🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs Kosinüs Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sinüs Kosinüs Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birim çember üzerinde \( \frac{\pi}{2} \) radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
- Birim çember, merkezi orijinde (0,0) olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.
- Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları \( (\cos \theta, \sin \theta) \) şeklinde ifade edilir.
- Burada verilen açı \( \theta = \frac{\pi}{2} \) radyandır.
- \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \) ve \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \) olduğunu biliyoruz.
- Dolayısıyla, \( \frac{\pi}{2} \) radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatları \( (0, 1) \) olur. ✅
Örnek 2:
\( \cos(180^\circ) \) değerini hesaplayınız. 📌
Çözüm:
- \( 180^\circ \) açısı, birim çember üzerinde negatif x-ekseni üzerindeki noktaya karşılık gelir.
- Bu noktanın koordinatları \( (-1, 0) \) 'dır.
- Birim çember üzerindeki bir noktanın x-koordinatı kosinüs değerini verir.
- Bu nedenle, \( \cos(180^\circ) = -1 \) olur. ✅
Örnek 3:
\( \sin(210^\circ) \) değerini hesaplayınız. 💡
Çözüm:
- \( 210^\circ \) açısı 3. bölgededir.
- 3. bölgede sinüs değeri negatiftir.
- Açıyı birim çember üzerinde indirgersek, \( 210^\circ = 180^\circ + 30^\circ \) şeklinde yazabiliriz.
- Bu durumda, \( \sin(210^\circ) = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin(30^\circ) \) olur.
- \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğundan, \( \sin(210^\circ) = -\frac{1}{2} \) bulunur. ✅
Örnek 4:
\( \cos(\frac{4\pi}{3}) \) değerini hesaplayınız. 📌
Çözüm:
- \( \frac{4\pi}{3} \) radyanlık açı, derece cinsinden \( \frac{4 \times 180^\circ}{3} = 240^\circ \) olur.
- \( 240^\circ \) açısı 3. bölgededir.
- 3. bölgede kosinüs değeri negatiftir.
- Açıyı birim çember üzerinde indirgersek, \( 240^\circ = 180^\circ + 60^\circ \) şeklinde yazabiliriz.
- Bu durumda, \( \cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) \) olur.
- \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğundan, \( \cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) bulunur. ✅
Örnek 5:
\( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) özdeşliğini kullanarak \( \cos(x) = \frac{3}{5} \) ise \( \sin(x) \) değerini bulunuz. (x, 1. bölgede olmak üzere) 💡
Çözüm:
- Temel trigonometrik özdeşlik \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) 'dir.
- Verilen \( \cos(x) = \frac{3}{5} \) değerini özdeşlikte yerine koyalım:
- \( \sin^2(x) + (\frac{3}{5})^2 = 1 \)
- \( \sin^2(x) + \frac{9}{25} = 1 \)
- \( \sin^2(x) = 1 - \frac{9}{25} \)
- \( \sin^2(x) = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25} \)
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( \sin(x) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \)
- Soruda x açısının 1. bölgede olduğu belirtilmiştir. 1. bölgede sinüs değeri pozitiftir.
- Bu nedenle, \( \sin(x) = \frac{4}{5} \) olur. ✅
Örnek 6:
Bir yelkenlinin direği, denize dik konumdadır. Yelkenlinin teknenin güvertesinden direğin tepesine kadar olan uzaklığı 10 metre ve direğin tepesinden suya olan dik uzaklığı 8 metredir. Yelkenlinin direğinin suya göre yüksekliğini ve direğin güverteye göre eğim açısını (sinüsünü) bulunuz. 📏
Çözüm:
- Bu problemi bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Hipotenüs, teknenin güvertesinden direğin tepesine olan uzaklıktır: \( 10 \) metre.
- Dik kenarlardan biri, direğin tepesinden suya olan uzaklıktır: \( 8 \) metre.
- Diğer dik kenar, direğin suya göre yüksekliğidir (buna 'h' diyelim).
- Pisagor teoremini kullanarak 'h' değerini bulabiliriz: \( h^2 + 8^2 = 10^2 \)
- \( h^2 + 64 = 100 \)
- \( h^2 = 100 - 64 = 36 \)
- \( h = \sqrt{36} = 6 \) metre. Direğin suya göre yüksekliği 6 metredir.
- Direğin güverteye göre eğim açısının sinüsünü bulmak için, açının karşısındaki dik kenarı (direğin suya göre yüksekliği) hipotenüse böleriz.
- Eğim açısına \( \alpha \) dersek: \( \sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
- Yelkenlinin direğinin suya göre yüksekliği 6 metredir ve direğin güverteye göre eğim açısının sinüsü \( \frac{3}{5} \) 'tir. ✅
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın çatısının eğimini hesaplamak istiyor. Çatının yatayda 12 metre ilerlediğini ve dikeyde 5 metre yükseldiğini ölçüyor. Çatıdaki bir noktanın yatay düzlemle yaptığı açının sinüsünü ve kosinüsünü bulunuz. 📐
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz.
- Yatay ilerleme (komşu dik kenar) = \( 12 \) metre.
- Dikey yükselme (karşı dik kenar) = \( 5 \) metre.
- Çatıdaki bir noktanın yatay düzlemle yaptığı açının sinüsünü bulmak için, karşı dik kenarı hipotenüse böleriz.
- Önce hipotenüsü (çatı eğiminin uzunluğu) Pisagor teoremi ile bulalım: \( \text{hipotenüs}^2 = 12^2 + 5^2 \)
- \( \text{hipotenüs}^2 = 144 + 25 = 169 \)
- \( \text{hipotenüs} = \sqrt{169} = 13 \) metre.
- Açının sinüsü: \( \sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{5}{13} \)
- Açının kosinüsünü bulmak için, komşu dik kenarı hipotenüse böleriz:
- \( \cos(\alpha) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{12}{13} \)
- Çatıdaki bir noktanın yatay düzlemle yaptığı açının sinüsü \( \frac{5}{13} \) ve kosinüsü \( \frac{12}{13} \) 'tür. ✅
Örnek 8:
\( \sin(x) = \frac{1}{3} \) ve \( \cos(y) = \frac{1}{4} \) olduğuna göre, \( \sin(x+y) \) ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulunuz. (x ve y, 1. bölgede açılardır.) 🚀
Çözüm:
- Toplam formülü ile \( \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) \) olduğunu biliyoruz.
- Verilenler: \( \sin(x) = \frac{1}{3} \) ve \( \cos(y) = \frac{1}{4} \).
- x ve y 1. bölgede olduğundan, hem sinüsleri hem de kosinüsleri pozitiftir.
- \( \cos(x) \) değerini bulalım: \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \Rightarrow (\frac{1}{3})^2 + \cos^2(x) = 1 \)
- \( \frac{1}{9} + \cos^2(x) = 1 \Rightarrow \cos^2(x) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
- \( \cos(x) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) (1. bölgede pozitif)
- \( \sin(y) \) değerini bulalım: \( \sin^2(y) + \cos^2(y) = 1 \Rightarrow \sin^2(y) + (\frac{1}{4})^2 = 1 \)
- \( \sin^2(y) + \frac{1}{16} = 1 \Rightarrow \sin^2(y) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \)
- \( \sin(y) = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \) (1. bölgede pozitif)
- Şimdi \( \sin(x+y) \) ifadesini hesaplayalım:
- \( \sin(x+y) = (\frac{1}{3})(\frac{1}{4}) + (\frac{2\sqrt{2}}{3})(\frac{\sqrt{15}}{4}) \)
- \( \sin(x+y) = \frac{1}{12} + \frac{2\sqrt{30}}{12} \)
- \( \sin(x+y) = \frac{1 + 2\sqrt{30}}{12} \)
- Bu ifadenin alabileceği en büyük değer budur çünkü x ve y 1. bölgede sabit değerlerdir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sinus-kosinus/sorular