💡 10. Sınıf Matematik: Tek çift fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Tek fonksiyon olabilmesi için bir fonksiyonun \( f(-x) = -f(x) \) şartını sağlaması gerekir. Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) \( f(x) = x^2 + 1 \). \( f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 \). Bu \( -f(x) \) eşit değildir. Dolayısıyla tek fonksiyon değildir.
• B) \( g(x) = x^3 - x \). \( g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) \). Bu \( -g(x) \) eşittir. ✅ Dolayısıyla tek fonksiyondur.
• C) \( h(x) = 2x + 3 \). \( h(-x) = 2(-x) + 3 = -2x + 3 \). Bu \( -h(x) \) eşit değildir. Dolayısıyla tek fonksiyon değildir.
• D) \( k(x) = x^4 \). \( k(-x) = (-x)^4 = x^4 \). Bu \( -k(x) \) eşit değildir. Dolayısıyla tek fonksiyon değildir.

Doğru cevap B seçeneğidir. 💡

Bir fonksiyonun çift fonksiyon olabilmesi için \( f(-x) = f(x) \) şartını sağlaması gerekir. Yani, fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir. 📌
Örnek: \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunu ele alalım.

• \( f(-x) \) değerini hesaplayalım: \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 \).
• Gördüğümüz gibi, \( f(-x) = f(x) \) eşitliği sağlanmıştır.

Bu nedenle \( f(x) = x^2 \) bir çift fonksiyondur. 🚀

Fonksiyonun tek mi çift mi olduğunu anlamak için \( f(-x) \) değerini hesaplamalıyız.

• \( f(-x) = 3(-x)^5 - 2(-x)^3 + (-x) \)
• \( f(-x) = 3(-x^5) - 2(-x^3) - x \)
• \( f(-x) = -3x^5 + 2x^3 - x \)

Şimdi \( -f(x) \) değerini hesaplayalım:

• \( -f(x) = -(3x^5 - 2x^3 + x) \)
• \( -f(x) = -3x^5 + 2x^3 - x \)

Gördüğümüz gibi, \( f(-x) = -f(x) \) eşitliği sağlanmıştır. ✅ Bu, fonksiyonun tek fonksiyon olduğunu gösterir.

Fonksiyonun tek veya çift olup olmadığını belirlemek için \( g(-x) \) değerini hesaplayalım.

• \( g(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 7 \)
• \( g(-x) = x^4 - 5(x^2) + 7 \)
• \( g(-x) = x^4 - 5x^2 + 7 \)

Hesapladığımız \( g(-x) \) değeri, orijinal \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir. Yani, \( g(-x) = g(x) \). 👉 Bu durum, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir. 💯

Bir fonksiyonun tek olması için \( f(-x) = -f(x) \) olmalıdır. \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) fonksiyonu için \( f(-x) \) değerini hesaplayalım:

• \( f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d \)
• \( f(-x) = -ax^3 + bx^2 - cx + d \)

Şimdi \( -f(x) \) değerini hesaplayalım:

• \( -f(x) = -(ax^3 + bx^2 + cx + d) \)
• \( -f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d \)

Tek fonksiyon olma şartı \( f(-x) = -f(x) \) olduğundan, bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim:
\( -ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d \)
Bu eşitliğin her \( x \) değeri için sağlanması gerekir. Katsayıları karşılaştıralım:

• \( x^3 \) terimleri: \( -a = -a \) (Bu her zaman doğrudur.)
• \( x^2 \) terimleri: \( b = -b \). Buradan \( 2b = 0 \) elde ederiz, yani \( b = 0 \).
• \( x \) terimleri: \( -c = -c \) (Bu her zaman doğrudur.)
• Sabit terimler: \( d = -d \). Buradan \( 2d = 0 \) elde ederiz, yani \( d = 0 \).

Sonuç olarak, \( f(x) \) tek fonksiyon ise, \( b \) ve \( d \) katsayıları 0 olmalıdır. Yani, \( f(x) = ax^3 + cx \) şeklinde olmalıdır. 🎯

Çift fonksiyon olabilmesi için \( h(-x) = h(x) \) olmalıdır. \( h(x) = x^5 + kx^4 + mx^2 + 7 \) fonksiyonu için \( h(-x) \) değerini hesaplayalım:

• \( h(-x) = (-x)^5 + k(-x)^4 + m(-x)^2 + 7 \)
• \( h(-x) = -x^5 + kx^4 + mx^2 + 7 \)

Şimdi \( h(-x) = h(x) \) eşitliğini kuralım:
\( -x^5 + kx^4 + mx^2 + 7 = x^5 + kx^4 + mx^2 + 7 \)
Bu eşitliğin her \( x \) için sağlanması için terimlerin katsayılarını karşılaştıralım:

• \( x^5 \) terimleri: \( -1 = 1 \). Bu bir çelişkidir! ❌ Fonksiyonun bu haliyle çift olması mümkün değildir.

Düzeltme ve Açıklama: Bir fonksiyonun çift olması için tüm tek dereceli terimlerin katsayılarının sıfır olması gerekir. Fonksiyonumuzda \( x^5 \) teriminin katsayısı 1'dir. Bu nedenle, verilen \( h(x) \) fonksiyonu, \( k \) ve \( m \) değerlerinden bağımsız olarak, tek bir fonksiyon olamaz. Ancak, eğer soru \( h(x) \) fonksiyonunun tek olması durumunda \( k \) ve \( m \) değerlerini soruyorsa, o zaman \( h(-x) = -h(x) \) şartını kullanırdık. Eğer soru basım hatası içeriyorsa ve \( h(x) \) çift fonksiyon olmalıysa, \( x^5 \) teriminin olmaması gerekirdi. Bu durumda, eğer \( h(x) = kx^4 + mx^2 + 7 \) olsaydı, çift fonksiyon olurdu. Verilen haliyle, \( h(x) \) ne tek ne de çifttir. 🤷

Öğrencinin tek fonksiyonlar için kullandığı mantığı, çift fonksiyonlar için de uygulayabiliriz. Çift fonksiyonlar için \( g(-x) = g(x) \) şartını kontrol etmeliyiz.
\( g(x) \) fonksiyonu için adımlar:

1. \( g(-x) \) değerini hesaplayalım:
• \( g(x) = x^2 - 4 \)
• \( g(-x) = (-x)^2 - 4 \)
• \( g(-x) = x^2 - 4 \)
2. Şimdi \( g(x) \) ile \( g(-x) \) değerlerini karşılaştıralım:
• \( g(-x) = x^2 - 4 \)
• \( g(x) = x^2 - 4 \)
3. Gördüğümüz gibi, \( g(-x) = g(x) \) eşitliği sağlanmıştır. ✅

Bu nedenle, \( g(x) = x^2 - 4 \) fonksiyonu çift bir fonksiyondur. 🥳

Talep fonksiyonumuz \( T(x) = -x^2 + 100 \). Fonksiyonun tek mi çift mi olduğunu belirlemek için \( T(-x) \) değerini hesaplayalım.

• \( T(-x) = -(-x)^2 + 100 \)
• \( T(-x) = -(x^2) + 100 \)
• \( T(-x) = -x^2 + 100 \)

Hesapladığımız \( T(-x) \) değeri, orijinal \( T(x) \) fonksiyonuna eşittir. Yani, \( T(-x) = T(x) \). 👉 Bu, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir.
Ekonomik Yorum: Bu talep fonksiyonu çift olduğu için, ürünün fiyatı ne kadar artarsa veya azalsın (fiyatın mutlak değerine bağlı olarak), talebin değişimi aynı olacaktır. Örneğin, fiyat 10 birim arttığında veya azaldığında talep aynı şekilde etkilenecektir. 📈📉

Bu tür soruları çözmek için verilen fonksiyonların tek ve çift olma özelliklerini kullanmalıyız:

• \( f(x) \) çift ise: \( f(-x) = f(x) \)
• \( g(x) \) tek ise: \( g(-x) = -g(x) \)

a) \( h(x) = f(x) + g(x) \)

• \( h(-x) = f(-x) + g(-x) \)
• \( h(-x) = f(x) + (-g(x)) \)
• \( h(-x) = f(x) - g(x) \)

Şimdi \( h(-x) \) ile \( h(x) \) ve \( -h(x) \) değerlerini karşılaştıralım:

• \( h(-x) = f(x) - g(x) \)
• \( h(x) = f(x) + g(x) \)
• \( -h(x) = -(f(x) + g(x)) = -f(x) - g(x) \)

Gördüğümüz gibi, \( h(-x) \) ne \( h(x) \) ne de \( -h(x) \) eşittir (genel durumda). Bu nedenle, \( h(x) \) ne tek ne de çifttir. 🤷
b) \( k(x) = f(x) \cdot g(x) \)

• \( k(-x) = f(-x) \cdot g(-x) \)
• \( k(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) \)
• \( k(-x) = -f(x) \cdot g(x) \)

Şimdi \( k(-x) \) ile \( -k(x) \) değerini karşılaştıralım:

• \( k(-x) = -f(x) \cdot g(x) \)
• \( k(x) = f(x) \cdot g(x) \)
• \( -k(x) = -(f(x) \cdot g(x)) = -f(x) \cdot g(x) \)

Gördüğümüz gibi, \( k(-x) = -k(x) \) eşitliği sağlanmıştır. ✅ Bu nedenle, \( k(x) \) tek fonksiyondur. 🚀
c) \( m(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \)

• \( m(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} \)
• \( m(-x) = \frac{f(x)}{-g(x)} \)
• \( m(-x) = -\frac{f(x)}{g(x)} \)

Şimdi \( m(-x) \) ile \( -m(x) \) değerini karşılaştıralım:

• \( m(-x) = -\frac{f(x)}{g(x)} \)
• \( m(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \)
• \( -m(x) = -(\frac{f(x)}{g(x)}) = -\frac{f(x)}{g(x)} \)

Gördüğümüz gibi, \( m(-x) = -m(x) \) eşitliği sağlanmıştır. ✅ Bu nedenle, \( m(x) \) tek fonksiyondur. 💯