💡 10. Sınıf Matematik: Tepe noktasi Çözümlü Örnekler

Bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) sembolü ile gösterilir. Bu koordinatları adım adım hesaplayalım:

• Adım 1: Fonksiyonun katsayılarını belirleyelim.
  \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 13 \)
• Adım 2: Tepe noktasının apsisi olan \( r \) değerini \( r = - \frac{b}{2a} \) formülü ile bulalım:
  \[ r = - \frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \]
• Adım 3: Tepe noktasının ordinatı olan \( k \) değerini bulmak için \( r \) değerini fonksiyonda yerine yazalım:
  \[ k = f(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 13 \]
  \[ k = 9 - 18 + 13 = 4 \]

✅ Bu durumda parabolün tepe noktası \( T(3, 4) \) noktasıdır.

Tepe noktası \( T(r, k) \) koordinatlarını bulup toplamamız isteniyor. 💡

• Adım 1: Katsayıları yazalım: \( a = -2 \), \( b = 8 \), \( c = -5 \).
• Adım 2: \( r \) değerini hesaplayalım:
  \[ r = - \frac{8}{2 \times (-2)} = - \frac{8}{-4} = 2 \]
• Adım 3: \( k \) değerini hesaplayalım:
  \[ k = f(2) = -2 \times (2^2) + 8 \times 2 - 5 \]
  \[ k = -2 \times 4 + 16 - 5 \]
  \[ k = -8 + 16 - 5 = 3 \]
• Adım 4: Toplamı bulalım:
  \[ r + k = 2 + 3 = 5 \]

👉 Sonuç: 5

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) hakkında önemli bir kuralı hatırlayalım: 📌

• Bir noktanın y-ekseni üzerinde olması için apsisinin (x değerinin) sıfır olması gerekir.
• Yani tepe noktasının apsisi olan \( r = 0 \) olmalıdır.
• Tepe noktası formülü: \( r = - \frac{b}{2a} \)
• Bu soruda \( a = 1 \) ve \( b = m - 2 \)'dir.
• \[ 0 = - \frac{m - 2}{2 \times 1} \]
• Payın sıfır olması gerekir: \( m - 2 = 0 \)
• Buradan \( m = 2 \) bulunur.

✅ Cevap: 2

Tepe noktası bilinen parabol denklemi şu formdadır:
\[ f(x) = a(x - r)^2 + k \]

• Adım 1: Verilen tepe noktasını \( (r = 2, k = -1) \) formülde yerine koyalım:
  \[ f(x) = a(x - 2)^2 - 1 \]
• Adım 2: Parabolün geçtiği \( A(0, 3) \) noktasını kullanarak \( a \) katsayısını bulalım. Yani \( x = 0 \) için \( y = 3 \) olmalıdır:
  \[ 3 = a(0 - 2)^2 - 1 \]
  \[ 3 = a \times 4 - 1 \]
  \[ 4 = 4a \Rightarrow a = 1 \]
• Adım 3: Denklemi tamamlayalım:
  \[ f(x) = 1 \times (x - 2)^2 - 1 \]
  \[ f(x) = x^2 - 4x + 4 - 1 \]
  \[ f(x) = x^2 - 4x + 3 \]

✨ Parabolün denklemi: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)

İkinci dereceden bir fonksiyonda \( a > 0 \) ise kollar yukarı doğrudur ve fonksiyon en küçük değerini tepe noktasında alır. 📉

• Adım 1: Tepe noktasının apsisini (\( r \)) bulalım:
  \( a = 1 \), \( b = -4 \)
  \[ r = - \frac{-4}{2 \times 1} = 2 \]
• Adım 2: En küçük değer \( k \) değeridir. Soruda \( k = 10 \) olarak verilmiştir.
  \[ f(r) = k \Rightarrow f(2) = 10 \]
• Adım 3: Fonksiyonda \( x \) yerine 2 yazıp 10'a eşitleyelim:
  \[ 2^2 - 4 \times 2 + m + 2 = 10 \]
  \[ 4 - 8 + m + 2 = 10 \]
  \[ m - 2 = 10 \]
  \[ m = 12 \]

✅ Cevap: 12

Topun izlediği yol bir parabol belirtir ve katsayısı negatif (\( a = -1 \)) olduğu için kollar aşağı doğrudur. Maksimum yükseklik tepe noktasının ordinatıdır (\( k \)).

• Adım 1: Maksimum yüksekliğe ulaşılan süreyi (\( r \)) bulalım:
  \[ r = - \frac{6}{2 \times (-1)} = 3 \text{ saniye} \]
• Adım 2: 3. saniyedeki yüksekliği (\( k \)) hesaplayalım:
  \[ k = h(3) = -(3^2) + 6 \times 3 \]
  \[ k = -9 + 18 = 9 \text{ metre} \]

🚀 Topun ulaşabileceği maksimum yükseklik 9 metredir.

Soruyu koordinat sistemine dökerek görselleştirelim: 🌉

• Adım 1: Köprünün sol ayağı \( (0, 0) \) noktasındadır.
• Adım 2: Ayaklar arası mesafe 12 metre ise sağ ayak \( (12, 0) \) noktasındadır.
• Adım 3: Parabol simetrik olduğu için tepe noktası tam ortadadır. Apsisi (\( r \)), 0 ile 12'nin tam ortasıdır:
  \[ r = \frac{0 + 12}{2} = 6 \]
• Adım 4: En yüksek nokta 9 metre olarak verilmiş. Bu değer tepe noktasının ordinatıdır (\( k \)):
  \[ k = 9 \]

📍 Tepe noktasının koordinatları: \( T(6, 9) \)

Kâr fonksiyonu bir parabol belirtir. Maksimum kârı bulmak için tepe noktasını incelemeliyiz. 💰

• Adım 1: Fonksiyonun tepe noktasının apsisi (\( r \)), maksimum kârı veren satış fiyatını temsil eder.
• Adım 2: Formülü uygulayalım:
  \( a = -1 \), \( b = 40 \)
  \[ r = - \frac{40}{2 \times (-1)} = \frac{-40}{-2} = 20 \]
• Adım 3: Eğer bizden maksimum kârın kendisi istenseydi, \( x = 20 \) değerini yerine yazardık. Ancak soru bizden sadece satış fiyatını (\( x \)) istiyor.

✅ Maksimum kâr için satış fiyatı 20 TL olmalıdır.