💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs Kosinüs Teoremi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi'ne göre bir üçgende herhangi bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından bu iki kenar ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasıyla bulunur. Kosinüs Teoremi Formülü:* \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \) * Verilen değerleri formülde yerine koyalım: * \( a = 6 \) * \( b = 8 \) * \( C = 60^\circ \) * \( \cos(60^\circ) \) değeri \( \frac{1}{2} \) olarak bilinir. * Formülde yerine koyduğumuzda: \[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 100 - 96 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 100 - 48 \] \[ c^2 = 52 \] * \( c \) kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \[ c = \sqrt{52} \] \[ c = \sqrt{4 \cdot 13} \] \[ c = 2\sqrt{13} \] * Sonuç olarak, \( c \) kenarının uzunluğu \( 2\sqrt{13} \) cm'dir. ✅

Bu soruda, kenar uzunlukları verilen bir üçgende bir açıyı bulmak için yine Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Bu sefer formülü \( A \) açısını bulacak şekilde düzenlememiz gerekiyor. Kosinüs Teoremi Formülü (A açısı için):* \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \) * Formülü \( \cos(A) \) yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim: \[ 2bc \cos(A) = b^2 + c^2 - a^2 \] \[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] * Verilen değerleri formülde yerine koyalım: * \( a = 7 \) * \( b = 5 \) * \( c = 8 \) * Hesaplamaları yapalım: \[ \cos(A) = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} \] \[ \cos(A) = \frac{25 + 64 - 49}{80} \] \[ \cos(A) = \frac{89 - 49}{80} \] \[ \cos(A) = \frac{40}{80} \] \[ \cos(A) = \frac{1}{2} \] * \( \cos(A) = \frac{1}{2} \) eşitliğini sağlayan \( A \) açısı \( 60^\circ \) olarak bulunur. 👉 * Bu nedenle, \( A \) açısının ölçüsü \( 60^\circ \) 'dir. 📌

Bu soruda, iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açının ölçüsü verildiğinde üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi Formülü:* \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \) * Verilen değerleri formülde yerine koyalım: * \( b = 10 \) * \( c = 12 \) * \( A = 30^\circ \) * \( \cos(30^\circ) \) değeri \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) olarak bilinir. * Formülde yerine koyduğumuzda: \[ a^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(30^\circ) \] \[ a^2 = 100 + 144 - 2 \cdot 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ a^2 = 244 - 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ a^2 = 244 - 120\sqrt{3} \] * \( a \) kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \[ a = \sqrt{244 - 120\sqrt{3}} \] * Bu ifadeyi daha fazla sadeleştirmek genellikle bu seviyede beklenmez, bu yüzden cevap \( \sqrt{244 - 120\sqrt{3}} \) olarak bırakılabilir. ✅

Bu soruda, iki açı ve bir kenar verildiğinde başka bir kenarı bulmak için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Sinüs Teoremi, bir üçgende kenar uzunluklarının karşısındaki açıların sinüsleriyle orantılı olduğunu belirtir. Sinüs Teoremi Formülü:* \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \) * Soruda verilenler: * \( A = 45^\circ \) * \( B = 60^\circ \) * \( a = 8 \) cm * \( b \) kenarını bulmak için formülün ilgili kısmını kullanalım: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \] * Değerleri yerine koyalım: \[ \frac{8}{\sin(45^\circ)} = \frac{b}{\sin(60^\circ)} \] * \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) ve \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz. * Yerine koyduğumuzda: \[ \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] * Denklemi \( b \) için çözelim: \[ 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = b \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}} \] * Her iki tarafı \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) ile çarpalım: \[ b = \frac{16}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ b = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] * Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{2} \) ile genişletelim: \[ b = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \] \[ b = \frac{8\sqrt{6}}{2} \] \[ b = 4\sqrt{6} \] * Sonuç olarak, \( b \) kenarının uzunluğu \( 4\sqrt{6} \) cm'dir. 👉

Bu problemde, haritacının doğrudan ölçemediği A ve B noktaları arasındaki mesafeyi hesaplaması gerekiyor. Elimizde C noktasından A ve B'ye olan mesafeler ve A ile C arasındaki açı bilgisi var. Bu durum, üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulma problemine benzemektedir. Kullanılacak Teorem: Bu tür bir durumda Kosinüs Teoremi* en uygun araçtır. Kosinüs Teoremi, üç kenar ve bir açı arasındaki ilişkiyi kurar. * Problemi bir üçgen olarak modelleyelim: A, B ve C noktaları bir üçgenin köşeleri olsun. * AC kenarı \( = 100 \) m (Soruda A'dan C'ye 100m verilmiş, bu a kenarı değil c kenarıdır veya b kenarıdır, C'den A'ya olan uzaklık olarak düşünelim. Biz A ve B arasındaki mesafeyi bulacağız, yani c kenarını.) * BC kenarı \( = 150 \) m (Bu a kenarıdır.) * A açısı \( = 75^\circ \) (Bu, C noktasındaki açı değil, A noktasındaki açıdır. Soruda "A ve C noktaları arasındaki açının \( 75^\circ \) olduğunu ölçüyor" ifadesi biraz kafa karıştırıcı. Genellikle bu tür sorularda A, B, C köşeleri ve kenarları a, b, c olarak adlandırılır. Eğer C noktasındaki açı 75 derece olsaydı, bu \( \gamma \) olurdu. Ancak metinde "A ve C noktaları arasındaki açının" denmesi, A köşesindeki açıyı kastettiği şeklinde yorumlanabilir. Eğer A köşesindeki açı \( 75^\circ \) ise, bu \( \alpha \) olurdu. Ancak haritacı A noktasından B'ye olan mesafeyi ölçmek istiyor ve C noktasını kullanıyor. Genellikle C noktasındaki açı verilir. Soruyu C noktasındaki açı \( 75^\circ \) olarak varsayalım, yani \( \gamma = 75^\circ \). Bu durumda AC = b = 100m ve BC = a = 150m olur. Bulmak istediğimiz AB = c.) * Varsayım: C açısı \( = 75^\circ \) yani \( \gamma = 75^\circ \). * \( b = 100 \) m (AC kenarı) * \( a = 150 \) m (BC kenarı) * Bulunacak: \( c \) (AB kenarı) Kosinüs Teoremi Formülü:* \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \) * Değerleri yerine koyalım: \[ c^2 = 150^2 + 100^2 - 2 \cdot 150 \cdot 100 \cdot \cos(75^\circ) \] \[ c^2 = 22500 + 10000 - 30000 \cdot \cos(75^\circ) \] \[ c^2 = 32500 - 30000 \cdot 0.2588 \] \[ c^2 = 32500 - 7764 \] \[ c^2 = 24736 \] * \( c \) kenar uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \[ c = \sqrt{24736} \] \[ c \approx 157.28 \] * Bu nedenle, haritacının A ve B noktaları arasındaki mesafeyi hesaplamak için Kosinüs Teoremi'ni kullanması gerekir ve bu mesafe yaklaşık olarak \( 157.28 \) metredir. 💡

Bu durum, bir üçgen problemi olarak modellenebilir. Oyuncunun bulunduğu nokta (O), kalenin ortası (K) ve kalenin bir direği (D) bir üçgen oluşturur. Ancak soruda "kaleye olan mesafeyi" soruyor ve oyuncu ile kalenin ortası arasındaki açı verilmiş. Bu durumda oyuncu (O), kalenin ortası (K) ve kalenin bir kenarı (D) bir üçgen oluşturur. Soruda "kaleye olan mesafeyi" hesaplaması isteniyor, bu oyuncudan kalenin ortasına olan mesafedir. Verilenler:* * Oyuncu ile Kalenin Ortası arasındaki mesafe (OK) = 20 m. Bu, bir kenar uzunluğudur. * Oyuncunun Topu ile Kaleye olan mesafesi (OT) = 30 m. Bu, başka bir kenar uzunluğudur. * Oyuncu (O), Kalenin Ortası (K) ve Top (T) bir üçgen oluşturuyor. * Oyuncu ile Kalenin Ortası arasındaki açı \( 110^\circ \) olarak verilmiş. Bu, oyuncunun bakış açısıyla kalenin ortasına doğru olan açıdır. Yani, Topun bulunduğu noktadan (T) bakıldığında, Kalenin Ortasına (K) ve Oyuncunun kendisine (O) olan açısı \( 110^\circ \) değil, oyuncunun bulunduğu noktadan (O) bakıldığında, kalenin ortası (K) ve topun bulunduğu nokta (T) arasındaki açıdır. Soruyu bu şekilde yorumlayalım: Oyuncunun bulunduğu nokta O, kalenin ortası K, topun bulunduğu yer T. OK = 20m, OT = 30m ve OKT açısı \( 110^\circ \) ise, TK mesafesini bulmalıyız. Ancak soruda "Oyuncunun kaleye olan mesafesini" soruyor. Bu, oyuncunun bulunduğu yerden kalenin ortasına olan mesafedir. Bu zaten 20 metre olarak verilmiş. Soruda bir tutarsızlık var. Soruyu şu şekilde yeniden yorumlayalım: Oyuncu (O), kalenin (K) bir noktası ve topun (T) bulunduğu nokta bir üçgen oluşturuyor. * Oyuncunun bulunduğu yer (O) ile kalenin ortası (K) arasındaki mesafe: 20 m. * Oyuncunun bulunduğu yer (O) ile topun bulunduğu yer (T) arasındaki mesafe: 30 m. * Oyuncunun bulunduğu yerdeki (O) açı: \( 110^\circ \). Bu açı, oyuncunun topa baktığı yön ile kaleye baktığı yön arasındaki açıdır. Yani, T-O-K açısı \( 110^\circ \). * Bulunması istenen: Oyuncunun kaleye olan mesafesi. Bu, oyuncunun bulunduğu yerden kalenin ortasına olan mesafedir, yani OK. Bu zaten 20 metre olarak verilmiş. Soruyu tekrar dikkatli okuyalım: "Oyuncunun kaleye olan mesafesini (topun bulunduğu yerden kaleye olan mesafeyi) hesaplamak için..." Bu ifade, oyuncunun bulunduğu noktadan kaleye olan mesafeyi değil, topun bulunduğu yerden kaleye olan mesafeyi hesaplamamız gerektiğini belirtiyor. * Oyuncunun bulunduğu nokta: O * Topun bulunduğu nokta: T * Kalenin ortası: K * Verilenler: * OK = 20 m (Oyuncu ile kalenin ortası arası mesafe) * OT = 30 m (Oyuncu ile top arası mesafe) * Açı: Oyuncu (O) noktasındaki açı \( 110^\circ \). Bu açı, oyuncunun topa baktığı yön ile kaleye baktığı yön arasındaki açıdır. Yani, T-O-K açısı \( 110^\circ \). * Bulunması istenen: TK mesafesi (Topun bulunduğu yerden kalenin ortasına olan mesafe). Kullanılacak Teorem: Bu durumda, bir üçgenin iki kenarı (OK ve OT) ve bu kenarlar arasındaki açı (T-O-K açısı) verildiğinde üçüncü kenarı (TK) bulmak için Kosinüs Teoremi* kullanılır. Kosinüs Teoremi Formülü:* \( TK^2 = OK^2 + OT^2 - 2 \cdot OK \cdot OT \cdot \cos(T-O-K) \) * Değerleri yerine koyalım: \[ TK^2 = 20^2 + 30^2 - 2 \cdot 20 \cdot 30 \cdot \cos(110^\circ) \] \[ TK^2 = 400 + 900 - 1200 \cdot \cos(110^\circ) \] \[ TK^2 = 1300 - 1200 \cdot (-0.342) \] \[ TK^2 = 1300 + 410.4 \] \[ TK^2 = 1710.4 \] * \( TK \) mesafesini bulmak için karekök alalım: \[ TK = \sqrt{1710.4} \] \[ TK \approx 41.36 \] * Sonuç olarak, oyuncunun kaleye olan mesafesi (topun bulunduğu yerden kaleye olan mesafe) yaklaşık olarak \( 41.36 \) metredir. ✅

Bu soruda, iki kenar ve bir açının karşısındaki kenar verildiğinde, diğer açıyı bulmak için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Sinüs Teoremi Formülü:* \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \) * Verilen değerleri formülde yerine koyalım: * \( a = 5\sqrt{2} \) * \( b = 10 \) * \( A = 45^\circ \) * Formülde yerine koyduğumuzda: \[ \frac{5\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} = \frac{10}{\sin(B)} \] * \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) olduğunu biliyoruz. * Yerine koyduğumuzda: \[ \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sin(B)} \] * Sol tarafı sadeleştirelim: \[ 5\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 10 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 10 \] * Bu durumda denklemimiz: \[ 10 = \frac{10}{\sin(B)} \] * \( \sin(B) \) için çözelim: \[ \sin(B) = \frac{10}{10} \] \[ \sin(B) = 1 \] * \( \sin(B) = 1 \) eşitliğini sağlayan \( B \) açısı \( 90^\circ \) olarak bulunur. 👉 * Bu nedenle, \( B \) açısının ölçüsü \( 90^\circ \) 'dir. Bu bir dik üçgendir. 📌

Bu soruda, bir üçgenin üç kenar uzunluğu verildiğinde bir açının kosinüsünü bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi Formülü (C açısı için):* \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \) * Formülü \( \cos(C) \) yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim: \[ 2ab \cos(C) = a^2 + b^2 - c^2 \] \[ \cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] * Verilen değerleri formülde yerine koyalım: * \( a = 7 \) * \( b = 5 \) * \( c = 8 \) * Hesaplamaları yapalım: \[ \cos(C) = \frac{7^2 + 5^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} \] \[ \cos(C) = \frac{49 + 25 - 64}{70} \] \[ \cos(C) = \frac{74 - 64}{70} \] \[ \cos(C) = \frac{10}{70} \] \[ \cos(C) = \frac{1}{7} \] * Bu nedenle, \( C \) açısının kosinüsü \( \frac{1}{7} \) 'dir. ✅

Bu problem, mühendisin iki bina arasındaki mesafeyi ölçme senaryosunu ele alıyor. Bu, bir üçgenin iki açısı ve bir kenarı verildiğinde diğer kenarları bulma problemine örnektir. Kullanılacak Teorem: Bu tür bir durumda, üçgenin iki açısı ve bir kenarı verildiğinde diğer kenarları bulmak için Sinüs Teoremi* kullanılır. * Problemi bir üçgen olarak modelleyelim: A (birinci bina), B (ikinci bina) ve C (mühendisin bulunduğu nokta) bir üçgenin köşeleri olsun. * AC kenarı \( = 50 \) m. * A açısı \( = 30^\circ \) (C noktasından A binasına bakış açısı). * B açısı \( = 70^\circ \) (C noktasından B binasına bakış açısı). * C açısı \( = 180^\circ - (30^\circ + 70^\circ) = 80^\circ \). * Bulunacak: AB kenarı (iki bina arasındaki mesafe). Sinüs Teoremi Formülü:* \( \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} \) * Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \[ \frac{50}{\sin(70^\circ)} = \frac{AB}{\sin(80^\circ)} \] * \( AB \) kenarını bulmak için denklemi çözelim: \[ AB = \frac{50 \cdot \sin(80^\circ)}{\sin(70^\circ)} \] * Soruda verilen yaklaşık değerleri kullanalım: \( \sin(80^\circ) \approx 0.9848 \). \( \sin(70^\circ) \) değeri verilmemiş, ancak \( \sin(70^\circ) \approx 0.9397 \) olarak bilinir. Soruda \( \sin(30^\circ) \) verilmiş ancak \( \sin(70^\circ) \) verilmemiş. Bu bir eksiklik. Eğer soruda \( \sin(70^\circ) \) yerine \( \sin(30^\circ) \) kullanılması isteniyorsa, bu sorunun yapısı gereği mümkün değil. Soruyu \( \sin(70^\circ) \) değeriyle devam ettirelim. \[ AB \approx \frac{50 \cdot 0.9848}{\sin(70^\circ)} \] Eğer soruda C açısının \( 30^\circ \) olduğu ve A açısının \( 80^\circ \) olduğu varsayılırsa (sorunun metnindeki "A ve C noktaları arasındaki açının \( 75^\circ \) olduğunu ölçüyor" gibi ifadelerden yola çıkarak), bu durumda C noktasındaki açı \( 80^\circ \) olarak verilmiş. Sorudaki \( \sin(30^\circ) \) bilgisini kullanmak için, eğer A açısı \( 30^\circ \) ise, o zaman \( \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} \) formülünde A açısı yerine \( 30^\circ \) kullanmak gerekir. Ancak verilen açı C noktasındaki açıdır. Soruyu tekrar yorumlayalım: Mühendis C noktasında. A binası ve B binası var. C'den A'ya olan uzaklık 50m. C noktasından A'ya bakış açısı \( 30^\circ \), C noktasından B'ye bakış açısı \( 70^\circ \). * AC = 50 m * Açı ACB \( = 180 - (30+70) = 80^\circ \) * Açı CAB \( = 30^\circ \) * Açı CBA \( = 70^\circ \) * Bulunacak: AB * Sinüs Teoremi: \( \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} \) * \( \frac{50}{\sin(70^\circ)} = \frac{AB}{\sin(80^\circ)} \) * \( AB = \frac{50 \cdot \sin(80^\circ)}{\sin(70^\circ)} \) * \( \sin(70^\circ) \approx 0.9397 \) ve \( \sin(80^\circ) \approx 0.9848 \) * \( AB \approx \frac{50 \cdot 0.9848}{0.9397} \approx \frac{49.24}{0.9397} \approx 52.40 \) Soruda verilen \( \sin(30^\circ) \) bilgisini kullanmak için farklı bir senaryo düşünelim: Eğer C noktasındaki açı \( 80^\circ \) değil de, A noktasındaki açı \( 30^\circ \) ise ve B noktasındaki açı \( 70^\circ \) ise, o zaman C açısı \( 180 - (30+70) = 80^\circ \) olur. Bu durumda AC = 50m, A = \( 30^\circ \), B = \( 70^\circ \), C = \( 80^\circ \). Bulunacak AB. Sinüs Teoremi: \( \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} \) \( \frac{50}{\sin(70^\circ)} = \frac{AB}{\sin(80^\circ)} \) -> Bu yine aynı formül. Sorudaki \( \sin(30^\circ) \) bilgisini kullanmak için, C noktasındaki açının \( 30^\circ \) olduğunu varsayalım. Bu durumda A ve B açılarının toplamı \( 150^\circ \) olmalı. Eğer \( A = 70^\circ \) ve \( B = 80^\circ \) ise, C = \( 30^\circ \). AC = 50m. \( \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} \) \( \frac{50}{\sin(80^\circ)} = \frac{AB}{\sin(30^\circ)} \) \( AB = \frac{50 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(80^\circ)} \) \( AB \approx \frac{50 \cdot 0.5}{0.9848} = \frac{25}{0.9848} \approx 25.38 \) Sorunun metnini en doğru şekilde yorumlayarak ilerleyelim: * C noktası mühendisin konumu. * AC = 50 m (C noktasından A binasına olan uzaklık). * A noktasındaki açı (CAB) \( = 30^\circ \). * B noktasındaki açı (CBA) \( = 70^\circ \). * Bu durumda C açısı (ACB) \( = 180^\circ - (30^\circ + 70^\circ) = 80^\circ \). * Bulunacak: AB (İki bina arasındaki mesafe). * Sinüs Teoremi: \( \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} \) * \( \frac{50}{\sin(70^\circ)} = \frac{AB}{\sin(80^\circ)} \) * \( AB = \frac{50 \cdot \sin(80^\circ)}{\sin(70^\circ)} \) * Soruda \( \sin(30^\circ) \) verilmiş ancak \( \sin(70^\circ) \) verilmemiş. Bu bir tutarsızlık. Eğer soruda \( \sin(70^\circ) \) yerine \( \sin(30^\circ) \) verilseydi, bu durumda C noktasındaki açı \( 30^\circ \) olurdu. Soruyu, verilen \( \sin(30^\circ) \) bilgisini kullanarak çözebilmek için, C noktasındaki açının \( 30^\circ \) olduğunu varsayalım. Bu durumda A ve B açılarının toplamı \( 150^\circ \) olmalıdır. Eğer A açısı \( 70^\circ \) ise, B açısı \( 80^\circ \) olur. * AC = 50 m * C açısı \( = 30^\circ \) * A açısı \( = 70^\circ \) * B açısı \( = 180^\circ - (70^\circ + 30^\circ) = 80^\circ \) * Bulunacak: AB * Sinüs Teoremi: \( \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} \) * \( \frac{50}{\sin(80^\circ)} = \frac{AB}{\sin(30^\circ)} \) * \( AB = \frac{50 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(80^\circ)} \) * \( AB \approx \frac{50 \cdot 0.5}{0.9848} \approx \frac{25}{0.9848} \approx 25.38 \) Sorunun orijinal metnindeki "A ve C noktaları arasındaki açının \( 75^\circ \) olduğunu ölçüyor" gibi ifadeler, sorunun yazımında bir karışıklık olduğunu düşündürüyor. En tutarlı yorum, mühendisin C noktasında olduğu, AC=50m olduğu ve C noktasındaki açının \( 80^\circ \) olduğudur. Ancak verilen \( \sin(30^\circ) \) bilgisini kullanmak için, C açısının \( 30^\circ \) olduğunu varsaymak en mantıklısıdır. Varsayım:* C açısı \( = 30^\circ \). Verilen \( \sin(30^\circ) \) bilgisini kullanabilmek için bu varsayım yapılmıştır. Kullanılacak Teorem:* Sinüs Teoremi. Sinüs Teoremi Formülü:* \( \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} \) * Verilenler (varsayıma göre): * AC = 50 m * C açısı \( = 30^\circ \) * A açısı \( = 70^\circ \) (Bu durumda B açısı \( 180 - (70+30) = 80^\circ \) olur. Sorudaki 70 derecenin B açısı olduğunu varsayıyoruz.) * Hesaplama: \[ AB = \frac{AC \cdot \sin(C)}{\sin(B)} \] \[ AB = \frac{50 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(80^\circ)} \] \[ AB \approx \frac{50 \cdot 0.5}{0.9848} \] \[ AB \approx \frac{25}{0.9848} \] \[ AB \approx 25.38 \] * Bu nedenle, mühendisin A ve B binaları arasındaki mesafeyi hesaplamak için Sinüs Teoremi'ni kullanması gerekir ve bu mesafe yaklaşık olarak \( 25.38 \) metredir. 💡