noktasını \( (r = 2, k = -1) \) formülde yerine koyalım: \[ f(x) = a(x - 2)^2 - 1 \]
Adım 2: Parabolün geçtiği \( A(0, 3) \) noktasını kullanarak \( a \) katsayısını bulalım. Yani \( x = 0 \) için \( y = 3 \) olmalıdır: \[ 3 = a(0 - 2)^2 - 1 \] \[ 3 = a \times 4 - 1 \] \[ 4 = 4a \Rightarrow a = 1 \]
\( f(x) = x^2 - 4x + m + 2 \) fonksiyonunun en küçük değeri 10 olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözüm:
İkinci dereceden bir fonksiyonda \( a > 0 \) ise kollar yukarı doğrudur ve fonksiyon en küçük değerini tepe noktasında alır. 📉
Adım 1: Tepe noktasının apsisini (\( r \)) bulalım: \( a = 1 \), \( b = -4 \) \[ r = - \frac{-4}{2 \times 1} = 2 \]
Adım 2: En küçük değer \( k \) değeridir. Soruda \( k = 10 \) olarak verilmiştir. \[ f(r) = k \Rightarrow f(2) = 10 \]
Adım 3: Fonksiyonda \( x \) yerine 2 yazıp 10'a eşitleyelim: \[ 2^2 - 4 \times 2 + m + 2 = 10 \] \[ 4 - 8 + m + 2 = 10 \] \[ m - 2 = 10 \] \[ m = 12 \]
✅ Cevap: 12
Örnek 6:
Bir futbolcu topa vurduğunda, topun yerden yüksekliği zamana bağlı olarak \( h(t) = -t^2 + 6t \) fonksiyonu ile modellenmektedir. (Burada \( t \) saniye, \( h \) metredir.)
Topun ulaşabileceği maksimum yükseklik kaç metredir? ⚽
Çözüm:
Topun izlediği yol bir parabol belirtir ve katsayısı negatif (\( a = -1 \)) olduğu için kollar aşağı doğrudur. Maksimum yükseklik tepe noktasının ordinatıdır (\( k \)).
Adım 1: Maksimum yüksekliğe ulaşılan süreyi (\( r \)) bulalım: \[ r = - \frac{6}{2 \times (-1)} = 3 \text{ saniye} \]
Adım 2: 3. saniyedeki yüksekliği (\( k \)) hesaplayalım: \[ k = h(3) = -(3^2) + 6 \times 3 \] \[ k = -9 + 18 = 9 \text{ metre} \]
Bir mimar, parabolik bir köprü kemeri tasarlıyor. Köprünün ayakları arasındaki mesafe 12 metredir. Köprünün tam ortasındaki en yüksek noktanın zeminden yüksekliği 9 metredir.
Köprünün sol ayağını orijin \( (0, 0) \) kabul edersek, bu parabolün tepe noktasının koordinatları ne olur?
Çözüm:
Soruyu koordinat sistemine dökerek görselleştirelim: 🌉
Adım 1: Köprünün sol ayağı \( (0, 0) \) noktasındadır.
Adım 2: Ayaklar arası mesafe 12 metre ise sağ ayak \( (12, 0) \) noktasındadır.
Adım 3: Parabol simetrik olduğu için tepe noktası tam ortadadır. Apsisi (\( r \)), 0 ile 12'nin tam ortasıdır: \[ r = \frac{0 + 12}{2} = 6 \]
Adım 4: En yüksek nokta 9 metre olarak verilmiş. Bu değer tepe noktasının ordinatıdır (\( k \)): \[ k = 9 \]
📍 Tepe noktasının koordinatları: \( T(6, 9) \)
Örnek 8:
Bir hediyelik eşya dükkanında bir ürünün günlük satışından elde edilen kâr \( P(x) = -x^2 + 40x - 300 \) fonksiyonu ile hesaplanmaktadır. (Burada \( x \) ürünün satış fiyatıdır.)
Maksimum kâr elde etmek için ürünün satış fiyatı kaç TL olmalıdır?
Çözüm:
Kâr fonksiyonu bir parabol belirtir. Maksimum kârı bulmak için tepe noktasını incelemeliyiz. 💰
Adım 1: Fonksiyonun tepe noktasının apsisi (\( r \)), maksimum kârı veren satış fiyatını temsil eder.
Adım 2: Formülü uygulayalım: \( a = -1 \), \( b = 40 \) \[ r = - \frac{40}{2 \times (-1)} = \frac{-40}{-2} = 20 \]
Adım 3: Eğer bizden maksimum kârın kendisi istenseydi, \( x = 20 \) değerini yerine yazardık. Ancak soru bizden sadece satış fiyatını (\( x \)) istiyor.