🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs ve Kosinüs Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sinüs ve Kosinüs Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birim çember üzerinde \( \frac{\pi}{3} \) radyanlık açının noktasını bulunuz. Bu noktanın koordinatları \( (x, y) \) ise, \( x \) ve \( y \) değerlerini belirleyiniz. 💡
Çözüm:
- Birim çember, merkezi orijinde (0,0) olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.
- Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları, o noktanın merkezden çıkan ışının x ekseni ile yaptığı açının kosinüsü ve sinüsüdür. Yani, \( (\cos \theta, \sin \theta) \).
- Açımız \( \theta = \frac{\pi}{3} \) radyandır. Bu açının derece karşılığı \( \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \)'dir.
- \( \cos(60^\circ) \) değeri \( \frac{1}{2} \)'dir.
- \( \sin(60^\circ) \) değeri \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)'dir.
- Dolayısıyla, \( \frac{\pi}{3} \) radyanlık açının birim çember üzerindeki noktası \( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)'dir.
- Bu durumda \( x = \frac{1}{2} \) ve \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \)'dir. ✅
Örnek 2:
Dik kenar uzunlukları 5 birim ve 12 birim olan bir dik üçgenin en uzun kenar uzunluğunu (hipotenüs) bulunuz. Bu üçgende, 5 birimlik kenarın karşısındaki açının sinüsünü hesaplayınız. 📐
Çözüm:
- Dik üçgende Pisagor teoremi uygulanır: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen kenar uzunlukları \( a = 5 \) ve \( b = 12 \) olsun.
- \( 5^2 + 12^2 = c^2 \)
- \( 25 + 144 = c^2 \)
- \( 169 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{169} = 13 \) birim. En uzun kenar (hipotenüs) 13 birimdir.
- Sinüs, bir açının karşısındaki dik kenarın hipotenüse oranıdır.
- 5 birimlik kenarın karşısındaki açı \( \alpha \) olsun.
- \( \sin \alpha = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{5}{13} \). 👉
Örnek 3:
Birim çember üzerinde \( \frac{2\pi}{3} \) radyanlık açının koordinatlarını bulunuz. Bu noktanın \( x \) ve \( y \) değerlerini kullanarak \( \cos(\frac{2\pi}{3}) \) ve \( \sin(\frac{2\pi}{3}) \) değerlerini belirleyiniz. 🌟
Çözüm:
- \( \frac{2\pi}{3} \) radyan, \( \frac{2 \times 180^\circ}{3} = 120^\circ \) dereceye eşittir.
- Bu açı, ikinci bölgededir.
- İkinci bölgedeki açıların kosinüsleri negatif, sinüsleri ise pozitiftir.
- \( \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} \).
- \( \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- Dolayısıyla, \( \frac{2\pi}{3} \) radyanlık açının birim çember üzerindeki noktası \( (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)'dir.
- Bu durumda \( \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) ve \( \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)'dir. ✅
Örnek 4:
Bir dik üçgende \( \cos \theta = \frac{3}{5} \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin \( \sin \theta \) değerini ve \( \theta \) açısının karşısındaki dik kenar uzunluğunu, hipotenüsün 10 birim olduğu varsayımıyla bulunuz. 📏
Çözüm:
- Temel trigonometrik özdeşlik \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) kullanılır.
- \( \sin^2 \theta + (\frac{3}{5})^2 = 1 \)
- \( \sin^2 \theta + \frac{9}{25} = 1 \)
- \( \sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \)
- \( \sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \) (Açı dar açı kabul edildiği için sinüs pozitif alınır).
- Şimdi hipotenüsün 10 birim olduğu durumu inceleyelim.
- \( \cos \theta = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \).
- \( \frac{3}{5} = \frac{\text{komşu dik kenar}}{10} \implies \text{komşu dik kenar} = \frac{3}{5} \times 10 = 6 \) birim.
- \( \sin \theta = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \).
- \( \frac{4}{5} = \frac{\text{karşı dik kenar}}{10} \implies \text{karşı dik kenar} = \frac{4}{5} \times 10 = 8 \) birim. 👉
- Bu durumda \( \sin \theta = \frac{4}{5} \) ve \( \theta \) açısının karşısındaki dik kenar 8 birimdir. 💡
Örnek 5:
Bir binanın tepesinden, binadan 20 metre uzakta bulunan bir noktadan binanın tepesine bakıldığında oluşan yükseli açısı \( 30^\circ \) olarak ölçülüyor. Binanın yüksekliğini (h) trigonometrik fonksiyonları kullanarak hesaplayınız. 🏙️
Çözüm:
- Bu bir dik üçgen problemidir. Binanın yüksekliği (h) karşı dik kenar, binaya olan uzaklık ise komşu dik kenardır.
- Açımız \( 30^\circ \).
- Karşı dik kenarı ve komşu dik kenarı ilişkilendiren trigonometrik fonksiyon tanjanttır: \( \tan \theta = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \).
- \( \tan(30^\circ) = \frac{h}{20} \).
- \( \tan(30^\circ) \) değeri \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) veya \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)'tür.
- \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20} \).
- \( h = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) metre.
- Binanın yüksekliği \( \frac{20\sqrt{3}}{3} \) metredir. ✅
Örnek 6:
Bir yamaç paraşütü pilotu, yerden 500 metre yükseklikte süzülürken, yerden 1000 metre uzaklıkta bulunan bir gözlem noktasına doğru bakıyor. Pilotun gözlem noktasına olan bakış açısının yükseli açısını ( \( \alpha \) ) trigonometrik olarak ifade ediniz. 🪂
Çözüm:
- Bu durumda, pilotun yüksekliği (500 metre) karşı dik kenarı, gözlem noktasına olan yatay uzaklık (1000 metre) ise komşu dik kenarı temsil eder.
- Karşı ve komşu dik kenarları ilişkilendiren trigonometrik fonksiyon tanjanttır.
- \( \tan \alpha = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \).
- \( \tan \alpha = \frac{500}{1000} \).
- \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \).
- Yani, yükseli açısı \( \alpha \), tanjantı \( \frac{1}{2} \) olan açıdır. Bu açıyı \( \arctan(\frac{1}{2}) \) şeklinde ifade edebiliriz. 👉
Örnek 7:
Birim çember üzerinde \( \frac{5\pi}{6} \) radyanlık açının noktasının koordinatlarını bulunuz. Bu noktanın \( x \) ve \( y \) değerlerini kullanarak \( \cos(\frac{5\pi}{6}) \) ve \( \sin(\frac{5\pi}{6}) \) değerlerini hesaplayınız. 💯
Çözüm:
- \( \frac{5\pi}{6} \) radyan, \( \frac{5 \times 180^\circ}{6} = 150^\circ \) dereceye eşittir.
- Bu açı, ikinci bölgededir.
- İkinci bölgedeki açıların kosinüsleri negatif, sinüsleri ise pozitiftir.
- \( \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
- \( \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).
- Dolayısıyla, \( \frac{5\pi}{6} \) radyanlık açının birim çember üzerindeki noktası \( (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \)'dir.
- Bu durumda \( \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) ve \( \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2} \)'dir. ✅
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, 15 metre uzunluğundaki bir direğin gölgesinin 15 \( \sqrt{3} \) metre olduğunu ölçüyor. Güneşin yerle yaptığı açıyı ( \( \beta \) ) trigonometrik olarak bulunuz. ☀️
Çözüm:
- Bu durumda, direğin uzunluğu (15 metre) karşı dik kenarı, gölgenin uzunluğu (15 \( \sqrt{3} \) metre) ise komşu dik kenarı temsil eder.
- Karşı ve komşu dik kenarları ilişkilendiren trigonometrik fonksiyon tanjanttır.
- \( \tan \beta = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \).
- \( \tan \beta = \frac{15}{15\sqrt{3}} \).
- \( \tan \beta = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
- Tanjantı \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) olan açı \( 30^\circ \)'dir.
- Dolayısıyla, güneşin yerle yaptığı açı \( \beta = 30^\circ \)'dir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sinus-ve-kosinus/sorular