📄 10. Sınıf Matematik: Sinüs Kosinüs Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir dik üçgende bir dar açının sinüsü, karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır. Açının sinüsü \(\frac{3}{5}\) ve hipotenüs 10 birim olduğuna göre, karşı dik kenar uzunluğu \(k\) olsun. \(\sin \alpha = \frac{k}{10} = \frac{3}{5}\). Bu eşitlikten \(5k = 30\), yani \(k = 6\) birim bulunur. Karşı dik kenar 6 birimdir.

Komşu dik kenar uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz. Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) ise \(a^2 + b^2 = c^2\) formülü geçerlidir. Karşı dik kenar 6, hipotenüs 10 ise, komşu dik kenar \(x\) olsun. \(6^2 + x^2 = 10^2 \Rightarrow 36 + x^2 = 100 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8\) birim bulunur.

Dolayısıyla, açının karşısındaki dik kenar 6 birim, komşusundaki dik kenar 8 birimdir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen eşitlik \(5 \sin \alpha = 3 \cos \alpha\) şeklindedir. Her iki tarafı \(\cos \alpha\) değerine bölersek (\(\alpha\) dar açı olduğu için \(\cos \alpha
eq 0\)), \(5 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3\) elde ederiz.

Biliyoruz ki \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha\) olduğundan, \(5 \tan \alpha = 3 \Rightarrow \tan \alpha = \frac{3}{5}\) olur.

Şimdi bir dik üçgen çizerek \(\tan \alpha = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} = \frac{3}{5}\) oranını yerleştirelim. Karşı dik kenara \(3k\), komşu dik kenara \(5k\) diyebiliriz.

Pisagor Teoremi'nden hipotenüsü bulalım: \((3k)^2 + (5k)^2 = \text{hipotenüs}^2 \Rightarrow 9k^2 + 25k^2 = \text{hipotenüs}^2 \Rightarrow 34k^2 = \text{hipotenüs}^2\). Buradan hipotenüs \(\sqrt{34}k\) bulunur.

Şimdi \(\sin \alpha\) ve \(\cos \alpha\) değerlerini hesaplayabiliriz:

\(\sin \alpha = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{3k}{\sqrt{34}k} = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{34}}{34}\)

\(\cos \alpha = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{5k}{\sqrt{34}k} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34}\)

💡 Çözüm Adımları:

Birim çemberde bir \(\theta\) açısının bitim noktasının koordinatları \((\cos \theta, \sin \theta)\) olarak verilir.

\(150^\circ\) açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgedeki bir açının referans açısı \(180^\circ - \theta\) formülü ile bulunur.

Referans açısı: \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\).

Biliyoruz ki \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) ve \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

İkinci bölgede sinüs değeri pozitif, kosinüs değeri ise negatiftir.

Bu durumda:

\(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

\(\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Dolayısıyla, \(150^\circ\) lik açının birim çember üzerindeki bitim noktasının koordinatları \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\) dir.