💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs ve kosinüs teoremi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.

Kosinüs Teoremi'ne göre: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \)

• Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
• \( c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \)
• \( \cos(60^\circ) \) değerinin \( \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \)
• \( c^2 = 100 - 48 \)
• \( c^2 = 52 \)
• Her iki tarafın karekökünü alarak c'yi bulalım:
• \( c = \sqrt{52} \)
• \( c = \sqrt{4 \cdot 13} \)
• \( c = 2\sqrt{13} \)

💡 Bu nedenle, c kenarının uzunluğu \( 2\sqrt{13} \) birimdir. ✅

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'nin kenar uzunluklarına göre düzenlenmiş halini kullanacağız.

Kosinüs Teoremi'ne göre: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta) \)

Bizden \( \cos(\beta) \) istendiği için formülü şu şekilde düzenleyebiliriz: \( \cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \)

• Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
• \( \cos(\beta) = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} \)
• \( \cos(\beta) = \frac{25 + 64 - 49}{80} \)
• \( \cos(\beta) = \frac{89 - 49}{80} \)
• \( \cos(\beta) = \frac{40}{80} \)
• Sadeleştirelim:
• \( \cos(\beta) = \frac{1}{2} \)

👉 Bu nedenle, B açısının kosinüsü \( \frac{1}{2} \) dir. ✅

Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi ve üçgenin iç açıları toplamını kullanacağız.

1. Adım: A Açısını Bulma

• Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) dir.
• \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
• \( \alpha + 45^\circ + 60^\circ = 180^\circ \)
• \( \alpha + 105^\circ = 180^\circ \)
• \( \alpha = 180^\circ - 105^\circ \)
• \( \alpha = 75^\circ \)

2. Adım: b Kenarının Uzunluğunu Bulma (Sinüs Teoremi)

Sinüs Teoremi'ne göre: \( \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} \)

• Verilen değerleri ve bulduğumuz A açısını formülde yerine koyalım:
• \( \frac{7}{\sin(75^\circ)} = \frac{b}{\sin(45^\circ)} \)
• \( \sin(75^\circ) \) değerini bilmemiz gerekiyor. \( \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \)

• \( \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)
• \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \frac{7}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)
• \( b = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \)
• \( b = \frac{7\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \)
• \( b = \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \)
• Paydayı rasyonel yapmak için eşleniği ile çarpalım:
• \( b = \frac{14\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \)
• \( b = \frac{14\sqrt{12} - 14 \cdot 2}{6 - 2} \)
• \( b = \frac{14 \cdot 2\sqrt{3} - 28}{4} \)
• \( b = \frac{28\sqrt{3} - 28}{4} \)
• \( b = 7\sqrt{3} - 7 \)

💡 Bu nedenle, A açısı \( 75^\circ \) ve b kenarının uzunluğu \( 7\sqrt{3} - 7 \) birimdir. ✅

Bu soruyu çözmek için trigonometrik oranları ve Pisagor Teoremi'nin mantığını kullanacağız. Zirveye ulaşılacak yolun bir dik üçgen oluşturduğunu düşünebiliriz.

• 1. Adım: Dikey Yüksekliği Hesaplama
• Zirvenin deniz seviyesinden yüksekliği: 2500 m
• Kamp alanının deniz seviyesinden yüksekliği: 1500 m
• Dağcının tırmanacağı dikey yükseklik farkı: \( \Delta h = 2500 \, \text{m} - 1500 \, \text{m} = 1000 \, \text{m} \)
• 2. Adım: Yatay Uzaklığı Dönüştürme
• Zirveye olan yatay uzaklık: 2 kilometre
• Birimleri eşitlemek için kilometre 'yi metreye çevirelim: \( 2 \, \text{km} = 2000 \, \text{m} \)
• 3. Adım: Eğim Açısının Tanjantını Bulma
• Eğim açısı \( \theta \), dikey yüksekliğin yatay uzaklığa oranıdır.
• Tanjant, dik üçgende karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
• \( \tan(\theta) = \frac{\text{Dikey Yükseklik}}{\text{Yatay Uzaklık}} \)
• \( \tan(\theta) = \frac{1000 \, \text{m}}{2000 \, \text{m}} \)
• \( \tan(\theta) = \frac{1}{2} \)

👉 Bu nedenle, tırmanış yolunun eğim açısının tanjant değeri \( \frac{1}{2} \) dir. ✅

Bu problemi çözmek için Sinüs Teoremi ve trigonometrik oranları kullanacağız. Durumu bir dik üçgen gibi düşünebiliriz.

• 1. Adım: Dik Üçgeni Tanımlama
• Futbolcunun durduğu nokta, kalenin orta noktası ve kalenin bir direği bir dik üçgenin köşelerini oluşturur.
• Kaleye olan mesafe (hipotenüs): 11 m
• Kaleye dik olan mesafenin yarısı (karşı dik kenar): \( \frac{7.32}{2} = 3.66 \) m
• Bu dik üçgende, \( \alpha \) açısı, futbolcunun durduğu noktadan bakıldığında kalenin sağ direğini gören açıdır.
• 2. Adım: Sinüs Değerini Hesaplama
• Sinüs, dik üçgende karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
• \( \sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \)
• \( \sin(\alpha) = \frac{3.66 \, \text{m}}{11 \, \text{m}} \)
• \( \sin(\alpha) \approx 0.3327 \)
• Hesap makinesi kullanarak yaklaşık değeri bulabiliriz.

👉 Bu nedenle, futbolcunun kalenin sağ direği ile oluşturduğu açının sinüs değeri yaklaşık olarak \( 0.33 \) tür. ✅

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.

Kosinüs Teoremi'ne göre: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) \)

• Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
• \( a^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ) \)
• \( \cos(120^\circ) \) değeri \( -\frac{1}{2} \) 'dir.
• \( a^2 = 100 + 144 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot (-\frac{1}{2}) \)
• \( a^2 = 244 - (-120) \)
• \( a^2 = 244 + 120 \)
• \( a^2 = 364 \)
• Her iki tarafın karekökünü alarak a'yı bulalım:
• \( a = \sqrt{364} \)
• \( a = \sqrt{4 \cdot 91} \)
• \( a = 2\sqrt{91} \)

💡 Bu nedenle, a kenarının uzunluğu \( 2\sqrt{91} \) birimdir. ✅

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.

Kosinüs Teoremi'ne göre: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) \)

Bizden \( \cos(\alpha) \) istendiği için formülü şu şekilde düzenleyebiliriz: \( \cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)

• Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
• \( \cos(\alpha) = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} \)
• \( \cos(\alpha) = \frac{36 + 49 - 25}{84} \)
• \( \cos(\alpha) = \frac{85 - 25}{84} \)
• \( \cos(\alpha) = \frac{60}{84} \)
• Sadeleştirelim (Her iki tarafı 12'ye bölelim):
• \( \cos(\alpha) = \frac{5}{7} \)

👉 Bu nedenle, \( \cos(\alpha) \) değeri \( \frac{5}{7} \) dir. ✅

Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız.

Sinüs Teoremi'ne göre: \( \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} \)

• Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
• \( \frac{8}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{\sin(\beta)} \)
• \( \sin(30^\circ) \) değerinin \( \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( \frac{8}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\sin(\beta)} \)
• \( 16 = \frac{10}{\sin(\beta)} \)
• Şimdi \( \sin(\beta) \) 'yı yalnız bırakalım:
• \( \sin(\beta) = \frac{10}{16} \)
• Sadeleştirelim:
• \( \sin(\beta) = \frac{5}{8} \)

💡 Bu nedenle, \( \sin(\beta) \) değeri \( \frac{5}{8} \) dir. ✅

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. A, B ve C şehirlerinin oluşturduğu üçgeni ele alacağız.

• Açımız \( \gamma = \angle ACB \) olsun. Bu açının kosinüsünü bulacağız.
• Kosinüs Teoremi'ne göre: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \)
• Burada:
• \( c \) = A ve B arasındaki mesafe = 50 km
• \( a \) = B ve C arasındaki mesafe = 40 km
• \( b \) = A ve C arasındaki mesafe = 30 km
• Formülü \( \cos(\gamma) \) için düzenleyelim: \( \cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \)
• Değerleri yerine koyalım:
• \( \cos(\gamma) = \frac{40^2 + 30^2 - 50^2}{2 \cdot 40 \cdot 30} \)
• \( \cos(\gamma) = \frac{1600 + 900 - 2500}{2400} \)
• \( \cos(\gamma) = \frac{2500 - 2500}{2400} \)
• \( \cos(\gamma) = \frac{0}{2400} \)
• \( \cos(\gamma) = 0 \)
• Hangi açının kosinüsü 0'dır? Bu açı \( 90^\circ \) 'dir.

👉 Bu nedenle, C şehrindeki gözlemci A ve B şehirlerini \( 90^\circ \) (yani dik açı) ile görür. Bu, ABC üçgeninin dik üçgen olduğu anlamına gelir. ✅