🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sıralama ve gruplar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sıralama ve gruplar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sınıfta 15 öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrencilerden 3 kişilik bir gezi grubu kaç farklı şekilde seçilebilir? 🚌
Çözüm:
Bu tür problemler, kombinasyon kavramı ile çözülür. Çünkü öğrenci seçiminde sıranın bir önemi yoktur.
- Seçilecek kişi sayısı \( n = 15 \)
- Seçilecek grup büyüklüğü \( k = 3 \)
- Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} \)
- Hesaplama: \( C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455 \)
Örnek 2:
5 farklı matematik kitabı ve 4 farklı fizik kitabından oluşan bir kütüphanede, 2 matematik ve 1 fizik kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir? 📚
Çözüm:
Bu soruda hem matematik kitapları hem de fizik kitapları için ayrı ayrı kombinasyon hesaplaması yapıp, sonuçları çarpmalıyız.
- Matematik kitapları seçimi: \( n_m = 5 \), \( k_m = 2 \). \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
- Fizik kitapları seçimi: \( n_f = 4 \), \( k_f = 1 \). \( C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4}{1} = 4 \)
- Toplam farklı seçim sayısı: \( C(5, 2) \times C(4, 1) = 10 \times 4 = 40 \)
Örnek 3:
Bir madeni parayı 5 kez attığımızda kaç farklı sonuç elde edebiliriz? (Her atış ya yazı ya da turadır.) 🪙
Çözüm:
Her bir madeni para atışı için 2 olası sonuç vardır (Yazı veya Tura). Bu bağımsız olayların tekrarlı çarpımı ile toplam sonuç sayısı bulunur.
- Her atış için olası sonuç sayısı = 2
- Atış sayısı = 5
- Toplam farklı sonuç sayısı = \( 2^5 \)
- Hesaplama: \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)
Örnek 4:
Bir teknoloji mağazasında 6 farklı model akıllı telefon ve 4 farklı model tablet bulunmaktadır. Müşteri, 2 farklı model akıllı telefon ve 2 farklı model tablet almak istiyor. Bu müşteri kaç farklı şekilde seçim yapabilir? 📱
Çözüm:
Bu problem, iki farklı ürün grubundan seçim yapmayı gerektirdiği için kombinasyon ile çözülür.
- Akıllı telefon seçimi: 6 modelden 2'si seçilecek. \( C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
- Tablet seçimi: 4 modelden 2'si seçilecek. \( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
- Toplam farklı seçim sayısı: Akıllı telefon seçim sayısı ile tablet seçim sayısının çarpımıdır. \( 15 \times 6 = 90 \)
Örnek 5:
4 farklı renkte boya kalemi arasından 2 tanesi kaç farklı şekilde seçilebilir? 🖍️
Çözüm:
Bu, basit bir kombinasyon problemidir. Seçilen kalemlerin sırasının önemi yoktur.
- Toplam kalem sayısı \( n = 4 \)
- Seçilecek kalem sayısı \( k = 2 \)
- Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- Hesaplama: \( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
Örnek 6:
Bir davete 8 kişi katılıyor. Bu 8 kişiden 3'ü ile bir fotoğraf çektirilecek. Fotoğrafta kimin nerede duracağının önemi varsa, kaç farklı fotoğraf kompozisyonu oluşturulabilir? 📸
Çözüm:
Bu soruda, seçilen kişilerin fotoğraf içindeki sıralaması da önemli olduğu için permutasyon kullanmalıyız.
- Toplam kişi sayısı \( n = 8 \)
- Fotoğrafa girecek kişi sayısı \( k = 3 \)
- Permutasyon formülü: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} \)
- Hesaplama: \( P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336 \)
Örnek 7:
Bir restoranda menüde 5 farklı ana yemek, 4 farklı salata ve 3 farklı tatlı seçeneği bulunmaktadır. Bir kişi, bir ana yemek, bir salata ve bir tatlıdan oluşan bir öğün siparişi verecektir. Bu kişi kaç farklı öğün seçeneğine sahiptir? 🍽️
Çözüm:
Bu problemde, her bir kategori için bağımsız seçimler yapıldığı için çarpma prensibi kullanılır.
- Ana yemek seçenek sayısı = 5
- Salata seçenek sayısı = 4
- Tatlı seçenek sayısı = 3
- Toplam farklı öğün seçeneği = Ana yemek seçenekleri \( \times \) Salata seçenekleri \( \times \) Tatlı seçenekleri
- Hesaplama: \( 5 \times 4 \times 3 = 60 \)
Örnek 8:
Bir grup arkadaş (Ayşe, Burak, Can, Deniz, Ece) sinemaya gidiyor. Bu 5 arkadaş yan yana olan 5 koltuğa oturacaktır. Ayşe ve Burak yan yana oturmak istemiyor. Buna göre, bu 5 arkadaş kaç farklı şekilde oturabilir? 🎬
Çözüm:
Bu tür "yan yana olmama" problemlerini çözmek için genellikle tüm durumdan istenmeyen durumun çıkarılması yöntemi kullanılır.
- Tüm Durumlar: 5 arkadaşın 5 koltuğa oturabileceği toplam farklı sıralama sayısı (permutasyon).
\( P(5, 5) = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \) farklı oturma düzeni vardır. - İstenmeyen Durum (Ayşe ve Burak Yan Yana): Ayşe ve Burak'ı tek bir grup (AB veya BA) olarak düşünelim. Bu grubu 1 eleman gibi alırsak, elimizde 4 eleman olur (AB/BA grubu, Can, Deniz, Ece). Bu 4 eleman \( 4! \) şekilde sıralanır.
\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) - Ayşe ve Burak kendi aralarında 2! şekilde yer değiştirebilir (Ayşe-Burak veya Burak-Ayşe).
\( 2! = 2 \times 1 = 2 \) - Ayşe ve Burak'ın yan yana oturduğu toplam durum sayısı = \( 4! \times 2! = 24 \times 2 = 48 \)
- İstenen Durum (Ayşe ve Burak Yan Yana Değil): Tüm durumlar - İstenmeyen durum
\( 120 - 48 = 72 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-siralama-ve-gruplar/sorular