💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs Kosinüs Teoremleri Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs teoremi, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü bilindiğinde, üçüncü kenar uzunluğunu bulmamızı sağlar.
Kosinüs Teoremi formülü şöyledir: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \)
Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( a = 6 \)
• \( b = 8 \)
• \( C = 60^\circ \)
• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)

Formülde yerine koyduğumuzda: \[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \times 6 \times 8 \times \cos(60^\circ) \] \[ c^2 = 36 + 64 - 2 \times 48 \times \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 100 - 48 \] \[ c^2 = 52 \] Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) kenar uzunluğunu buluruz: \[ c = \sqrt{52} \] \( \sqrt{52} \) ifadesini sadeleştirebiliriz: \( \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \)
Dolayısıyla, \( c \) kenar uzunluğu \( 2\sqrt{13} \) cm'dir. ✅

Bu soruda da Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız ancak bu sefer bir açının kosinüsünü bulmak için teoremi yeniden düzenleyeceğiz.
Kosinüs Teoremi: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
\( A \) açısının kosinüsünü bulmak için formülü şu şekilde düzenleyebiliriz: \[ 2bc \cos(A) = b^2 + c^2 - a^2 \] \[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( a = 7 \)
• \( b = 5 \)
• \( c = 8 \)

Hesaplamaları yapalım: \[ \cos(A) = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \times 5 \times 8} \] \[ \cos(A) = \frac{25 + 64 - 49}{80} \] \[ \cos(A) = \frac{89 - 49}{80} \] \[ \cos(A) = \frac{40}{80} \] \[ \cos(A) = \frac{1}{2} \] Bu durumda \( A \) açısının kosinüsü \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur. 👉

Bu problemde, verilen bilgilerle bir üçgenin iki kenar uzunluğunu ve aralarındaki açıyı biliyoruz. Üçüncü kenar uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.
Üçgenimizin kenarları \( a, b, c \) ve karşısındaki açılar \( A, B, C \) olsun. Soruda verilenler:

• A noktasından B noktasına uzaklık: \( c = 100 \) m
• B noktasından C noktasına uzaklık: \( a = 120 \) m
• A ve B noktaları arasındaki açı (C açısı olmalı, çünkü C noktasına uzaklığı bulacağız): \( C = 75^\circ \)
• Bulmamız gereken: A noktasından C noktasına uzaklık (yani \( b \) kenarı)

Kosinüs Teoremi: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \) (Burada dikkat! Soruda A ve B arasındaki açı 75 derece verilmiş. Eğer A, B, C noktaları ise ve biz A'dan C'ye uzaklığı buluyorsak, bu C kenarı değil b kenarı olur. B açısı değil C açısı olmalı.)
Soruyu yeniden yorumlayalım: A, B, C noktaları bir üçgen oluşturuyor.

• AB kenarı = \( c = 100 \) m
• BC kenarı = \( a = 120 \) m
• A noktasındaki açı \( \alpha \), B noktasındaki açı \( \beta \), C noktasındaki açı \( \gamma \) olsun.
• Soruda "A ve B noktaları arasındaki açı \( 75^\circ \)" ifadesi, genellikle bu iki nokta arasındaki kenarın karşısındaki açıyı değil, bu iki noktanın oluşturduğu açıyı ifade eder. Eğer A, B, C bir üçgen ise, bu \( \gamma \) açısıdır (C açısı).
• Yani, \( \gamma = 75^\circ \)
• Bulmamız gereken: A noktasından C noktasına olan uzaklık, yani \( b \) kenarı.

Kosinüs Teoremi: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \) (Bu formül yanlış, C açısı a ve b kenarlarının arasındaki açıdır.)
Doğru formül: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \). Bizim bulacağımız kenar \( b \) ise: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \) (Bu da yanlış, B açısı a ve c kenarları arasındaki açıdır.)
Soruyu netleştirelim: A, B, C bir üçgen.

• Kenar \( c \) (AB) = 100 m
• Kenar \( a \) (BC) = 120 m
• A noktasındaki açı \( A \), B noktasındaki açı \( B \), C noktasındaki açı \( C \).
• Soruda "A ve B noktaları arasındaki açı \( 75^\circ \)" ifadesi, eğer bu iki noktadan çıkan kenarların oluşturduğu açı ise, bu C açısıdır.
• Yani, \( C = 75^\circ \)
• Bulmamız gereken: A noktasından C noktasına uzaklık, yani \( b \) kenarı.

Kosinüs Teoremi: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \) (Bu formül de yanlış, C açısı a ve b kenarları arasındadır.)
Doğru formül: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \). Bizim bulacağımız kenar \( b \) ise, \( b \) kenarının karşısındaki açı \( B \) olmalı. Eğer verilen açı \( C = 75^\circ \) ise ve kenarlar \( a=120 \) ve \( b \) ise, \( c \) kenarı \( \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)} \) olur. Sorudaki "A ve B noktaları arasındaki açı \( 75^\circ \)" ifadesi, eğer bu iki noktanın bulunduğu yerdeki açıyı kastediyorsa, bu \( C \) açısıdır. Verilenler:

• Kenar \( c \) (AB) = 100 m
• Kenar \( a \) (BC) = 120 m
• A noktasından C noktasına uzaklık = \( b \) (bulunacak)
• A noktasındaki açı \( A \), B noktasındaki açı \( B \), C noktasındaki açı \( C \).

Eğer "A ve B noktaları arasındaki açı \( 75^\circ \)" ifadesi, C noktasındaki açıyı \( C = 75^\circ \) olarak veriyorsa, biz \( c \) kenarını bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. Soruda A'dan C'ye uzaklık soruluyor, yani \( b \) kenarı. Verilenler:

• Kenar \( c \) (AB) = 100 m
• Kenar \( a \) (BC) = 120 m
• A noktasındaki açı \( A \), B noktasındaki açı \( B \), C noktasındaki açı \( C \).

Eğer "A ve B noktaları arasındaki açı \( 75^\circ \)" ifadesi, A noktasındaki \( A \) açısını veya B noktasındaki \( B \) açısını veriyorsa, problem çözülemez. En makul yorum: A, B, C noktaları bir üçgen. AB = 100, BC = 120. A noktasından C noktasına uzaklık soruluyor (yani \( b \)). Eğer \( B \) açısı \( 75^\circ \) ise: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \) \( b^2 = 120^2 + 100^2 - 2 \times 120 \times 100 \times \cos(75^\circ) \) \( b^2 = 14400 + 10000 - 24000 \times 0.26 \) \( b^2 = 24400 - 6240 \) \( b^2 = 18160 \) \( b = \sqrt{18160} \approx 134.76 \) m Eğer \( A \) açısı \( 75^\circ \) ise: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \) \( 120^2 = b^2 + 100^2 - 2 \times b \times 100 \times \cos(75^\circ) \) \( 14400 = b^2 + 10000 - 200b \times 0.26 \) \( 14400 = b^2 + 10000 - 52b \) \( b^2 - 52b - 4400 = 0 \) (Bu denklem çözümü bu seviye için uygun değil) Eğer \( C \) açısı \( 75^\circ \) ise: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \) \( 100^2 = 120^2 + b^2 - 2 \times 120 \times b \times \cos(75^\circ) \) \( 10000 = 14400 + b^2 - 240b \times 0.26 \) \( 10000 = 14400 + b^2 - 62.4b \) \( b^2 - 62.4b + 4400 = 0 \) (Bu denklem çözümü bu seviye için uygun değil) En olası yorum: A, B, C bir üçgen. AB = 100m, BC = 120m. A noktasındaki açı \( A = 75^\circ \). A'dan C'ye uzaklık \( b \) soruluyor. Bu durumda \( a \) kenarı \( 120 \) m. Kosinüs Teoremi: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \) \( 120^2 = b^2 + 100^2 - 2 \times b \times 100 \times \cos(75^\circ) \) \( 14400 = b^2 + 10000 - 200b \times 0.26 \) \( 14400 = b^2 + 10000 - 52b \) \( b^2 - 52b - 4400 = 0 \) (Bu denklem çözümü bu seviye için uygun değil.) Soruyu tekrar düzenleyelim: A, B, C bir üçgen. A noktasından B noktasına uzaklık (yani \( c \)) 100 m. B noktasından C noktasına uzaklık (yani \( a \)) 120 m. B açısı \( 75^\circ \) ise, A noktasından C noktasına uzaklık (yani \( b \)) nedir? Bu yorum, soruyu daha çözülebilir hale getirir. Verilenler:

• Kenar \( c \) (AB) = 100 m
• Kenar \( a \) (BC) = 120 m
• B açısı \( B = 75^\circ \)
• Bulunacak kenar \( b \) (AC)

Kosinüs Teoremi: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \) \[ b^2 = 120^2 + 100^2 - 2 \times 120 \times 100 \times \cos(75^\circ) \] \[ b^2 = 14400 + 10000 - 24000 \times 0.26 \] \[ b^2 = 24400 - 6240 \] \[ b^2 = 18160 \] \[ b = \sqrt{18160} \] \( \sqrt{18160} \approx 134.76 \) Yaklaşık olarak \( b \approx 135 \) metre. 🌲

Bu soruda da Kosinüs Teoremi'ni kullanarak bir açının kosinüsünü bulacağız. Formülü \( B \) açısı için düzenlememiz gerekiyor.
Kosinüs Teoremi: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \)
\( B \) açısının kosinüsünü bulmak için formülü şu şekilde düzenleyelim: \[ 2ac \cos(B) = a^2 + c^2 - b^2 \] \[ \cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \] Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( a = 5 \)
• \( b = 7 \)
• \( c = 8 \)

Hesaplamaları yapalım: \[ \cos(B) = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \times 5 \times 8} \] \[ \cos(B) = \frac{25 + 64 - 49}{80} \] \[ \cos(B) = \frac{89 - 49}{80} \] \[ \cos(B) = \frac{40}{80} \] \[ \cos(B) = \frac{1}{2} \] Bu durumda \( B \) açısının kosinüsü \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur. 👍

Bu senaryo, bir dik üçgen oluşturur. Gemi önce A'dan B'ye gidiyor, sonra B'de 90 derece dönerek C'ye gidiyor. Bu durumda ABC üçgeni, B açısı \( 90^\circ \) olan bir dik üçgendir.
Verilenler:

• AB kenarı (geminin ilk gittiği mesafe) = \( c = 15 \) km
• BC kenarı (geminin ikinci gittiği mesafe) = \( a = 8 \) km
• B açısı \( B = 90^\circ \)
• Bulunması gereken: A'dan C'ye en kısa uzaklık (yani \( b \) kenarı, hipotenüs)

Bu durumda Pisagor teoremi kullanılabilir. Ancak, Kosinüs Teoremi de \( 90^\circ \) için geçerlidir ve \( \cos(90^\circ) = 0 \) olduğundan Pisagor'a dönüşür.
Kosinüs Teoremi: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \)
\( B = 90^\circ \) olduğu için \( \cos(90^\circ) = 0 \). Formül şöyle olur: \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \times 0 \] \[ b^2 = a^2 + c^2 \] Şimdi değerleri yerine koyalım: \[ b^2 = 8^2 + 15^2 \] \[ b^2 = 64 + 225 \] \[ b^2 = 289 \] Her iki tarafın karekökünü alarak \( b \) kenar uzunluğunu buluruz: \[ b = \sqrt{289} \] \[ b = 17 \] Dolayısıyla, gemi başlangıç noktası olan A'dan C noktasına en kısa 17 km uzaktadır. ⚓

Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Sinüs teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi gösterir.
Sinüs Teoremi formülü şöyledir: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \] Soruda verilenler:

• \( a = 9 \) cm
• \( \sin(A) = \frac{3}{5} \)
• \( b = 15 \) cm
• Bulunması gereken: \( \sin(B) \)

Sinüs teoreminin \( a \) ve \( b \) kenarları için olan kısmını kullanalım: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \] Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım: \[ \frac{9}{\frac{3}{5}} = \frac{15}{\sin(B)} \] İlk ifadeyi hesaplayalım: \[ \frac{9}{\frac{3}{5}} = 9 \times \frac{5}{3} = \frac{45}{3} = 15 \] Şimdi denklemimiz şu hale geldi: \[ 15 = \frac{15}{\sin(B)} \] \( \sin(B) \) değerini bulmak için denklemi yeniden düzenleyelim: \[ \sin(B) = \frac{15}{15} \] \[ \sin(B) = 1 \] Bu durumda \( \sin(B) \) değeri 1 olarak bulunur. Bu, \( B \) açısının \( 90^\circ \) olduğu anlamına gelir. ✨

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız, çünkü iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açının ölçüsü verilmiş ve üçüncü kenar uzunluğu soruluyor.
Kosinüs Teoremi formülü şöyledir: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( b = 10 \)
• \( c = 12 \)
• \( A = 45^\circ \)
• \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Formülde yerine koyduğumuzda: \[ a^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \times 10 \times 12 \times \cos(45^\circ) \] \[ a^2 = 100 + 144 - 2 \times 120 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ a^2 = 244 - 120\sqrt{2} \] Her iki tarafın karekökünü alarak \( a \) kenar uzunluğunu buluruz: \[ a = \sqrt{244 - 120\sqrt{2}} \] Bu ifadeyi daha fazla sadeleştirmek bu seviye için beklenmez. \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) alarak yaklaşık bir değer bulabiliriz: \( a^2 \approx 244 - 120 \times 1.414 \) \( a^2 \approx 244 - 169.68 \) \( a^2 \approx 74.32 \) \( a \approx \sqrt{74.32} \approx 8.62 \) cm. Kesin cevap \( \sqrt{244 - 120\sqrt{2}} \) cm'dir. 🎯

Bu problemde, bir üçgenin üç kenar uzunluğu verilmiş ve bir açının ölçüsü soruluyor. Bu durumda Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.
Üçgenin kenarları \( a, b, c \) ve açıları \( A, B, C \) olsun. Soruda verilenler:

• \( a = 25 \) km (B'den C'ye mesafe)
• \( b = 30 \) km (A'dan C'ye mesafe)
• \( c = 20 \) km (A'dan B'ye mesafe)
• Bulunması gereken: \( A \) açısı

Kosinüs Teoremi'ni \( A \) açısı için şu şekilde yazarız: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \] \( A \) açısının kosinüsünü bulmak için formülü yeniden düzenleyelim: \[ 2bc \cos(A) = b^2 + c^2 - a^2 \] \[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım: \[ \cos(A) = \frac{30^2 + 20^2 - 25^2}{2 \times 30 \times 20} \] \[ \cos(A) = \frac{900 + 400 - 625}{1200} \] \[ \cos(A) = \frac{1300 - 625}{1200} \] \[ \cos(A) = \frac{675}{1200} \] Bu kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı 25'e bölelim: \( 675 \div 25 = 27 \) \( 1200 \div 25 = 48 \) \[ \cos(A) = \frac{27}{48} \] Şimdi her iki tarafı 3'e bölelim: \( 27 \div 3 = 9 \) \( 48 \div 3 = 16 \) \[ \cos(A) = \frac{9}{16} \] Bu durumda \( A \) açısının kosinüsü \( \frac{9}{16} \) olarak bulunur. Gözlemci, B ve C şehirlerini \( \arccos\left(\frac{9}{16}\right) \) açısıyla görür. 🧭

Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Verilen bilgilerle iki kenar ve karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi kurabiliriz.
Sinüs Teoremi formülü şöyledir: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \] Soruda verilenler:

• \( b = 6 \) cm
• \( \sin(B) = \frac{1}{2} \)
• \( \sin(C) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Bulunması gereken: \( c \) kenar uzunluğu

Sinüs teoreminin \( b \) ve \( c \) kenarları için olan kısmını kullanalım: \[ \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \] Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım: \[ \frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] İlk ifadeyi hesaplayalım: \[ \frac{6}{\frac{1}{2}} = 6 \times 2 = 12 \] Şimdi denklemimiz şu hale geldi: \[ 12 = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \( c \) değerini bulmak için denklemi yeniden düzenleyelim: \[ c = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ c = \frac{12\sqrt{3}}{2} \] \[ c = 6\sqrt{3} \] Dolayısıyla, \( c \) kenar uzunluğu \( 6\sqrt{3} \) cm'dir. 📐