💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs ve Kosinüs Teoremleri: Üçgende Açı-Kenar Bağlantısı Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi'ne göre: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \] Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( a = 6 \), \( b = 8 \), \( C = 60^\circ \)
• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \)
• \( c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2} \)
• \( c^2 = 100 - 48 \)
• \( c^2 = 52 \)
• \( c = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \)

Sonuç olarak, \( c \) kenarının uzunluğu \( 2\sqrt{13} \) birimdir. ✅

Bu problemi Kosinüs Teoremi'ni kullanarak çözeceğiz. Kosinüs Teoremi'nin \( z \) kenarı için düzenlenmiş hali şöyledir: \[ z^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos(Z) \] Şimdi verilen değerleri yerine yerleştirelim ve \( \cos(Z) \) değerini yalnız bırakalım:

• \( x = 5 \), \( y = 7 \), \( z = 8 \)
• \( 8^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(Z) \)
• \( 64 = 25 + 49 - 70 \cos(Z) \)
• \( 64 = 74 - 70 \cos(Z) \)
• \( 70 \cos(Z) = 74 - 64 \)
• \( 70 \cos(Z) = 10 \)
• \( \cos(Z) = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \)

\( Z \) açısının kosinüs değeri \( \frac{1}{7} \) olarak bulunur. Bu açının tam değerini bulmak için ters kosinüs fonksiyonu kullanılır, ancak genellikle bu şekilde bırakılır veya hesap makinesi ile bulunur. 👉 \( Z = \arccos\left(\frac{1}{7}\right) \)

Bu tür bir soruda, iki açı ve bir kenar verildiğinde Sinüs Teoremi en kullanışlı araçtır. Sinüs Teoremi'ne göre: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \] Bizim ihtiyacımız olan \( a \) ve \( b \) kenarları ile \( A \) ve \( B \) açıları arasındaki ilişki: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \] Şimdi verilen değerleri yerine koyalım:

• \( A = 45^\circ \), \( B = 60^\circ \), \( b = 10 \)
• \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) ve \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
• \( a \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 10 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \)
• \( \frac{2a}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \)
• \( a = \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( a = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
• Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{3} \) ile genişletelim: \( a = \frac{10\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \)

Buna göre, \( a \) kenarının uzunluğu \( \frac{10\sqrt{6}}{3} \) birimdir. ✨

Bu soruda, üç kenar uzunluğu verildiğinde bir açının kosinüsünü bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. \( A \) açısı için Kosinüs Teoremi'nin ilgili formu şöyledir: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \] Şimdi \( \cos(A) \) değerini yalnız bırakacak şekilde formülü düzenleyelim: \[ 2bc \cos(A) = b^2 + c^2 - a^2 \] \[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Verilen değerleri yerine koyalım:

• \( a = 7 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \)
• \( \cos(A) = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} \)
• \( \cos(A) = \frac{25 + 64 - 49}{80} \)
• \( \cos(A) = \frac{89 - 49}{80} \)
• \( \cos(A) = \frac{40}{80} \)
• \( \cos(A) = \frac{1}{2} \)

Bu da \( A \) açısının \( 60^\circ \) olduğunu gösterir. 😎

Bu senaryo, gerçek hayatta uzaklıkları veya mesafeleri hesaplamak için Sinüs ve Kosinüs Teoremleri'nin nasıl kullanılabileceğini gösteren harika bir örnektir. Burada, \( A, B, C \) noktaları bir üçgen oluşturur ve bizden \( AB \) kenarını bulmamız isteniyor. Kenar uzunlukları ve aralarındaki açı verildiği için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.

• Üçgenimiz ABC, kenarlar \( a = BC = 20 \), \( b = AC = 15 \) ve \( c = AB \) (bulmak istediğimiz).
• Aramızdaki açı \( C = 120^\circ \).
• Kosinüs Teoremi: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \)
• Değerleri yerine koyalım: \( c^2 = 20^2 + 15^2 - 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ) \)
• \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \) olduğunu hatırlayalım.
• \( c^2 = 400 + 225 - 2 \cdot 300 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \)
• \( c^2 = 625 - (-300) \)
• \( c^2 = 625 + 300 \)
• \( c^2 = 925 \)
• \( c = \sqrt{925} = \sqrt{25 \cdot 37} = 5\sqrt{37} \)

İki bank arasındaki mesafe \( 5\sqrt{37} \) metredir. Bu, yaklaşık olarak \( 5 \times 6.08 \approx 30.4 \) metreye denk gelir. 🚶‍♀️🚶‍♂️

Bu problem, harita üzerindeki yerlerin bir üçgen oluşturduğu ve kenar uzunlukları bilindiğinde açıları hesaplayabileceğimiz bir senaryodur. Burada Ali'nin evindeki açıyı bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.

• Üçgenimiz ABC.
• Kenarlar: \( a = BC = 12 \) km (Parktan okula), \( b = AC = 10 \) km (Evden parka), \( c = AB = 16 \) km (Evden okula).
• Bulmak istediğimiz açı \( A \).
• Kosinüs Teoremi'nin \( A \) açısı için düzenlenmiş hali: \( \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)
• Değerleri yerine koyalım: \( \cos(A) = \frac{10^2 + 16^2 - 12^2}{2 \cdot 10 \cdot 16} \)
• \( \cos(A) = \frac{100 + 256 - 144}{320} \)
• \( \cos(A) = \frac{356 - 144}{320} \)
• \( \cos(A) = \frac{212}{320} \)
• Bu kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı 4'e bölelim: \( \cos(A) = \frac{53}{80} \)

Ali'nin evindeki \( A \) açısının kosinüs değeri \( \frac{53}{80} \) olarak bulunur. Bu açının yaklaşık değerini hesap makinesi ile bulabilirsiniz. 🧭

Bu soruda, açılar yerine sinüs değerleri verilmiş ve kenarlar arasındaki oran soruluyor. Bu durumda Sinüs Teoremi doğrudan kullanılabilir.

• Sinüs Teoremi'ne göre: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \)
• Bizden istenen \( \frac{a}{b} \) oranıdır. Bu oranı elde etmek için teoremi yeniden düzenleyelim:
• \( a \cdot \sin(B) = b \cdot \sin(A) \)
• \( \frac{a}{b} = \frac{\sin(A)}{\sin(B)} \)
• Şimdi verilen sinüs değerlerini yerine koyalım:
• \( \frac{a}{b} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \)
• Kesirleri bölerken, birinci kesri ikinci kesrin tersiyle çarparız:
• \( \frac{a}{b} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} \)
• \( \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \)

Bu durumda, \( a \) kenarının \( b \) kenarına oranı \( \frac{3}{4} \) olur. Bu, \( A \) açısının \( B \) açısından daha küçük olduğunu da ima eder. 📏

Bu senaryoda, geminin hareket ettiği mesafeyi (yani \( AB \) kenarını) hesaplamak için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Bu, navigasyonda veya haritalama uygulamalarında mesafeleri hesaplamak için kullanılan bir yöntemdir.

• Üçgenimiz ABC.
• Kenarlar: \( a = BC = 10 \) km, \( b = AC = 8 \) km.
• Aramızdaki açı \( C = 30^\circ \).
• Bulmak istediğimiz kenar \( c = AB \).
• Kosinüs Teoremi: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \)
• Değerleri yerine koyalım: \( c^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos(30^\circ) \)
• \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( c^2 = 100 + 64 - 2 \cdot 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( c^2 = 164 - 80\sqrt{3} \)
• \( c = \sqrt{164 - 80\sqrt{3}} \)

Gemi, A noktasından B noktasına doğru \( \sqrt{164 - 80\sqrt{3}} \) km yol almıştır. Bu değer yaklaşık olarak \( \sqrt{164 - 80 \times 1.732} \approx \sqrt{164 - 138.56} \approx \sqrt{25.44} \approx 5.04 \) km'dir. ⚓

Bu soruda, kenar uzunlukları \( 3, 4, 5 \) olan bir üçgen görüyoruz. Bu, özel bir üçgendir: bir dik üçgendir çünkü \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \) eşitliği sağlanır. Bu durumda, en uzun kenar \( c = 5 \) hipotenüstür ve \( C \) açısı \( 90^\circ \) olur. Ancak bizden \( A \) açısının sinüsü isteniyor.
İki farklı yolla çözebiliriz:
Yöntem 1: Dik Üçgen Özelliği ile

• \( C \) açısı \( 90^\circ \) olduğundan, \( A \) açısının karşısındaki kenar \( a = 3 \) ve hipotenüs \( c = 5 \)'tir.
• Sinüs tanımına göre: \( \sin(A) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \)
• \( \sin(A) = \frac{a}{c} = \frac{3}{5} \)

Yöntem 2: Sinüs Teoremi ile

• Sinüs Teoremi: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \)
• \( C = 90^\circ \) olduğundan \( \sin(C) = \sin(90^\circ) = 1 \).
• \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)} \) ilişkisini kullanalım.
• \( \frac{3}{\sin(A)} = \frac{5}{1} \)
• \( 3 = 5 \sin(A) \)
• \( \sin(A) = \frac{3}{5} \)

Her iki yöntemle de \( A \) açısının sinüsünün \( \frac{3}{5} \) olduğunu bulduk. ✅