🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Tanımsal Küme Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Tanımsal Küme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Tanım Kümesi Nedir? 💡 Bir \( f: A \rightarrow B \) fonksiyonunda, A kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir. Aşağıdaki bağıntıyı inceleyelim: \( f = \{ (1, 2), (2, 3), (3, 4) \} \) olduğuna göre, bu fonksiyonun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
- Bir fonksiyonun tanım kümesi, sıralı ikililerin birinci bileşenlerinden oluşur.
- Verilen kümedeki birinci bileşenler: \( 1, 2, 3 \)
- Bu durumda tanım kümesi: \( \{ 1, 2, 3 \} \) olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \( f(x) = \frac{x + 5}{x - 3} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 📌
Çözüm:
- Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler fonksiyonu tanımsız yapar.
- Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x - 3 = 0 \)
- Buradan \( x = 3 \) bulunur.
- Fonksiyonun tanımsız olduğu tek değer \( 3 \) olduğu için, tanım kümesi tüm reel sayılardan \( 3 \) değerinin çıkarılmasıyla oluşur.
- Sonuç: \( R - \{ 3 \} \) ✅
Örnek 3:
\( f(x) = \sqrt{x - 4} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir? 🔍
Çözüm:
- Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içi negatif olmamalıdır.
- Yani: \( x - 4 \geq 0 \)
- Eşitsizliği çözersek: \( x \geq 4 \)
- Bu ifade aralık olarak \( [4, \infty) \) şeklinde yazılır. ✅
Örnek 4:
\( f(x) = \sqrt{6 - x} + \sqrt{x + 2} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 🧠
Çözüm:
- Her iki köklü ifade için de ayrı ayrı inceleme yapmalıyız.
- Birinci ifade için: \( 6 - x \geq 0 \implies x \leq 6 \)
- İkinci ifade için: \( x + 2 \geq 0 \implies x \geq -2 \)
- İki şartı birleştirdiğimizde: \( -2 \leq x \leq 6 \)
- Tanım kümesi: \( [-2, 6] \) aralığıdır. ✅
Örnek 5:
Bir dijital oyun platformunda, oyuncunun seviyesi \( x \) olmak üzere, oyunun sunduğu özel içerik fonksiyonu \( f(x) = \frac{100}{x^2 - 16} \) olarak belirlenmiştir. Oyunun hata vermemesi için oyuncunun seviyesi hangi değerleri alamaz? 🎮
Çözüm:
- Fonksiyonun paydası sıfır olduğunda sistem hata verir.
- Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x^2 - 16 = 0 \)
- \( x^2 = 16 \)
- Buradan \( x = 4 \) veya \( x = -4 \) değerleri bulunur.
- Oyuncu seviyesi negatif olamayacağı için, sistemin hata vereceği kritik değer \( 4 \)'tür. ✅
Örnek 6:
Bir fabrikada üretilen ürünün maliyet fonksiyonu \( f(x) = \sqrt{x - 10} \) olarak verilmiştir. Burada \( x \) üretilen ürün adedidir. Üretimin başlayabilmesi için en az kaç ürün üretilmelidir? 🏭
Çözüm:
- Fonksiyonun reel sayılarda tanımlı olması için kök içi negatif olmamalıdır.
- \( x - 10 \geq 0 \)
- \( x \geq 10 \)
- Bu durumda en az 10 ürün üretilmelidir. 10'dan az üretimde fonksiyon tanımsız (reel olmayan) sonuçlar verir. ✅
Örnek 7:
\( f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6} \) fonksiyonunu tanımsız yapan \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır? 🔢
Çözüm:
- Paydayı sıfıra eşitleyen değerler fonksiyonu tanımsız yapar.
- \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) denklemini çarpanlarına ayıralım.
- \( (x - 2) \times (x - 3) = 0 \)
- Buradan \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) değerleri bulunur.
- Değerler toplamı: \( 2 + 3 = 5 \) ✅
Örnek 8:
Bir akıllı telefonun batarya doluluk oranı \( f(t) = \sqrt{8 - t} \) fonksiyonu ile modellenmiştir. Burada \( t \) geçen süreyi (saat) temsil etmektedir. Telefonun bataryası kaçıncı saatten sonra tamamen boşalmış (tanımsız) sayılır? 🔋
Çözüm:
- Fonksiyonun tanımlı olduğu aralık, bataryanın aktif olduğu süredir.
- \( 8 - t \geq 0 \)
- \( 8 \geq t \)
- Yani \( t \) değeri en fazla 8 olabilir.
- 8. saatten sonra fonksiyon tanımsız olacağı için, batarya 8. saatte tamamen boşalmış kabul edilir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-tanimsal-kume/sorular