🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Temel Kavramlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Temel Kavramlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki sayının toplamı 75'tir. Sayılardan biri diğerinin 2 katından 15 fazladır. Bu iki sayıdan büyük olanı kaçtır? 💡
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- Sayıları Tanımlama: Sayılardan birine \(x\) diyelim. Diğer sayı, \(x\)'in 2 katından 15 fazla olduğu için \(2x + 15\) olur.
- Denklem Kurma: İki sayının toplamı 75 olarak verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak bir denklem oluşturabiliriz: \(x + (2x + 15) = 75\)
- Denklemi Çözme:
- Benzer terimleri birleştirin: \(3x + 15 = 75\)
- Sabit terimi karşıya atın: \(3x = 75 - 15\)
- Çıkarma işlemini yapın: \(3x = 60\)
- Her iki tarafı \(x\)'in katsayısına bölün: \(x = \frac{60}{3}\)
- Sonucu bulun: \(x = 20\)
- Sayıları Bulma: Bir sayı \(x = 20\)'dir. Diğer sayı ise \(2x + 15 = 2(20) + 15 = 40 + 15 = 55\)'tir.
- Büyük Sayıyı Belirleme: Bulduğumuz sayılar 20 ve 55'tir. Bu iki sayıdan büyük olanı 55'tir. ✅
Örnek 2:
Bir çiftçi tarlasının ilk gün \(\frac{1}{3}\)'ünü, ikinci gün ise kalan \(\frac{1}{2}\)'sini sürmüştür. Çiftçinin toplamda sürdüğü alan, tarlanın kaçta kaçıdır? 🤔
Çözüm:
Bu problemi kesirler yardımıyla çözelim:
- İlk Gün Sürülen Alan: Tarlanın tamamı 1 bütün olarak kabul edilirse, ilk gün \(\frac{1}{3}\)'ü sürülmüştür.
- Kalan Alan: İlk gün sürülen alan \(\frac{1}{3}\) ise, geriye kalan alan \(1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)'tür.
- İkinci Gün Sürülen Alan: İkinci gün, kalan alanın \(\frac{1}{2}\)'si sürülmüştür. Yani, \(\frac{2}{3}\)'ünün \(\frac{1}{2}\)'si: \(\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
- Toplam Sürülen Alan: İlk gün sürülen alan (\(\frac{1}{3}\)) ile ikinci gün sürülen alan (\(\frac{1}{3}\)) toplanır: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Örnek 3:
Bir mağaza, etiket fiyatı üzerinden önce %20 indirim yapıyor, ardından indirimli fiyat üzerinden %10 ek vergi ekliyor. Eğer bir ürünün etiket fiyatı 200 TL ise, son ödenen tutar kaç TL olur? 💰
Çözüm:
Bu soruyu adım adım hesaplayalım:
- İlk İndirim Miktarı: Etiket fiyatı 200 TL. %20 indirim demek, \(200 \times \frac{20}{100} = 200 \times 0.20 = 40\) TL indirim demektir.
- İndirimli Fiyat: Etiket fiyatından indirim miktarı çıkarılır: \(200 - 40 = 160\) TL.
- Ek Vergi Miktarı: İndirimli fiyat üzerinden %10 ek vergi ekleniyor. Yani, \(160 \times \frac{10}{100} = 160 \times 0.10 = 16\) TL vergi.
- Son Ödenen Tutar: İndirimli fiyata vergi eklenir: \(160 + 16 = 176\) TL.
Örnek 4:
Bir sınıftaki öğrencilerin yaşları toplamı 360'tır. Sınıftaki öğrenci sayısı, her bir öğrencinin yaş ortalamasının 3 katından 5 fazladır. Bu sınıfta kaç öğrenci vardır? 🧑🏫
Çözüm:
Bu problemi denklem kurarak çözelim:
- Değişkenleri Tanımlama: Sınıftaki öğrenci sayısına \(n\) diyelim. Öğrencilerin yaş ortalamasına \(a\) diyelim.
- Verilen İlişkiler:
- Yaşları toplamı: \(n \times a = 360\)
- Öğrenci sayısı ile yaş ortalaması arasındaki ilişki: \(n = 3a + 5\)
- Yerine Koyma Yöntemi: İkinci denklemdeki \(n\) değerini birinci denklemde yerine koyalım: \((3a + 5) \times a = 360\)
- Denklemi Düzenleme ve Çözme:
- Dağılma özelliğini uygulayın: \(3a^2 + 5a = 360\)
- Denklemi standart forma getirin: \(3a^2 + 5a - 360 = 0\)
- Deneme Yanılma veya Çarpanlara Ayırma: \(n = 3a + 5\) denkleminde \(n\) ve \(a\) için uygun tam sayı değerleri arayalım. Eğer \(a=10\) ise, \(n = 3(10) + 5 = 35\). \(n \times a = 35 \times 10 = 350\). Bu yakın. Eğer \(a=12\) ise, \(n = 3(12) + 5 = 36 + 5 = 41\). \(n \times a = 41 \times 12 = 492\). Bu da değil.
- Denklemi Tekrar İnceleme: \(n = 3a + 5\) ve \(a = \frac{360}{n}\) ifadelerini birleştirelim: \(n = 3 \left(\frac{360}{n}\right) + 5\)
- Denklemi \(n\) İçin Çözme:
- Her iki tarafı \(n\) ile çarpın: \(n^2 = 3(360) + 5n\)
- Denklemi düzenleyin: \(n^2 = 1080 + 5n\)
- Standart forma getirin: \(n^2 - 5n - 1080 = 0\)
Örnek 5:
Ardışık üç tek sayının toplamı 105'tir. Bu sayılardan en büyüğü kaçtır? 🔢
Çözüm:
Ardışık tek sayıları temsil ederek bu problemi çözelim:
- Sayıları Temsil Etme: En küçük tek sayıya \(x\) diyelim. Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2 olduğu için diğer sayılar \(x+2\) ve \(x+4\) olur.
- Denklem Kurma: Bu üç sayının toplamı 105 olarak verilmiş: \(x + (x+2) + (x+4) = 105\)
- Denklemi Çözme:
- Benzer terimleri birleştirin: \(3x + 6 = 105\)
- Sabit terimi karşıya atın: \(3x = 105 - 6\)
- Çıkarma işlemini yapın: \(3x = 99\)
- Her iki tarafı \(x\)'in katsayısına bölün: \(x = \frac{99}{3}\)
- Sonucu bulun: \(x = 33\)
- Sayıları Bulma: En küçük sayı \(x = 33\)'tür. Diğer sayılar: \(x+2 = 33+2 = 35\) ve \(x+4 = 33+4 = 37\).
- En Büyük Sayıyı Belirleme: Bulduğumuz sayılar 33, 35 ve 37'dir. Bu sayılardan en büyüğü 37'dir. ✅
Örnek 6:
Bir manav, elindeki elmaların \(\frac{2}{5}\)'ini sattıktan sonra geriye 30 kg elma kalıyor. Manav başlangıçta kaç kg elmaya sahipti? 🍎
Çözüm:
Bu problemi kesirler ve denklem kurarak çözelim:
- Satılan Elma Oranı: Manav elmalarının \(\frac{2}{5}\)'ini satmış.
- Kalan Elma Oranı: Elmaların tamamı 1 bütün olarak kabul edilirse, satılmayan (kalan) elma oranı \(1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\)'tir.
- Denklem Kurma: Kalan elma miktarı 30 kg ve bu miktar, toplam elmanın \(\frac{3}{5}\)'ine denk geliyor. Eğer toplam elma miktarına \(T\) dersek: \(\frac{3}{5} \times T = 30\)
- Denklemi Çözme:
- Her iki tarafı \(\frac{5}{3}\) ile çarpın (veya her iki tarafı 3'e bölüp 5 ile çarpın): \(T = 30 \times \frac{5}{3}\)
- Çarpma işlemini yapın: \(T = \frac{150}{3}\)
- Sonucu bulun: \(T = 50\)
Örnek 7:
Bir bisikletli, gideceği yolun önce %40'ını, sonra kalan yolun %50'sini gitmiştir. Eğer bisikletli toplamda 42 km yol gittiyse, yolun tamamı kaç km'dir? 🚴
Çözüm:
Bu problemi adım adım hesaplayalım:
- İlk Gidilen Yol: Yolun tamamı \(x\) km olsun. İlk gün gidilen yol \(x \times \frac{40}{100} = 0.4x\)'tir.
- Kalan Yol: İlk gün gidilen yol \(0.4x\) ise, kalan yol \(x - 0.4x = 0.6x\)'tir.
- İkinci Gidilen Yol: Kalan yolun (%60'ı) %50'si gidilmiş. Yani, \(0.6x \times \frac{50}{100} = 0.6x \times 0.5 = 0.3x\)'tir.
- Toplam Gidilen Yol: İlk gün gidilen yol (0.4x) ile ikinci gün gidilen yol (0.3x) toplanır: \(0.4x + 0.3x = 0.7x\).
- Denklem Kurma ve Çözme: Toplam gidilen yol 42 km olarak verilmiş: \(0.7x = 42\)
- Yolun Tamamını Bulma: Her iki tarafı 0.7'ye bölün: \(x = \frac{42}{0.7}\)
- Sonuç: \(x = 60\) km.
Örnek 8:
Bir sayının 3 katının 5 fazlası, aynı sayının 2 katının 10 eksiğine eşittir. Bu sayı kaçtır? 🧮
Çözüm:
Bu problemi denklem kurarak çözelim:
- Sayıyı Tanımlama: Bilinmeyen sayımıza \(x\) diyelim.
- Denklemi Kurma: Soruda verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:
- "Bir sayının 3 katının 5 fazlası": \(3x + 5\)
- "Aynı sayının 2 katının 10 eksiği": \(2x - 10\)
- Bu iki ifadenin birbirine eşit olduğu söyleniyor: \(3x + 5 = 2x - 10\)
- Denklemi Çözme:
- Benzer terimleri bir tarafa toplayalım. \(2x\)'i sol tarafa, 5'i sağ tarafa atalım (işaretler değişir): \(3x - 2x = -10 - 5\)
- Çıkarma işlemlerini yapalım: \(x = -15\)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-temel-kavramlar/sorular